2017年10月8日数学试卷综合卷

2017年10月8日数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 集合，，那么
A. B.
C. D.
2. 设，，，则
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，则集合
B. C. D.
4. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
5. 关于函数的性质表述正确的是
A. 奇函数，在上单调递增
B. 奇函数，在上单调递减
C. 偶函数，在上单调递增
D. 偶函数，在上单调递减
6. 全集，集合，则
A. B. C. D.
7. 已知，则
A. B. D.
8. 如果函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
9. 已知函数的图象如图所示，则下列函数与它的图象对应正确的是
A. B.
C. D.
10. 函数的大致图象是
A. B.
C. D.
11. 设，，，则，，大小关系正确的是
A. B. C. D.
12. 下列计算正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共7小题；共35分）
13. 求满足的的取值集合是．
14. 函数的定义域是．
15. ，若，则．
16. ，，若，则取值范围是．
17. 若是偶函数，则函数的增区间是．
18. 设在上是增函数，则的取值范围是．
19. 函数定义域为．
三、解答题（共8小题；共104分）
20. 已知集合，，且，求实数的值．
21. 设，，．
（1）求，的值及，；
（2）设全集，求．
22. 已知函数．
（1）证明：是奇函数；
（2）用函数单调性的定义证明：在上是增函数．
23. 已知函数（且）．
（1）求的定义域和值域；
（2）讨论的奇偶性；
（3）讨论的单调性．
24. 证明：函数在区间上是减函数．
25. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
26. 当时，求函数的最小值 .
27. 设是定义在上的函数，对任意，恒有．
（1）求的值；
（2）求证：为奇函数；
（3）若函数是上的增函数，已知，且，求的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B 【解析】因为集合，，
则集合．
4. B 【解析】因为，，
所以．
5. A
6. C
7. A
8. B
9. B 【解析】由的图象可知对称轴，
则，
对于指数函数为减函数，故 A 不对，
对于对数函数为减函数，故 B 正确，
对于幂函数为减函数，故 C 不正确，
对于直线，直线交轴的正半轴，故 D 不正确．
10. A
【解析】因为，所以在上单调递减，排除选项B，C；
又的定义域为，故排除选项D．
11. B 【解析】根据指数函数对数函数的增减性知，因为，，
，所以 .
12. C 【解析】A．时不成立，不正确；
B．，不正确．
C．
D．
第二部分
13.
【解析】因为，
且函数在上为减函数，
所以等价于，
解得，
即满足的的取值集合是．
14.
15. 或
16.
18.
【解析】当时，在上是增函数，成立．
当时，在上是增函数，可得：．
当时，在上是增函数，可得：，解得．
综上，．
【解析】由，得
所以函数定义域为．
第三部分
20. 因为，所以，
由，得．
当时，方程有两个相等实数根，所以．
当时，方程有两个实数根，，所以．
综上所述， .
21. （1）因为，所以，
（2），
，．
所以．
22. （1）函数的定义域为；
；
所以是奇函数．
（2）设，则：
；
因为；
所以，，；
所以；
所以；
所以在上是增函数．
23. （1）．
因为，
所以，
所以定义域为且，
所以，
所以，
所以值域为．
（2）
所以为奇函数．
（3）设且，则
①若，，则，
所以，
又，
所以，得，
所以为增函数．
②当，，则，
所以，
所以，得，
所以为减函数，
所以当时，为增函数，当时，为减函数．24. 任取，且，则
因为，，，
所以，
所以，
即函数在区间上是减函数．
25. （1）由得，所以函数的定义域为．
（2）函数是偶函数，
理由如下：由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
且，
所以函数为偶函数．
26. 对称轴，
当，即时，是的递增区间，；
当，即是的递减区间，；
当，即时，．
综上，
27. （1）令，
则，所以．
（2）令，
则，所以，
所以为上的奇函数．
（3）令，
则．
所以由，得，所以 . 又因为是上的增函数，所以，所以．
所以的取值范围是．。