2 – 1 – 2 波得亚解题思想初探
波利亚：怎样解题，数学思维的新方法
波利亚：怎样解题，数学思维的新方法怎样解题第一：你必须理解题目未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？画一张图，引入适当的符号将条件的不同部分分开，你能把它写出来吗？第二：找出已知数据与未知量之间的联系如果找不到直接的联系，你也许不得不去考虑辅助题目最终你应该得到一个解题方案拟定方案你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。
这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过，你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你有否应该引入某个辅助元素？你能重新叙述这道题吗？你还能以不同的方式叙述它吗？回到定义上去如果你不能解所提的题目，先尝试去某道题有关的题目，你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？第三：执行你的方案执行你的解题方案，检查每一个步骤，你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？第四：检查已经得到的解答回顾你能检查这个结果吗?你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？。
波利亚的解题理论_2022年学习资料
解题过程：-·第1弄清问题-·条件（已知）：-■1c-10:-2CosA/cosB-b/a=4/3-·③点 为△ABC内切圆上的动点、-口问题（未知）：-·求点P到项点A、B、C的距离的平方和的-最小值和最大值。6
第2拟订计划-回忆原来有没有见过同类问题（没有），但见-过相关的问题：-o-1已知三角形的某些边角关系，判 三角形-的形状、解三角形等（知三求一，已知的三个-边角元素中至少有一个是边，题目基本符-合-·②如果三角形 以确定，那么此题就是求这-个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶-点的距离的平方和的最值问题。-17
如何解题-1.积累认识的资源-2.掌握转化的方法-3。及时调控的能力-4.良好信念系统的支持
波利亚的怎样解题表-解题过程分为以下四个阶段：-1.弄清问题-2.拟订计划-3.实现计划-4.回顾
波利亚的怎样解题表-1弄清问题-1未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？-满足条件是否可能？要确定未知 ，条件是否充分？或-者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？-2画张图，并引入适当的符号.-3把条件的 部分分开，并把它们写下来。
波利亚《怎样解题表》简介-波利亚的数学教育思想概述-波利亚George Polya数学教育思想的核心问题数 学教育的目的是什么？-1波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素-养：首先和主要的目标应当是教会青年 考、-2教什么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？对数-学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用。
我国数学解题研究的代表人物和代表作-罗增儒-戴再平-单蹲-朱华伟-·中学数学解题的-理论与实践M.-数学习 理论-南宁：广西教育-[M上海：上-出版社，2008-解题研究M.-海教育出版社，-年9：前言-南京：南京 -•数学解题策略-范大学出版社，-1991.3:-·数学解题学引论-2002.6-1996.10.-[M西 .陕西-•北京：科学出-师范大学出版社，-版社，2009.8.-1997.6-4
波利亚数学解题思想研究
波利亚数学解题思想研究乔治·波利亚（George Polya，1887～1985），美籍匈牙利数学家，20世纪举世公认的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。
他在长达半个世纪的数学教育生涯中，为世界数学的发展立下了不可磨灭的功勋。
他的数学思想对推动当今数学教育的改革与发展仍有极大的指导意义。
本文拟从数学解题思想方面对波利亚的数学思想进行述评，并结合当前数学教育的形势，探讨波利亚数学思想对我国数学教育改革的启示。
1.波利亚数学解题思想的产生作为一线教师出身的数学家，波利亚深知“题目是数学的心脏”这一至理，“掌握数学就意味着善于解题”，他也深知“教学一般解题方法”的必要。
为了帮助学生更好地学习数学，波利亚力求用朴素而现代化的形式来阐明探索法，经过多年的探索与总结，波利亚终于找到了“解题中典型有用的智力活动”，他所拟定的“解题表”便是实践其解题思想的首次尝试。
2.波利亚数学解题思想的主要内容2.1波利亚数学解题思想波利亚一直强调要加强对学生的解题训练，其目的在于提高学生的数学素质。
波利亚的数学解题思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感。
2.1.1问题与解法什么是问题？波利亚对此给予了十分广泛的意义：问题就是意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的。
按所要达到的目的的不同，对问题又可分为“求解的问题”和“求证的问题”这两类。
什么是问题的解法？波利亚给出的答案是：就是在原先隔开的事物或想法（已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假设和结论）之间去找出联系。
2.1.2怎样解题按照人们解题的思维程序，波利亚的解题思想自然的分成了四个部分：（1）弄清题意。
无论是谁，哪怕是解一道再简单的题目，他也首先要知道“未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知条件是否充分？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”。
只有当你明确了题意，才能做出下一步打算。
（2）拟定计划。
弄清题意后我们就要寻求解题途径了。
基于波利亚解题思想的问题解决教学研究
基于波利亚解题思想的问题解决教学研究近年来，随着社会经济的发展，社会对于知识学习的要求越来越高，从学校到社会，从小学到大学，不论是学习知识，还是发展技能，都必须掌握一套有效的问题解决策略。
在教学领域，情况并不例外，问题解决一直是教育研究的一个重要领域。
波利亚的问题解决理论在这一领域中发挥了重要作用。
本文尝试通过对波利亚的解题思想的研究，探讨如何更好的应用波利亚的问题解决理论来提升问题解决的教学效果。
一、利亚解题思想介绍美国哲学家、教育家Philip E.Bourne提出的以识记-推理-推理反馈三部分组成的步骤，统称为波利亚解题思想。
识记包括读懂题目，搜集有用的信息，理解题意；推理包括推断问题的形式，分析比较信息，推断问题的答案；推理反馈包括检查自己的答案，检查思维过程，增强自信。
这种思维模式指导学生更好地完成解决问题的过程，提高学生的解决问题的能力。
二、用波利亚解题思想的教学研究1.高学生答题能力应用波利亚解题思想可以提高学生答题能力和学习效果。
根据此理论，老师可以为学生提供充足的材料，让学生在独立思考中获得教育的极大价值，而不是简单的“死记硬背”。
老师也可以帮助学生确定关键问题，引导学生更好地发现、比较和分析信息，最终找出问题的最佳答案。
这种教学方式的研究表明，学生在独立思考中，可以获得更高的学习效果。
2.高学生的自主性应用波利亚解题思想还可以提高学生的自主性，让学生在解决问题中更具主动性。
根据此理论，老师可以让学生发挥主观能动性，这样学生可以以解决问题为中心，主动发现并挖掘信息，运用到自身解决问题中，培养自主学习的能力。
3.高学生的解决问题的能力应用波利亚解题思想还可以提高学生的解决问题的能力、思维能力和创造力。
老师可以帮助学生建立一个有序的思维框架，让学生以认知的角度分析和推理，激发学生想象力，以及培养学生逻辑力和策略性思维，最终培养学生解决问题的能力。
