Matlab PDE工具箱有限元法求解偏微分方程

在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。

偏微分方程，再加上边界条件、初始条件构成的数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展，采用数值计算方法，可以得到其数值解。

偏微分方程基本形式

而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。

PDE工具箱

PDE工具箱的使用步骤体现了有限元法求解问题的基本思路，包括如下基本步骤：

1) 建立几何模型

2) 定义边界条件

3) 定义PDE类型和PDE系数

4) 三角形网格划分

5) 有限元求解

6) 解的图形表达

以上步骤充分体现在PDE工具箱的菜单栏和工具栏顺序上，如下

具体实现如下。

打开工具箱

输入pdetool可以打开偏微分方程求解工具箱，如下

首先需要选择应用模式，工具箱根据实际问题的不同提供了很多应用模式，用户可以基于适

当的模式进行建模和分析。

在Options菜单的Application菜单项下可以做选择，如下

或者直接在工具栏上选择，如下

列表框中各应用模式的意义为：

① Generic Scalar：一般标量模式（为默认选项）。

② Generic System：一般系统模式。

③ Structural Mech.，Plane Stress：结构力学平面应力。

④ Structural Mech.，Plane Strain：结构力学平面应变。

⑤ Electrostatics：静电学。

⑥ Magnetostatics：电磁学。

⑦ Ac Power Electromagnetics：交流电电磁学。

⑧ Conductive Media DC：直流导电介质。

⑨ Heat Tranfer：热传导。

⑩ Diffusion：扩散。

可以根据自己的具体问题做相应的选择，这里要求解偏微分方程，故使用默认值。此外，对于其他具体的工程应用模式，此工具箱已经发展到了Comsol Multiphysics软件，它提供了更强大的建模、求解功能。

另外，可以在菜单Options下做一些全局的设置，如下

l Grid：显示网格

l Grid Spacing…：控制网格的显示位置

l Snap：建模时捕捉网格节点，建模时可以打开

l Axes Limits…：设置坐标系范围

l Axes Equal：同Matlab的命令axes equal命令

建立几何模型

使用菜单Draw的命令或使用工具箱命令可以实现简单几何模型的建立，如下

各项代表的意义分别为

l 绘制矩形或方形；

l 绘制同心矩形或方形；

l 绘制椭圆或圆；

l 绘制同心椭圆或圆；

l 绘制多义线。

这里只绘制一个圆如下

定义边界条件

选择Boundary菜单下的Specify Boundary Conditions…，如下

定义PDE类型和PDE系数

选择PDE菜单下的PDE Specifica tions…，如下

三角形网格划分

选择Mesh菜单下的Initialize Mesh初始化三角形网格，再选择Refine Mesh改进初始网格并细化网格，如下

初始化网格

细化网格

另外还可以进一步选择Jiggle Mesh微调网格。最后可以选择Display Triangle Quality 显示三角形网格的质量图，其中1表示质量最好，0表示最差，如下

有限元求解

选择Solve菜单下的Solve PDE选项进行PDE问题的求解，如下

解的图形表达

选择Plot菜单下的Parameters…可以设置显示的效果，如下显示结果如下

比较数值解与精确解的误差：可见数值解的精度是很高的。