2017届高三数学一模专项练习(6)(无答案)
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练(一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e x x＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e. (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则00000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛ > +> -+ = ⎝①②③ 由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ， 设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e 2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ，∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*) 又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ). (1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a， ∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解， 设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])， ∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∴y ＝1x 3＋3x在[1,2]上单调递减， ∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x的最大值为4， ∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练(一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值． 解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x ) ＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6， 所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154， 此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6＝－14×32＋154×12＝15－38. 2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x 2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n .(1)求A －B ； (2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长． 解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6， 所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6. (2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310， 由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3. 4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B .(1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理，得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32， 因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ， 令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线．(1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2.①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点．h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ， 令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得0<b <14. 当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2). 当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0. 所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b . 记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫0<b <14， 则k ′(b )＝－ln b －2，令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎫0，14， 且当b ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增； 当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 2．设函数f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x . (1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围；②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x ，x >0， f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －b x 2. 当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x>0恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a； 令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a， 所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． 综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－a x 2， 函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎨⎧ Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3.②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋ 9－24a ， 由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12， 由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1. f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2 ＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t 2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增，φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2， 所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ；(2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB∥CD，AB＝2CD，所以AO＝2OC.又PQ＝2QC，所以P A∥OQ.又OQ⊂平面QBD，P A⊄平面QBD，所以P A∥平面QBD.(2)在平面P AD内过P作PH⊥AD于点H，因为侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面P AD，所以PH⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以PH⊥BD.又P A⊥BD，P A∩PH＝P，所以BD⊥平面P AD.又AD⊂平面P AD，所以BD⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ， 又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数 列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4， 两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解 由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数， 则2－log C 2＝0， 解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，② ②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③ 由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明 因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解 由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ， 所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以S n ＝n 3n .(3)解 假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减． 又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2， 所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)． 综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元．f (x )＝⎩⎨⎧370x ＋236x，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积．解 (1)当0<t ≤10时，V (t )＝－t 3＋11t 2－24t ＋100<100，化简得t 2－11t ＋24>0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100， 解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24， 令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313， 由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离(2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213， 在△AOM 中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110， 又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2， 所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12， 所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上，AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2， 因为y ＝－2x ，所以AQ ＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2＝ x 2＋4x 2－4x －8x＋8＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值．(1)证明 由题意知，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22，由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2， 即⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫－y 1＋y 222，得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上， 故线段AB 是圆P 的直径．(2)解 由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]，又圆心P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p，当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p ＝255，从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF∆＝4535＝43.易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43.又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0， 并可设直线l ：x ＝ty －5， 代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0. 从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9.又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PMMQ＝2，即y 1＝－2y 2.因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22， 故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14.注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12.故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值． (1)解 因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y2b 2＝1，得A (－2b ，22b )． 又AB ＝210，所以OA ＝10， 则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明 由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1.用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1.所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12.即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)． 设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k . 又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)， 得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2， 所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标． 