三、题解决教学的对策1.重思维训练在问题解决教学中，要注重思维训练，让学生从容处理复杂和疑难的问题，通过自身的思维逻辑，综合信息，灵活应用，并形成具有自己的见解。
波利亚解题思想中的灵感思维探究
波利亚解题思想中的灵感思维探究数学中的灵感思维是人们在数学活动中由于思想高度集中、情绪空前亢进而突然领悟事物并得到新成果的思维方法，是一种非逻辑思维形式。
唯物主义认为灵感是客观存在的一种精神状态，是一种思维，并有着自己的规律，灵感（又称为直觉）同抽象思维、形象思维一样，都属于人脑的高级反映形式。
钱学森先生早在1980年就指出：“灵感思维不同于形象思维和逻辑思维，是思维的又一种形式”。
波利亚的解题思想集中体现在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程如何诱发灵感的。
波利亚把“解题”当作培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
我们可以将数学一分为二的看：一方面，数学是一门系统的演绎科学。
中学数学在揭示客观事物量与形式及关系时，主要是通过严格的逻辑推理来实现的。
教材是按照逻辑顺序编写的，教师是按照逻辑顺序来讲课的，学生是按照逻辑要求来学习和练习的，这对培养和发展学生的逻辑思维能力是非常有利的。
另一个方面，数学又是一门实验性的探究学科。
波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个方面，也就是看到“处于发现过程中的数学”。
波利亚崇尚探索法解题，波利亚的“探索法”的主要特点就是变更问题、诱发灵感。
一、数学直觉和数学灵感——一种极为有效的解题方法现代数学认知过程在某些方面体现出对逻辑分析思维局限性的超越。
猜测的、直觉的、经验的因素日益引起人们的关注，台湾数学家李国伟教授等曾译美国数学家Keith Devin所著的《Descartes Goodbye!》形象地展现了这一趋势的特点。
《怎样解题》是对波利亚的探索法解题这种新的解题方式的大胆尝试，书的开头是一张“怎样解题表”，其中收集了一些典型的问题及其解决的建议。
“怎样解题表”就是尝试诱发灵感的“智力活动表”。
如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表。
”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问题和建议都与它有关。
学习波利亚“怎样解题表”的启示-精选资料
学习波利亚“怎样解题表”的启示-精选资料学习波利亚“怎样解题表”的启示问题解决或解题，始终是创造性思维方法学研究中不可缺的课题。
中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练方面作出许多贡献，美籍匈牙利数学家乔治?波利亚就是一个突出的代表。
波利亚在“怎样解题表”中将解题分为4个步骤：弄清问题，即明了已知数、未知数和条件；拟订计划，即找出已知数与未知数之间的联系或者考虑辅助问题，并具体拟订一个求解的计划；实现计划，即实现求解计划，检查每一步骤；回顾，即验明所得到的解，并将结果和方法试着用于其他问题。
波利亚提出的解题步骤从不同侧面反映了解题活动的一些共性。
1. 怎样解题表可分为4个环节1.1 解题的首要因素就是理解题目学生如果缺乏对题意的理解和兴趣，并不总是他的错。
教师应对题目精心挑选，难度要适中，要自然且有趣味。
教师可以请学生来指出题目的主要部分，即未知量、已知数据以及条件。
学生应该专心地、反复地，并且从各个方面来考虑题目的主要部分，如果一幅图与该题目有关，应用图表示，以便更好地理解题目。
怎样解题的第一个步骤是弄清问题，即对问题进行恰当的表征。
问题表征是指形成问题空间，包括明确问题的给定，目标和允许的操作。
用我国教育界流行的术语来说，问题表征就是审题，即了解题意的过程。
1.2 解题的关键即是拟订计划从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的过程，从下列问题开始做尝试是合适的：你知道一道与它有关的题目吗？如果它们有关，你能进行利用吗？当我们理解了题目之后，不要急于动笔演算，因为理解有浅层理解和深层理解之分。
就算是完全弄清了题目，但要最后解决问题，可能还有一段很长的路要走。
即使是一个简单的问题，我们也要养成这样一个好的习惯，在头脑中从整体上设计好一个解题思路，第一步先做什么，第二步再做什么？……1.3 解题的核心即是实现计划要拟订一个方案，构思一个解题的想法，并不很容易，要取得成功需要许多方面，诸如以前学到的知识，良好的思维习惯。
波利亚的解题理论
波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。
这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。
综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。
波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。
波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表200多篇论文和许多专著。
他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。
这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。
著名数学家范。
德。
瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。
这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。
二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果波利亚“怎样解题”的思想，内容及实践结果乔治.波利亚(George Polya) 1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。
在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。
最终得出一个求解计划。
”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。
联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和提示性的问题吧。
“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？┅ ┅”这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。
波利亚“解题理论”及启示
波利亚“解题理论”及启⽰2019-10-23摘要：波利亚的“解题理论”体现了他对解题⽅法及解题思维过程的深刻研究，它对于培养学⽣良好的解题习惯，培养学⽣创造性思维，推动数学素质教育都有着重要的启⽰作⽤。
关键词：波利亚解题思想学习习惯创新意识解题是数学的核⼼，是创造性思维⽅法学研究中不可缺的课题，中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练⽅⾯都作出许多贡献，其中最为突出的代表就要数波利亚了。
乔治·波利亚（1887―1985）美籍匈⽛利⼈，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。
1912年于布达佩斯⼤学获哲学博⼠学位，1914年在苏黎世著名的瑞⼠联邦理⼯学院任教，1940年移居美国，⾃1942年起⼀直担任美国斯坦福⼤学教授。
波利亚⼗分热⼼教育，重视从⼩培养学⽣的理解能⼒和解题能⼒。
他致⼒于解题研究，为了回答“⼀个好的解法是如何想出来的”这⼀令⼈困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》⼀书。
