黄冈市2011年中考数学试题及答案(word版)

湖北省黄冈、鄂州市2011年中考数学试卷一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1、（湖北黄冈、鄂州3分）－1
2
的倒数是▲ ．
【答案】－2。

2、（湖北黄冈、鄂州3分）分解因式：8a2﹣2=▲ ．【答案】2（2a+1）（2a﹣1）。

3、（湖北黄冈、鄂州3分）要使式子
2
a
a
+
有意义，则a的取值范围为▲ ．
【答案】a≥﹣2且a≠0。

4、（湖北黄冈、鄂州3分）如图：点A在双曲线
k
y
x
=上，AB丄x轴于B，且
△AOB的面积S△AOB=2，则k=▲ ．
【答案】﹣4。

5、（湖北黄冈、鄂州3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为▲ ．
【答案】28。

6、（湖北黄冈、鄂州3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=▲ ．
【答案】2。

7、（湖北黄冈、鄂州3分）若关于x，y的二元一次方程组
31
33
x y a
x y
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解
满足x+y＜2，则a的取值范围为▲ ．
【答案】a＜4。

8、（湖北黄冈、鄂州3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=▲ ．
【答案】50°。

二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9、（湖北黄冈、鄂州3分）cos30°=
A、1
2
B、
2
2
C、
3
2
D、3
10、（湖北黄冈、鄂州3分）计算()
1 2
21
22
2-
⎛⎫
-+---
⎪
⎝⎭
的正确结果是
A、2
B、﹣2
C、6
D、10
【答案】A。

11、（湖北黄冈、鄂州3分）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7=0的两个根，则AB边上
的中线长为1
35 2
正确命题有
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
【答案】C。

12、（湖北黄冈、鄂州3分）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积为
A、2π
B、1
2
πC、4πD、8π
【答案】C。

13、（湖北黄冈、鄂州3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB
的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=
A、30°
B、45°
C、60°
D、67.5°
【答案】D。

14、（湖北黄冈、鄂州3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，
BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为
A、4
B、8
C、16
D、82
15、（湖北黄冈、鄂州3分）已知函数
()()
()()
2
2
1 1 3
5 1 3
x x
y
x x>
⎧--≤
⎪
=⎨
--
⎪⎩
，若使y k
=成立的x值恰好有
三个，则k的值为
A、0
B、1
C、2
D、3 【答案】D。

三、解答题（共9小题，满分75分）
16、（湖北黄冈、鄂州5分）解方程：1
1
3
x
x x
+=
+
．
【答案】解：方程两边同乘以x（x+3），
得2（x+3）+x2=x（x+3），2x+6+x2=x2+3x，
∴x=6
检验：把x=6代入x（x+3）=54≠0，
∴原方程的解为x=6。

17、（湖北黄冈、鄂州6分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀“、“合格“和“不合格”三个等级，数据处理后制成以下折线统计图和扇形统计图．
（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（2）在该超购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？
【答案】解：（1）甲种品牌食用油被抽取的数量：1÷10%=10，
乙种品牌食用油被抽取的数量：18﹣10=8，
即甲种品牌有10瓶，乙种品牌有8瓶。

（2）∵乙种品牌优秀瓶数为10﹣（10×60%）=4瓶，乙种品牌共有8瓶，
∴能买到“优秀”等级乙品牌食用油的概率是41 82 =。

18、（湖北黄冈、鄂州7分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
【答案】解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=∠C=45°。

又DE丄DF，∴∠FDC=∠EDB。

∴△EDB≌△FDC（AAS）。

∴BE=FC=3。

又AE=4，∴AB=7，则BC=7。

∴BF=4。

在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5。

答：EF的长为5．
19、（湖北黄冈、鄂州7分）有3张扑克牌，分別是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s﹣t|≥l的概率．
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B 方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？
【答案】解：（1）列表：
红桃3 红桃4 黑桃5
红桃3 （红3，红3）（红3，红4）（红3，黑5）
红桃4 （红4，红3）（红4，红4）（红4，黑5）
黑桃5 （黑5，红3）（黑5，红4）（黑5，黑5）
∴一共有9种等可能的结果，|s﹣t|≥l的有（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4）共6种，
∴|s﹣t|≥l的概率为：62 93 。

（2）∵两次抽得相同花色的有5种，两次抽得数字和为奇数有4种，
∴A方案：P（甲胜）=5
9
；B方案：P（甲胜）=
4
9。

∴甲选择A方案胜率更高。

20、（湖北黄冈、鄂州8分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米
（1）设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表
（2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米）
【答案】解：（1）
（2）设调运量是y =50x +30（14﹣x ）+60（15﹣x ）+45（x ﹣1），即y=5x +1275，
又014015010
x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得：1≤x ≤14， ∵y 随x 的增大而增大，∴当x =1时，y 最小。