解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433， 所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43，因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列， 所以81－2m ＝45－43，m ＝8.证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列， 设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0， 得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2，又k PM ＝0－28－12＝－415， 所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数 列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．(1)解 因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1. 因为数列{a n }是各项不为零的常数列， 所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得 n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1， 两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3. 故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ， 当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1， 两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ， 即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ， S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ， 所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1. 当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d .故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．(3)证明 由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )． 因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ， 即b n －c n ＝kd ， 所以S n －1d ＝a n ·kd ， 即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n . 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1， 两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1， 即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列， 所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2，b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )， 另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2. 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )， 所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2.令d n ＝b na n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1).因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0， 所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)． (1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ； (2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，Sn ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝⎛⎭⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14.综上可知，S n＝⎩⎨⎧3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，① ∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3. 即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)， ∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列， 又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *.此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *， 使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， ∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 120，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 121 －12.2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y .3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10. 2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系． 解 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 解 圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值． 解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4， 圆心到直线的距离d ＝12， 故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4， 直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解 曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6. 综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大． 3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)， 设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)， 平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53， 即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)． 设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0， 得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)． 由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， 得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)． 设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 13．(2017·江苏运河中学质检)PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解 因为侧面PCD ⊥底面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ， 又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)，PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)， 所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0， 所以取b ＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，2λλ－1，所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝⎛⎭⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解 以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系． 由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.。
上海市青浦区2017届高三一模数学试卷及答案
上海市青浦区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =2. 已知集合1{|216}2x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则AB =3. 在二项式62()x x+的展开式中，常数项是4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB =则该双曲线的实轴长等于 5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = 6. 执行如图所示的程序框图，若输入1n =， 则输出S =7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成 角为4arccos 5，则该圆锥的体积为8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取 值范围是9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''，则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01） 10. 已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值 的和为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知()sin 3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（ ）A. 12种B. 13种C. 14种D. 15种14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥αn ⇒∥α；④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥； 其中正确的序号是（ ）A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④ 15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两坡的距离分别是4m 和am （012a <<），不考虑树的粗细，现用16m 长的篱笆，借助坡角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()M f a =（单位2m ）的图像大致是（ ）A. B. C.D.16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①21{(,)|}M x y y x ==； ②2{(,)|l o g }M x yyx ==；③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)|s i n M x y yx ==+；其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周 上不与A 、B 重合的一个点；（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；18. 已知函数221()cos ()42f x x x π+=+--（x R ∈）； （1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值；（2）在ABC ∆中，若A B <，且1()()2f A f B ==，求BC AB的值； 19.如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为，动弦AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；20. 如图，已知曲线12:1xC y x =+（0x >）及曲线21:3C y x=（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标； （2）试求1n a +与n a 之间的关系； （3）证明：21212n n a a -<；21. 已知函数2()2f x x ax =-（0a >）； （1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；参考答案一. 填空题 1.34i -2. [1,3)-3. 1604. 45.2-6.3log 197.16π8.3b >- 9. 3.6210. 411. )+∞12.220103二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. C三. 解答题 17.（1）arccos6（2）23π；18.（1）1；（2；19.（1）22142x y +=；（2）121k k =；20.（1）12(,)23；（2）116n n n a a a ++=；（3）略；21.（1）(1,1)(3,5)-；（2）0t =或2，2a =； （3）当0a <≤()M a a =a >，()M a a =；。
2017年上海市普陀区高三一模数学试卷和参考答案