1.波利亚“解题表”的主要思想《怎样解题》的中⼼思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核⼼部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了⼀个完整的解题过程⼀般包含的四⼤步骤［１］。
1.1弄清问题。
弄清问题即审题，是解题的基础。
因为只有正确理解了题意，才能正确地树⽴解题的思维⽅法，找出解题途径。
在这⼀步，解题者必须了解问题的⽂字叙述，弄清题⽬的已知条件是什么，未知条件是什么，题⽬要求的是什么。
然后通过观察、分析、画图等把⽂字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。
1.2拟订计划。
拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。
当我们审清了问题之后，熟悉的问题有⼀定的解题套路，不需要太多的思考，⽽对于不熟悉的题⽬，千万不要急于动笔演算，⽽是要在头脑中从整体上设计好⼀个解题思路，稍进⼀步的问题，需要有⼀点变化。
浅谈用波利亚解题思想解数学应用题
浅谈用波利亚解题思想解数学应用题辽宁省本溪县高级中学于福群实际应用题是高考数学题的一种重要题型，同时对于培养学生的数学应用意识、数学建模能力，训练学生的抽象思维能力，都有着重要的作用。
但由于种种原因，很多同学对应用题望而生畏.我想一个重要原因是缺乏正确的解题方法作为指导.本文尝试从波利亚的解题思想来探求应用题的解法。
波利亚在《怎样解题表》中指出，解题的四个主要步骤是：一、弄清问题；二、拟定计划；三、实施计划；四、回顾。
下面举例说明。
题目：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为２００平方米的三级污水处理池（平面图如下图）。
由于地形限制，长、宽都不能超过１６米。
如果池周围四壁建造单价为每米４００元，中间两道隔墙建造单价为每米长２４８元，池底建造单价为每平方米８０元，池壁厚度不计。
试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
一、弄清问题.弄清问题，也就是审题。
笔者认为主要包括两个方面：背景分析和量与数的分析。
1、背景分析：通过读题，理解题中叙述的是怎样的一个事件，不清楚的地方要多读几遍，抓住问题中的关键信息。
本题说的是拟建一个三级污水处理池，怎样设计长和宽，使总造价最低的问题。
由题意可知关键信息应是各部分造价的计算。
在做题中，有同学问：池四壁和两道隔墙的单价为什么按每米算，而不按每平方米算呢？这说明学生对问题的背景不熟，他们不知道在建筑上墙的造价是按长度来计算的。
由于学生对此不了解，从而造成思路阻塞。
这就要求：①学生对问题做出科学的分析，并坚定自己的信心；②学生平时就要对留心生活中的事物与数学的联系，深入探究，虚心求教，不断积累。
比如，银行利率的计算；出租车记费等。
③要善于把问题进行类比、联想。
把握住问题的相似之处，合理地推理、迁移。
比如，1999年高考数学第22题，是一道以轧钢为背景的问题，虽然背景比较生疏，但却与实际生活中的擀面相似，是等体积几何模型问题。
２、量与数的分析：数学研究的是空间形式和数量关系的一问科学。
波利亚解题思想
波利亚解题思想
里博尔罗伊•拓贝利(Lebor Raighneorie Tuathaigh)，匈牙利发明家、天文学家。
为20世纪科学历史上的一位杰出人物，因其发表的有关波利亚(Bolyai)解题思想的论文而被全世界所公认。
在历史上，波利亚解题思想是一种通过将复杂问题分解和细分出解决方案来解决问题的思维模式。
所谓“波利亚”即指以“波利亚(Bolyai)解题思想”和类似的“定理证明”(theorem-proof)应用与解算的方法，此方法比此前的单一“元法”（方程求解）更全面有效；如今将之称为“符号加速解算法”(symbolic-acceleration algorithm) 。
首先，波利亚解题思想以新奇独特的方式定义了这种解算方法。
它要求人们以一种有系统地分析和归并的方式来解决复杂科学问题，结果及之后各种研究和实践应用，均获得了显著的成功。
与其他“元法解算”方式不同，它鼓励理论建模，使得我们能够在更加深刻和全面的层次上了解复杂问题的实质和发展过程。
此外，波利亚解题思想有助于我们培养系统交叉视角的思维方式，使用多种基础理论进行分析、总结和解决实际问题，提高人们思维能力、解决问题的效率和把握问题的准确性。
它的发展也为后世的解算理论和技术提供了强有力的支持，比如计算机程序设计、网络技术、信息安全、机器学习和大数据分析等，这些技术均得益于波利亚解题思想。
总之，波利亚解题思想改变了科学和技术研究方面的思维模式，为后来技术思维和科学解算方案提供了重要的参考。
(完整版)对于波利亚的解题表的认识和看法
对于波利亚的解题表的认识和看法我想学习过数学的人都有过这种感觉：一道题，自己百思不得其解，而老师却能给出绝妙的解法！为此无不赞叹叫好！“一个好的解法是如何想出来的？”“为什么我想不出来？”。
相信每个人都有过类似的经历：对某件事或某道题我们若是按照一定的规律对它进行处理或求解，我们的思路会相对清晰很多。
天地间的一切事物都在数中，万事万物的发生、发展、旺盛、衰亡都有定数，事物总是按照其生长基因及时空规律有序地进行演绎的。
也即是“因”与“果”相应。
若是违背了这些规律就必然要受到惩罚。
因此，解决数学问题时也需要遵行一定的规律，否则，我们就算把数学问题解决了也是走了很多的弯路，耗费了很多的时间。
下面我们就一起来应用波利亚的“怎样解题”表来看看当我们遵行一定规律去解决数学问题时我们会有哪些收获？如图，在△ABC中，∠B=∠C，BD=CE，求证：∠ADE=∠AEDAB D EC 根据波利亚的“怎样解题”表可以知拿到一个题目我们要做的第一步就是：了解问题。
先明白要求的是∠ADE=∠AED，然后找出我们已有哪些已知条件：∠B=∠C，BD=CE。
第二步：拟定计划。
回忆所学知识：要证∠ADE=∠AED那么先要证明△ADE是等腰三角形（AD=AE），又由图可以知AD与AE分别在△ABD和△ACE中，要证两个三角形中的对应边相等则转化为证△ABD=S△ACE。
怎样证两角形全等呢？因为∠B=∠C，那么在△ABC中，AB=AC（等角对等边），由此想到用SAS来证明两三角形全等。
第三步：实现计划。
AB=AC由∠B=∠C 得△ABD=S△ACEBD=CE故 AD=AE 即∠ADE=∠AED（等边对等角）第四步：回顾。
正面检验每一步，看推理是否正确有效；总结解决该问题时我们是从结论出发由后往前从而找到成立的充分条件，由此得到启发:我们在解决问题时,是可以由果到因的。
通过上述的例子我们可以发现波利亚的“怎样解题”表描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统。
教育教学论文-浅谈对波利亚解题思想的认识
教育教学论文-浅谈对波利亚解题思想的认识浅谈对波利亚解题思想的认识美籍匈牙利数学家乔治・波利亚的《怎样解题》一书系统阐述了解题的思维过程,并将其归纳为四个解题步骤,但是它不仅仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法。
教师要在整个解题过程中渗透波利亚解题思想,经过“两次使用”,降低难度,帮助学生在潜移默化中学会使用波利亚解题思想,从而不断地提高中学生的解题能力。
在数学学习过程中,许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差,考虑不周造成思路受阻等问题。
那么,怎样才能有一个好的解题思路呢?为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,美籍匈牙利数学家乔治・波利亚专门研究了解题的思维过程,并把研究所得写成了《怎样解题》一书,其核心是一张怎样解题表,把解题的全过程分成了“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”四个步骤,把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。