则由A 到甲1吨，到乙13吨；由B 到甲14吨，到乙0吨，水的调运总量尽可
能小。

21、（湖北黄冈、鄂州8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比1:3i =（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m ．身高
为1.7m 的小明站在大堤A 点，测得髙压电线杆顶端点D 的仰角为30°．已
知地面CB 宽30m ，求髙压电线杆CD 的髙度（结果保留三个有效数字，
3≈1.732）
． 【答案】解：设大堤的高度h ，以及点A 到点B 的水平距离a ， ∵31:33i ==
，∴坡AB 与水平的角度为30°。

∴0sin30AB
h =，即得AB 102h ==（m ）； 0cos30AB
a =，即得3AB=1032a =（m ）。

14x
-15x -1
x
-
∴MN=BC+a =（30+103）（m ）。

∵测得髙压电线杆顶端点D 的仰角为30°， ∴0DN tan30MN
=，解得：DN=103+10≈27.32（m ）， ∴CD=DN+AM+h ≈27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m ）。

答：髙压电线杆CD 的髙度约为39.0米。

22、（湖北黄冈、鄂州8分）如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA
的外角的平分线，F 为 AD
上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ．
（1）求证：△ABD 为等腰三角形．
（2）求证：AC•AF=DF•FE ．
【答案】证明：（1）连接CF 、BF ，
∵CD 为∠BCA 的外角的平分线，
∴∠ACD=∠MCD=∠CDB+∠CBD=∠CFB+∠CFD=∠DFB ，
而∠ACD=∠DFB=∠DAB ，∠ACD=∠DBA ，
∴∠DAB=∠DBA 。

∴△ABD 为等腰三角形。

（2）由（1）知AD=BD ，BC=AF ，则 AFD
BCD =， AF BC =， ∴ CD
DF =，∴CD=DF 。

又BC=AF ，∴∠BDC=∠ADF ，∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA ，即
∠CDA=∠BDF 。

而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA 。

同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA 与△FAE 中，∠CDA=∠FAE ，∠DCA=∠AFE ，
∴△CDA ∽△FAE ，∴CD AC FA EF
=，即CD•EF=AC•AF 。

又由CD=DF 有AC•AF=DF•EF 。

命题即证。

23、（湖北黄冈、鄂州12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P=()216041100
x --+（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x
万元，可获利润Q=()()2992941001001601005
x x --+-+（万元）． （1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？
【答案】解：（1）∵每投入x 万元，可获得利润P=()216041100
x --+（万元）， ∴当x =60时，所获利润最大，最大值为41万元。

∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）。

（2）前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，
所以x =50时，P 值最大，
即这两年的获利最大为：2×[()21506041100
--+ ]=80（万元）。

后三年：设每年获利y ，设当地投资额为x ，则外地投资额为100－x ，
∴y =P+Q=[()216041100x -
-+]+[2992941601005x x -++] =﹣x 2+60x +165=﹣（x ﹣30）2+1065。

∴当x =30时，y 最大且为1065。

∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元）。

∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495﹣50×2=3175（万元）。

（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有
很大的实施价值。

（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值。

24、（湖北黄冈、鄂州14分）如图所示，过点F （0，1）的直线
y=kx+b 与抛物线y=14
x 2交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．
（1）求b 的值．
（2）求x 1•x 2的值．
（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1
和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．
【答案】解：（1）∵直线y=kx+b 过点F （0，1），∴b=1。

（2）∵直线y=kx+b 与抛物线y=14
x 2交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点， ∴可以得出：kx+b=
14
x 2，整理得：x 2﹣4kx ﹣4=0。

∴x 1•x 2=﹣4。

（3）△M 1FN 1是直角三角形（F 点是直角顶点）。

理由如下：
设直线l 与y 轴的交点是F 1，则
∵FM 12=FF 12+M 1F 12=x 12+4，FN 12=FF 12+F 1N 12=x 22+4，
M 1N 12=（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+8，
∴FM 12+FN 12=M 1N 12。

∴△M 1FN 1是以F 点为直角顶点的直角三角形。

（4）存在，该直线为y=－1。

理由如下：
直线y=－1即为直线M
1N 1。

如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为21m 4
计算知NN 1=21
m 14
+ NF=2221m (m 1)4+-=21m 14
+，得NN 1=NF 。

同理MM 1=MF 。

∴MN=MM 1＋NN 1。

作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，
由中位线性质知PQ=12（MM 1＋NN 1）=12
MN ， 即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切。