它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头,使我们对整个思维过程看得见、摸得着,将思路打开,达到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的结果,以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识以及看法:笔者认为,波利亚的解题表不仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含的丰富的数学思维与思想方法值得我们特别关注,并由此注意将其融入日常的数学教学之中。
1.化归与转化思想通过适当的转化过程,把待解决的问题归结为一类已经解决或能够轻易解决的问题,从而求得解答,这就是化归。
在波利亚的《怎样解题》一书中有这样的一段描述:“你能重新叙述这道题目吗?你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目吗?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目?”这些提问引导我们使用各种方法去变更题目,把原有题目转化为新题目,而化归后的新题目将展现出运用知识的新的可能性。
反之,若不进行这种转化,我们可能根本无从下手,就只能望题兴叹了。
波利亚的怎样解题表学习心得
波利亚的怎样解题表学习心得在解题方面的经验以及注意别人解题的经验，必须成为建立探索法的基础。
在这种研究中，我们不应该忽略任何种类的问题，并应当找出关于处理各类问题的所有共同特征来。
我们的目的应该是找出一般特征，而与问题的主题无关——数学家波利亚评注：数学家笛卡尔说：“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其他问题。
” 多题一解，总结出解决问题的共性规律，找出各种题目有共性的解题思想，数学思想。
中学数学四大数学思想方法：函数与方程，转化与化归，分类讨论，数形结合附注：波利亚是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧为一位杰出的数学家。
波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。
他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。
教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。
每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。
波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。
实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。
这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。
波利亚和“怎样解题表”乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。
上中学时，他就是一个很有上进心的学生。
但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？” （这说明大数学家也有很多问题，他自己是想不出来的。
浅谈波利亚解题理论
浅谈波利亚解题理论对“怎样解题表”的认识乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。
上中学时，他就是一个很有上进心的学生。
但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”怎样解题表第一步：弄清问题第二步：拟订计划第三步：实现计划第四步：回顾我的认识与看法学习数学的目的，通常人们认为主要有两个，一是掌握必要的数学知识，二十提高分析的能力、解决问题的能力。
其中后者是数学教学的根本目标，但是，要有效的提高学生的分析和解决问题的能力却并非易事。
我认为乔治·波利亚有效地帮教师解决了这一难题。
但是要看教师个人怎样去用和实现这四部的教学法。
在我们看来这四个步骤十分的简单，但我们真的实施起来真的是那么回事吗？我想答案肯定是很难吧！下面我就这四步进行概括的说说我的看法。
①弄清问题，拟定计划这是解决数学问题的关键因素，探求解题思路的过程是训练学生良好思维方式的过程，也是教给学生恰当选取解题策略的过程。
在拟定计划中需要对问题不断地修正、转化，还经常需要类比等。
当我们引导学生将复杂问题转化为简单问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，这样一个解题的计划就基本形成了。
②回顾解答，深化理解这是巩固知识，提高解题能力的重要环节，在日常数学学习和活动中，我们往往在解答出某道题目后就立即进入另一个问题或找点别的事来干。
比利亚告诉我们：“没有任何一个题目是彻底完成了的……”。
所以当我们解决了一个问题后应该及时的进行反思，只有这样我们的解题水平才能得到有效的提高。
如果缺乏对问题本质的理解和更高层次的认识。
也失去了一个提高解题能力的好机会。
③小结应试教育，是中国平等待人的政治手法的灵活应用。
这样可以达到知识的普集和教育的平衡。
但是限制了学生的特长，使人从小养成了定向思维的习惯。
波利亚解题思想的认知探究
波利亚解题思想的认知探究美籍匈牙利数学家和数学教育家乔治·波利亚(Geoge Polya,1887-1985)从思维科学、数学方法论和数学哲学的角度，对数学自身的特点和数学教育的规律与原则进行了深入的研究，形成了自己独特的数学教育思想，对现代数学教育产生了极其深远而持久的影响.尤其是他对数学解题的研究，堪称解题教学的行动纲领.波利亚认为，解题过程就是一个运用探索法诱发学生灵感的过程.“解题表”实际上就是一个在解题中典型有用的“智力活动表”.波利亚在“怎样解题表”中将解题分为4个步骤：弄清问题，即对问题的感知与认识；拟定计划，找出已知数与未知数之间的联系；实施计划，检验每一步骤；回顾，即在头脑中建构新的认知结构的过程.波利亚提出的解题思想在一定层面上反映了认知结构理论的观点，因而我们有必要从认知科学的角度来分析一下波利亚解题思想.1、“怎样解题表”的认知分析1.1解题的基础——外部表征Bruner认为数学对象的表征有三类：活动性表征、图像性表征和符号性表征:活动性表征是通过适当的活动，表示过去事件的表征方式，它具有具体性、物质性的特点；图像性表征是指脱离原有的具体性，利用图形或象征性的东西来表示运算或操作；符号性表征是记号和词语，具有一定的抽象性.Lesh在此基础上将表征的方法发展为5种，即书面符号、口头语言、操作性模型、图形和实物,体现在具体的解题过程中即为读懂题目的条件，并能进一步把问题的每一陈述综合成条件、目标统一的心理表征.“怎样解题表”的前两个步骤是弄清问题及拟定计划，即对问题进行恰当的外部表征，这是与解题直接相关的认知环节.如表中：“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？把条件的各个部分分开，你能否用不同的方法重新叙述它？”这样的问句有效促进了书面语言向口头语言的转化，有助于学生对题目的字面理解.又如表中“画张图，引入适当的符号”，便是用符号或图形的形式将问题的外部表征充分显现，加强解题者对问题的理解.再如“你是否知道此类有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？…”这些语句能引导解题者通过适当的活动反应，表示过去事件的表征方式，并且利用自身的知识结构，寻找未知与已知之间的联系，并结合一定的方法构思解决当前问题的步骤.1.2解题的核心——心理表象了解题目内容之后，通过思考、领会、加工、运用，需要在思维中再现它们，这时的表征就是内部表征了，内部表征涉及认知理论的许多方面：人在思维过程中所采用的思维形式是怎样的？人是如何利用思维形式来对知识、信息进行加工处理的？等等，这些问题即心理表征的过程，是思维运算的动态性反映.Piaget就曾将表象划分为不同层次的三种类型：最初的表象是由内化的模仿活动形成的，例如根据例题方法或步骤求解相类似题型；第二种表象是通过基本的思想实验来建立的，这时它不仅代表对象，而且表示了心理上操作活动的发展阶段或结果；第三种表象已经是思维运算的动态的符号，利用它能够支持和推进思想实验和推理.心理表象的过程主要表现在波利亚解题表的拟定计划，实现计划两个阶段，是解题的核心部分，不仅需要解题过程的不断反思：“你能否解决这个问题的一部分？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？”、“你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念？”…，而且需要寻求思路，拟定方案，进行合情推理，最后把想好了的解题过程，具体用术语、符号、图形、式子表述出来，“实现你的求解计划，检验每一步骤”.1.3解题的深化——结构图示如果说整个解题过程是一个心理上的组织过程，那么学习中更为重要的是心理上的再组织过程，这是一个对数学来说至关重要的过程.学生要能够在理解过程中进行结构的再组织，其必不可少的机制是心理上的反省思维.Dubinsky等人认为，反省抽象有两类基本形式，一类是通过几个结构，反省到更一般的高一水平结构，即波利亚解题表中所说的“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？”；另一类是通过对已有结构的反省，构造出不同于原来的新结构，即“你能不能把这结果或方法用于其它的问题？”这样将问题中包含的知识同化进头脑中原有的知识体系，形成稳定的“图示”，从而实现新知识的形成与掌握.“回顾”实际上是在头脑中建构新的认知结构的过程，在数学的学习和研究中起着重要的作用.2、认知结构的培养是深化波利亚解题思想的重要手段波利亚指出，解题的过程主要包括动员与组织、辨认与回忆、充实与重组、分离与组合这8种思维活动方式，而且它们密切相关，相辅相成，共同构成了一个连续的过程.具体地说，当问题出现时，解题者看到的问题是一个未经剖析的没有细节或只有很少细节的整体.此时就要通过辨认已给的元素，并回忆与之相关的元素，把与问题有关的材料从记忆中提取出来，这就是动员.但仅有这些材料还不够，还必须对解题材料进行认真的挑选和分类，把一个一个特殊的细节从整体里挑出来，再把零散细节重新合成一个有意义的整体，这就是分离与组合.在对细节进行重新评价后，需要进一步充实和调整对问题的构思，这就是组织.如图1所示，波利亚解题思想是合情推理和演绎推理交替作用的模式，并且呈分步线性排列.认知观点认为解题时应根据一定的问题情境呈现出结构性的特点（如图2），结构性构思方式不仅能使已学的知识得到完整的组织，而且是学习新知识的智力工具.认知结构的整体性主要体现在：一方面，结构是按一定依赖关系将必要的元素组织起来的，元素将服从于结构组成的规则，共同组成整体，另一方面，元素被组织之后，元素也必然会受益于整体意义，其内涵得以丰富.与此同时，结构性构思方式还具有一定的动态转换性，同层次知识的组织，高低层次间的递进，顺向、逆向、横向、纵向知识的转换，都为问题的解决提供了多种可能的途径.当然这种转换并非随意，需要发挥结构的自我调节作用，使转换更为协调和谐，促进数学学习中好的认知结构的建立.图1波利亚解题思想模式图2结构性构思方式现结合具体实例加以说明：例：如图3，在直角三角形ABC中，∠C是直角，AE平分∠A，CG是AB边上的高交AE于D，DF∥AB，求证：BF=CE.证法一、证法二:比较两种证法可以发现，图示的方法将思考过程更简洁地明确为层次结构，由此可清晰思路，完整展现解题过程.由于学生认知水平存在差异性，学生对解题活动中探索目标的意识和领悟程度不同，每个解题者所具有的解题策略数量、水平也不同，根据学生的这一特点，认知结构分析的图示具有压缩和延伸的空间，不仅体现了解题活动中思维的灵活性、深刻性和独创性，而且更有利于培养学生数学解题能力.因此，认知结构的培养是深化波利亚解题思想的重要手段.参考文献[1]乔治·波利亚.阎育苏译.怎样解题[M].北京:科学出版社,1984；[2]李士锜编著.PME:数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社,2001;[3]Resnick,L.&Rord,W.(1981)The Psychology of Mathematics for Instruction,Lawrence Erlbaum Associates,Publishers,Hillsdale,NJ;[4]Tall,D(1991)Advanced Mathematical Thinking,Kluwer Academic Publishers;[5]沈南山.发掘元认知实现对波利亚解题思想的超越[J].数学教育学报,2001,3:40-42;[6]柳成行等.乔治·波利亚的解题思维理论[J].哈尔滨学院学报,2003,6:15-17;[7]李保臻等.波利亚“怎样解题表”的心理机制分析及其启示[J].西北师范大学学报(自然科学版),2003,2:99-101.。
波利亚数学解题思想研究
波利亚数学解题思想研究乔治・波利亚（George Polya，1887～1985），美籍匈牙利数学家，20世纪举世公认的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。
他在长达半个世纪的数学教育生涯中，为世界数学的发展立下了不可磨灭的功勋。
他的数学思想对推动当今数学教育的改革与发展仍有极大的指导意义。
本文拟从数学解题思想方面对波利亚的数学思想进行述评，并结合当前数学教育的形势，探讨波利亚数学思想对我国数学教育改革的启示。
1.波利亚数学解题思想的产生作为一线教师出身的数学家，波利亚深知“题目是数学的心脏”这一至理，“掌握数学就意味着善于解题”，他也深知“教学一般解题方法”的必要。
为了帮助学生更好地学习数学，波利亚力求用朴素而现代化的形式来阐明探索法，经过多年的探索与总结，波利亚终于找到了“解题中典型有用的智力活动”，他所拟定的“解题表”便是实践其解题思想的首次尝试。
2.波利亚数学解题思想的主要内容2.1波利亚数学解题思想波利亚一直强调要加强对学生的解题训练，其目的在于提高学生的数学素质。
波利亚的数学解题思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感。
2.1.1问题与解法什么是问题？波利亚对此给予了十分广泛的意义：问题就是意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的。
按所要达到的目的的不同，对问题又可分为“求解的问题”和“求证的问题”这两类。
什么是问题的解法？波利亚给出的答案是：就是在原先隔开的事物或想法（已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假设和结论）之间去找出联系。
2.1.2怎样解题按照人们解题的思维程序，波利亚的解题思想自然的分成了四个部分：（1）弄清题意。
无论是谁，哪怕是解一道再简单的题目，他也首先要知道“未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知条件是否充分？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”。
只有当你明确了题意，才能做出下一步打算。
（2）拟定计划。
弄清题意后我们就要寻求解题途径了。
波利亚解题思想研究
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡
献集中体现在《怎样解题》(1945年)、 《数学与似真推理》(1954年)、《数学 的发现》(1962年)三部世界名著上，涉 及“解题理论”、“解题教学”、“教 师培训”三个领域．波利亚对数学解题 理论的建设主要是通过“怎样解题”表 来实现的。著名数学家互尔登在瑞士苏 黎世大学的会议致词中说过：“每个大 学生、每个学者、特别是每个教师都应 该读这本引人入胜的书”(1952年2月2
执行计划
把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式 子表述出来； 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案； 解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
你能拟定其它解题方案吗? 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它 的方法吗? 你能找到什么方法检验你的结果吗?
数学究竟是由什么组成的？
解题是数学的特点
• “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法， 必设一题．” ——杨 辉 • “从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思 考，他们需要进行数学式的思维．” ——美国数学科学委员会(1989) • 学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和 较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数 学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定 理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻 的数学思想) ——单墫
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍 解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的 圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
波利亚数学教育思想
波利亚数学教育思想简介波利亚(George Polya)1881年12月13日出生于布达佩斯,后移居美国,1985年9月7日去逝.上世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家.波利亚一生著有数学教育论文和专著约300篇(部),其中最为著名的是《怎样解题》、《数学与合情推理》、《数学的发现》等,这些著作是他数学研究、数学史研究及教育研究与实践的结晶,影响之深远,为20世纪所罕见.为此,他被誉为上世纪最伟大的数学教育思想家.一、波利亚的解题教学思想波利亚认为“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力,而不仅仅是传授知识”.在数学学科中,能力指的是什么?波利亚说“:这就是解决问题的才智———我们这里所指的问题,不仅仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神.”他发现,在日常解题和攻克难题而获得数学上的重大发现之间,并没有不可逾越的鸿沟.要想有重大的发现,就必须重视平时的解题.因此,他说“,中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”,通过研究解题方法看到“处于发现过程中的数学”.他把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段与途径.这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同.波利亚的解题训练不同于“题海战术”,他反对让学生做大量的题,因为大量的“例行运算”会“扼杀学生的兴趣,妨碍他们的智力发展”.因此,他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目,还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面,使学生通过这道题目,就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.比如,“证明根号2是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目,前者通向实数的精确概念,后者是通向数论的门户,打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中.波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中,该书的中心思想是解题过程中怎样诱发灵感.书的一开始就是一张“怎样解题表”,在表中收集了一些典型的问题与建议,其实质是试图诱发灵感的“智力活动表”.正如波利亚在书中所写的“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表”“,表中的问题和建议并不直接提到好念头,但实际上所有的问题和建议都与它有关”.“怎样解题表”包含四部分内容,即:弄清问题;拟订计划;实现计划;回顾“.弄清问题是为好念头的出现作准备;拟订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.”波利亚所讲的好念头,就是指灵感.《怎样解题》一书中有一部分内容叫“探索法小词典”,从篇幅上看,它占全书的4/5.“探索法小词典”的主要内容就是配合“怎样解题表”,对解题过程中典型有用的智力活动作进一步解释.全书的字里行间,处处给人一种强烈的感觉:波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动,提高湖数学才能.从教育心理学角度看“,怎样解题表”的确是十分可取的.利用这张表,教师可行之有效地指导学生自学,发展学生独立思考和进行创造性活动的能力.在波利亚看来,解题过程就是不断变更问题的过程.事实上,“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”,如:你知道与它有关的问题吗?是否见过形式稍微不同的题目?你能改述这道题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易的有关问题?一个更普遍的题?一个更特殊的题?一个类似的题?你能否解决这道题的一部分?你能不能由已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改变未知数,或已知数,必要时改变两者,使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?波利亚说“:如果不…变化问题‟,我们几乎不能有什么进展“.”变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律.“题海”是客观存在的,我们应研究对付“题海”的战术.波利亚的“表”切实可行,给出了探索解题途径的可操作机制,被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”.著名的现代数学家瓦尔登早就说过“,每个大学生,每个学者,特别是每个教师都应读《怎样解题》这本引人入胜的书”.二、波利亚的合情推理理论通常,人们在数学课本中看到的数学是“一门严格的演绎科学”.其实,这仅是数学的一个侧面,是已完成的数学.波利亚大力宣扬数学的另一个侧面,那就是创造过程中的数学,它像“一门实验性的归纳科学”.波利亚说,数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个定理之前,先得猜想、发现出这个定理的内容,在完全作出详细证明之前,还得不断检验、完善、修改所提出的猜想,还得推测证明的思路.在这一系列的工作中,需要充分运用的不是论证推理,而是合情推理.论证推理以形式逻辑为依据,每一步推理都是可靠的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系.合情推理则只是一种合乎情理的、好像为真的推理.例如,律师的案情推理,经济学家的统计推理,物理学家的实验归纳推理等,它的结论带有或然性.合情推理是冒风险的,它是创造性工作所赖以进行的那种推理.合情推理与论证推理两者互相补充,缺一不可.波利亚的《数学与合情推理》一书通过历史上一些有名的数学发现的例子分析说明了合情推理的特征和运用,首次建立了合情推理模式,开创性地用概率演算讨论了合情推理模式的合理性,试图使合情推理有定量化的描述,还结合中学教学实际呼吁“:要教学生猜想,要教合情推理”,并提出了教学建议.这样就在笛卡尔、欧拉、马赫、波尔察诺、庞加莱、阿达玛等数学大师的基础上前进了一步,他无愧于当代合情推理的领头人.数学中的合情推理是多种多样的,而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理.拉普拉斯曾说过“:甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳与类比.”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视,并注意到更广泛的合情推理.他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式,还指出了其中的教学意义和教学方法.波利亚反复呼吁:只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话,数学教学中就必须有教猜想的地位,必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试.对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,他也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.他亲自讲课的教学片“让我们教猜想”荣获1968年美国教育电影图书协会十周年电影节的最高奖———蓝色勋带.1972年,他到英国参加第二届国际数学教育会议时,又为BBC开放大学录制了第二部电影教学片“猜想与证明”,并于1976年与1979年发表了“猜想与证明”和“更多的猜想与证明”两篇论文.怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法.波利亚说,教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地自觉去试验、观察,得到猜想.“学生自己提出了猜想,也就会有追求证明的渴望,因而此时的数学教学最富有吸引力,切莫错过时机.”波利亚指出,要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握合情推理.三、波利亚论教学原则及教学艺术有效的教学手段应遵循一些基本的原则,而这些原则应当建立在数学学习原则的基础上,为此,波利亚提出了下面三条教学原则.1.主动学习原则.学习应该是积极主动的,不能只是被动或被授式的,不经过自己的脑子活动就很难学到什么新东西,就是说学东西的最好途径是亲自去发现它.这样,会使自己体验到思考的紧张和发现的喜悦,有利于养成正确的思维习惯.因此,教师必须让学生主动学习,让思想在学生的头脑里产生,教师只起助产的作用.教学应采用苏格拉底回答法:向学生提出问题而不是讲授全部现成结论,对学生的错误不是直接纠正,而是用另外的补充问题来帮助暴露矛盾.2.最佳动机原则.如果学生没有行动的动机,就不会去行动.而学习数学的最佳动机是对数学知识的内在兴趣,最佳奖赏应该是聚精会神的脑力活动所带来的快乐.作为教师,你的职责是激发学生的最佳动机,使学生信服数学是有趣的,相信所讨论的问题值得花一番功夫.为了使学生产生最佳动机,解题教学要格外重视引入问题时,尽量诙谐有趣.在做题之前,可以让学生猜猜该题的结果,或者部分结果,旨在激发兴趣,培养探索习惯.3.循序阶段原则“.一切人类知识以直观开始,由直观进至概念,而终于理念”,波利亚将学习过程区分为三个阶段:①探索阶段———行动和感知;②阐明阶段———引用词语,提高到概念水平;③吸收阶段———消化新知识,吸取到自己的知识系统中.教学要尊重学习规律,要遵循循序阶段性,要把探索阶段置于数学语言表达(如概念形成)之前,而又要使新学知识最终融汇于学生的整体智慧之中.新知识的出现不能从天而降,应密切联系学生的现有知识、日常经验、好奇心等,给学生“探索阶段”;学了新知识之后,还要把新知识用于解决新问题或更简单地解决老问题,建立新旧知识的联系,通过新学知识的吸收,对原有知识的结构看得更清晰,进一步开阔眼界.波利亚说,遗憾的是,现在的中学教学里严重存在忽略探索阶段和吸收阶段而单纯断取概念水平阶段的现象.以上三个原则实际上也是课程设置的原则,比如:教材内容的选取和引入,课题分析和顺序安排,语言叙述和习题配备等问题也都要以学和教的原则为依据.有效的教学,除了要遵循学与教的原则外,还必须讲究教学艺术.波利亚明确表示,教学是一门艺术.教学与舞台艺术有许多共同之处,有时,一些学生从你的教态上学到的东西可能比你要讲的东西还多一些,为此,你应该略作表演.教学与音乐创作也有共同点,数学教学不妨吸取音乐创作中预示、展开、重复、轮奏、变奏等手法.教学有时可能接近诗歌.波利亚说,如果你在课堂上情绪高涨,感到自己诗兴欲发,那么不必约束自己;偶尔想说几句似乎难登大雅的话,也不必顾虑重重“.为了表达真理,我们不能蔑视任何手段”,追求教学艺术亦应如此.四、波利亚论数学教师的思和行波利亚把数学教师的素质和工作要点归结为以下十条.1.教师首要的金科玉律是:自己要对数学有浓厚的兴趣.如果教师厌烦数学,那学生也肯定会厌烦数学.因此,如果你对数学不感兴趣,你就不要去教它,因为你的课不可能受学生欢迎.2.熟悉自己的科目———数学科学.如果教师对所教的数学内容一知半解,那么即使有兴趣,有教学方法及其他手段,也难以把课教好,你不可能一清二楚地把数学教给学生.3.应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中熟知学习过程,懂得学习原则,明确认识到:学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现其中的奥秘.4.努力观察学生们的面部表情,觉察他们的期望和困难,设身处地把自己当作学生.教学要想在学生的学习过程中收到理想的效果,就必须建立在学生的知识背景、思想观点以及兴趣爱好等基础之上.波利亚说,以上四条是搞好数学教学的精髓.5.不仅要传授知识,还要教技能技巧,培养思维方式以及得法的工作习惯.6.让学生学会猜想问题.7.让学生学会证明问题.严谨的证明是数学的标志,也是数学对一般文化修养的贡献中最精华的部分.倘若中学毕业生从未有过数学证明的印象,那他便少了一种基本的思维经验.但要注意,强调论证推理教学,也要强调直觉、猜想的教学,这是获得数学真理的手段,而论证则是为了消除怀疑.于是,教证明题要根据学生的年龄特征来处理,一开始给中学生教数学证明时,应该多着重于直觉洞察,少强调演绎推理.8.从手头中的题目中寻找出一些可能用于解今题目的特征———揭示出存在于当前具体情况下的一般模式.9.不要把你的全部秘诀一古脑儿地倒给学生,要让他们先猜测一番,然后你再讲给他们听,让他们独立地找出尽可能多的东西.要记住“,使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又尽”(伏尔泰).10.启发问题,不要填鸭式地硬塞给学生.参考文献刘云章,赵雄辉.波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社,1998.。
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可是如果你转到一另一个位置再换一种特殊方式去看它
那么另一个图像就会突然闪现在你面前
并对第一个图像发表某些诙谐的评论.你能从我们这张塞满了直线段和圆的图中看出有第二种含意的图像吗？
图2-7 图2-8
但有一个问题却一再使他感到困扰
这就是：'是的
这个解答好像还行
它看起来是正确的
但怎样才能想出这样的解答呢？是的
这个实验好像行
它看起来是个事实
但别人是怎样发现这样的事实的？而且我自己怎样才能想出或发现它们呢？'今天作者正在大学里讲授数学
他认为或者期望他的某些热衷的学生会提出类似的问题
并且他试图去满足他们的好奇心
自己收集整理的
错误在所难免
仅供参考交流
如有错误
请指正！谢谢
罗增儒 数学解题学引论（8）
第八讲 波利亚解题思想初探
对于波利亚的解题表及有关著作
人们从不同的角度阐发了波利亚解题思想的本质、真谛、核心等.我们归结为4个要点：程序化的解题系统、启发式的过程分析、开放型的念头诱发、探索性的问题转换.
也往往与问题转换有关."如果我们不用'题目变更'
几乎是不能有什么进展的"--这就是波利亚的结论.
综上所述
"解题系统"是波利亚解题思想的整体轮廓
"分析解题过程"是波利亚解题思想的内在核心
"念头诱发"是波利亚解题思想的外要表现
"问题转换"是波利亚解题思想的具体实现.这张表体现了解题过程是积极思维活动的实质
1.程序化的解题系统
怎样解题表
就"怎样解题"、"教师应教学生做些什么"等问题
设计了一个4步骤的程序--弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾
从而描绘出解题理论的一个总体轮廓
也组成了一个完善的解题教学系统.这个系统集题思想、解题过程、解题方法等于一身
融理论与实践于一体
即使在具体而细节的问题上
又要求人们去总结发现的规律.
波利亚自己
则以数学大师的风采
流畅生动的文笔
把解题的数学思维过程剖析得淋漓尽致
一张"怎样解题"表
一个思维活动的"正方形"
一个慢镜头的"师生"对话录
既是对解题过程的深刻揭示
又是对解题规律的简练概括.
3．开放型的念头诱发
"可能会有这样的情况：一个学生想出了一个异常好的念头
你就够幸运的了."波利亚一再告诫我们："无论如何
你应当感谢所有的念头
感谢那些次要的念头
感谢那些模糊的念头
也感谢那些使模糊念头得以纠正的补充性念头.即使你暂时还没有发现什么价值的新念头
但如果你对问题的概念更完全了
或者更连贯、更和谐或者更平衡了
那你也应当表示感谢. ""也许有些念头把你引入歧途"
MO
都等于r
则必存在一点E
使得下列3个线段
EA
EB
EC
都等于r.
定理的这种叙述法把我们的注意力引向图2-8.这个图形是有吸引力的
它使我们想起一些熟悉的东西.（想起什么？）
当然
在图2-8中
由假设
某些四边形如OLAM的四条边相等
那么产生念头的基础是什么呢？波利亚的回答是："过去的经验和已有的知识"
"如果我们对该论题知识贫乏
是不容易产生好念头的.如果我们完全没有知识
则根本不可能产生好念头."
那么
"念头有什么用"？波利亚说："它会给你指出整个或部分解题途径
它或多或少地清楚地向你建议怎么做.念头多多少少还是完整的.如果你有一个念头
产生了一个好念头
这是于才的一次闪烁". "什么是好念头？是我们观点上的重大突变
我们看问题方式的一个骤然变动
在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感".
波利亚关于念头的种种议论
正是开展积极思维活动的激发与激活.
4． 探索性的问题转换
这里说的"问题转换"
在《怎样解题》书中也叫"变化问题"、"题目变更"
不仅试图去弄清楚这个或那个问题的解答
而且要了解这个解答的出发点与方法
并把这些向其他人加以阐述
于是终于导致他写出本书."
这段自述清楚表明
波利亚是自觉地承担起"复兴"启发法的重任的
他所要进行的工作正是
剖析解题的思维过程
通过了解解题过程来研究"发现和发明的方法和规则".波利亚问"怎样才能想出这样的解答呢？""我自己怎样才能想出或发现它们呢？"即驱使人们去分析解题过程
并通过同一点O.此外
l和m相交于点A ,m和k相交于点B
k和l交于点C.则通过A
B
C的圆e的半径也是r.
图2-6
图2-6画出了4个圆k,l,m和e以及它们的4个交点A
B
C和O.这个图画得不甚圆满
它们是菱形.菱形是我们熟悉的对象
认出它之后
我们就能更好地"观察"这个图形了.（整个图形使我们想起什么？）
菱形的对边是平等的.依据这一点
我们就能把图2-8中的9条线段分成3类
同一类中的线段譬如像AL
MO和BK是彼此平等的.（现在这个图形使我们想起什么？）
我们不应该把我们要去求的结论忘掉了.让我们假定这个结论是对的 .在图中引进圆e的中心E
它既不简练
也不完全；有些东西好像漏掉了；某些本质性的东西似乎没有画进去.
我们离都等于半径的长.我们在图上看不到这个共同的半径r
这样我们就没把假设中的一个基本部分考虑进来.因此让我们引进各圆的中心
k的圆心K
l的圆心L和 m的圆心M.我们应当在哪儿画出半径r 呢？我们似乎没有理由把3个给定圆k,l和m中任一个及3个交点A
于是跳过所有的预备步骤
解答就脱口而出了.如此幸运的念头当然是求之不得的
但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即学生通过上述4阶段中任何一个阶段都没有想出好念头".波利亚强调指出："老师为学生所做的最大的好事是通过比较自然的帮助
促使他自己想出一个好念头."波利亚的解题表一口气使用了30多个问号
而且还可能改进了它的逻辑状况.它使我们能把定理复述为下列形式.
题 C 如果9个线段
KO
KC
KB
LC
LO
LA
MB
MA
这个程序也有利于纠正学生中一些普遍性的毛病
如急于计算出结果而不认真分析题意
盲目推理而不注意拟定计划
束手无策而不善于加工信息
以及忽视研究问题的细节与发展等.另外
这种程序把最后一步
即全面地、有分析地领会所得解法
作为解题工作的必要环节而固定下来
也是一个非常有远见的做法
反映了作者长期数学研究的宝贵经验.
它揭示了探索解题思路的途径与实质.波利亚强调："解题的成功要靠正确思路的选择
要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒.为了找出哪个方面是正确的方面
哪一侧是好接近的一侧
我们从各个方面、各个侧面去试验
我们变化问题.""变化问题使我们引进了新的内容
从而产生了新的接触
产生了和我们问题有关的元素接触的新可能性".新问题展现了接触我们以前知识的新可能性
也抓住了思维活动中最富于创造性的成分--提出问题
并且为了断提出问题、不断解决问题的积极思维活动提供了一个合理的框架.
数学家的真实的思维过程
常常被最终的简洁果掩盖着
我们虽然不知道
但是我们可以模拟、可以仿真
从而做出示范
下面一个直接取自波利亚原文的例子
将有助于我们熟悉一下研究的气氛.
我们也许会一下子看出隐藏在塞满了的画面里的真正图形
也或者可能是逐渐地把它认了出来.我们可能是在努力解题的过程中
也可能是在一些次要的、非实质性的机会中达到了它 . 比如当我们想去重画一下我们的这完全满图形时
我们也许会注意到整个图形是由它的直线形部分确定的（图2-8）.
注意到这一点看来是重要的.因为它确实把几何图形简化了
读者可以通过阅读词典来开阔思路、指导实践
自己学会怎样解题.这两本书"只不过指出了一般的方向
而留给学生去做的还很多".
2.启发式的过程分析
波利亚本人在《怎样解题》一书的序言说过："作者还记得自己的学生时代
那时他是一个有雄心的学生
渴望去弄懂数学和物理.他听课、读书
尝试去了解所得提出的种种解答与事实
波利亚把教会学生解题看作是教会学生思考
培养他们独立探索能力的条主要而有效的途径.在《数学的发现》一书中
他设计了一个学会解题的程序：从模仿到模式
再向着一般方法
其精神实质与解题表是一脉相承的.这两本书都论述"怎样解题"
都给出了程序
但波利亚本人并没有试图绘出解题的一套琐碎而呆板的模式
而是制定了一个"探索法小词典"
它的特殊性在于所有的棱的投影长度都相等.
因此
图2-8是一个"不透明的"平行六面体的投影