上海市普陀区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合2{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B =I 2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()fx -=4. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=5. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是7. 方程22log (95)2log (32)x x-=+-的解x =8. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直 线与圆C 相切，则k 的取值范围是9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，若1A C 与平面11B BCC 所成的角为6π， 则三棱锥1A ABC -的体积为10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示）11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为4R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示） 12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）A. 11a b> B.11a b a >- C. 1133a b < D. 22a b >14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞=”成立的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂 直，则（ ）A. a 与b 可能垂直，但不可能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a r 、b r 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +r r的最小值为1，则下列判断正确的是（ ）A. 若||a r 确定，则θ唯一确定B. 若||b r确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b r 唯一确定D. 若θ确定，则||a r唯一确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知a R ∈，函数1()||f x a x =+； （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；18. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12PF F ∠=12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83/g cm ，总重量为 5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）； （1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要 耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？ （结果精确到0.01）20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有 2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+； （3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；21. 已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ， 均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同； （3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围；上海市普陀区2017届高三一模数学试卷参考答案一. 填空题1. [0,1]2.7243. 12x -(1)x ≥4. 315. )+∞6. [0,)+∞7. 1x =8. 2k <-或0k >9. 6 10. 2311. 3R π12. 15二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）[1,)+∞；（2）9[,3]2--；18.（1）221123x y +=；（2）(M -，max ||2MQ =+ 19.（1）252个；（2）0.05千克；20.（1）21nn a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；21.（1）是；（2）平衡数对(2,0)；（3）(1,8]。
三角函数的图像与性质-2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点无答案
专题06 三角函数的图像与性质2017年高考数学(文）备考学易黄金易错点1．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y ＝sin2x的图象上所有的点( )A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动错误!个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度2．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移错误!个单位长度,则平移后图象的对称轴为（）A．x＝错误!－错误!(k∈Z) B．x＝错误!＋错误!(k∈Z)3．已知函数f(x)＝sin（ωx＋φ）错误!，x＝－错误!为f （x)的零点，x＝错误!为y＝f（x）图象的对称轴，且f(x）在错误!上单调，则ω的最大值为（)A．11B．9C．7D．54．已知函数f（x）＝sin错误!(x∈R，ω>0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2。
为了得到函数g(x）＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( ）A．向左平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向右平移π5个单位长度5．如图，函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)（其中A>0，ω>0,|φ｜≤错误!)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR ＝错误!,M为QR的中点，PM＝2错误!，则A的值为（）A.错误!错误!B.错误!错误!C．8 D．166．义在区间0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x 的图象的交点个数是________．7．已知函数f（x)＝2a sinωx·cosωx＋23cos2ωx－错误!（a>0，ω>0）的最大值为2，x1，x2是集合M＝｛x∈R|f （x）＝0｝中的任意两个元素，且|x1－x2｜的最小值为6。
（1）求函数f(x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g （x ）的图象，当x ∈（－1,2］时，求函数h （x ）＝f (x ）·g (x ）的值域．易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、（1）点P 从（1，0）出发,沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为（ ）A ． (－错误!，错误!）B ．（－错误!，－错误!）C ．(－错误!，－错误!）D ．（－错误!,错误!）（2）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．【变式探究】（1）已知点P 错误!落在角θ的终边上，且θ∈0，2π）,则θ的值为（ ）A.π4B 。
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x ，y 满足x 2+y 2=1时，|x +2y +a |+|3﹣x ﹣2y |的取值与x ，y 均无关，则实数a 的取范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m ，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行B ．若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直C ．若m ⊥α，m 、n 不平行，则n 与α不垂直D ．若m ⊥α，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14．已知函数在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．15．如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则的值（ ）A ．只与圆C 的半径有关B ．既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C ．只与弦AB 的长度有关D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16．定义f （x ）={x }（其中{x }表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） ①f （2x ）=2f （x ）； ②若f （x 1）=f （x 2），则x 1﹣x 2＜1；③任意x 1，x 2∈R ，f （x 1+x 2）≤f （x 1）+f （x 2）；④．A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。
江西省赣中南五校2017届高三下第一次模拟数学理试卷(解析版)
2017年江西省赣中南五校高考数学二模试卷（理科） 、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求1.已知集合 A={x|2x 2+x - 3=0}，集合 B={i|i 2 > 4}} , ?R C={4 .已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线.“宀 上一 平行，则双曲线 c 的离心率为（ 2^3 Vc 兀4C . ； +： ----L-. _|：L. / ：'的最大值为A ，若存在实数X 1, x 2使得对任意实数X 总有f （xj w f （ X ） < f K A ----------.=•（x 2 ）成立，贝U A|x 1 - x 2|的最小值为（兀D . U// BC , AD=AB ，/ BCD=45，/ BAD=90°，将△ BCD ，构成四面体 A - BCD ，则在四面体中，下列 说法正确的是（ 5. A /1-X 2^ 诋[T ， [1, 2] 1)，则 「2 I ■ f (x ) dx 的值为( —}，则 A n BU ?R C=3A . {1，- 1,豆}B . { - 2, 1, ，-1}C . {1}D . {2 , 1 , - 1, ：｝2.设方程2X |lnx|=1有两个不等的实根 X 1和 乂2,则（ ）A . X 1X 2V 0B . X 1X 2=1C . X 1X 2> 1D . 0 v X 1X 2V 1 3.已知点P 的坐标（x ,k+y<4y )满足二 r I Qi .. 2 2 ，过点P 的直线I 与圆c ： x 2+y 2=16相交于A ,B 两点，则|AB|的最小值为（A . 5B .匚 c . D .:一.+3 +37.如图所示，在四边形 ABCD 中，ADABD 沿BD 折起，使得平面 ABD 丄平面6.已知.'.■： 1： ；。
四川省泸州市2016-2017学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解析
四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{0，1} D．{0，1，2}2．复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．C．D．23．函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=π4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）A．B．C．D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．97．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A ．[1，25]B ．[4，25]C ．[1，4]D ．[5，24]9．下列命题正确的是（ ）A ．“b 2=ac”是“a，b ，c 成等比数列”的充要条件B ．“∀x ∈R ，x 2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＞0”C ．“若a=﹣4，则函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D ．“函数f （x ）=lnx 2与函数g （x ）=的图象相同”10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0=______．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为______．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是______．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x=______．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n =______．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD （其中AB=BC=CD=6米），靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；（2）当BC ∥l ，且AD ＞BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x 2﹣x ≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）A ．∅B ．{0}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A ，再求A∩B．【解答】解：集合A={x|x 2﹣x ≤0}={x|x （x ﹣1）≤0}={x|0≤x ≤1}=[0，1]B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：C ．2．复数z=（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】复数求模．【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．【解答】解：∵复数z=，∴|z|=||==， 故选：B ．3．函数f （x ）=sin （x+）图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x=﹣B ．x=C ．x=D ．x=π 【考点】正弦函数的对称性．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f （x ）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数f （x ）=sin （x+），令x+=k π+，求得 x=k π+，k ∈Z ，可得它的图象的一条对称轴为 x=， 故选：B ．4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（ ）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1不满足条件n＞5，S=1+，n=2不满足条件n＞5，S=1++，n=3不满足条件n＞5，S=1+++，n=4不满足条件n＞5，S=1++++，n=5不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．150【考点】分层抽样方法．【分析】根据从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，即可得出结论．【解答】解：∵从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，∴该次测验中90分以下抽取的人数是500﹣100﹣250=150．∴该次测验中90分以下的人数是150．即抽样比k=，则该次测验中90分以下的人数是1500×=450．故选：B．6．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】四面体为边长为6的正方体沿着共点三面的对角线截出的三棱锥．【解答】解：四面体的底面为直角边为6的等腰直角三角形，高为6．∴四面体的体积V==36．故选C．7．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】对|+2|=两边平方，计算出数量积，代入夹角公式计算．【解答】解：∵|+2|=，∴（+2）2=7，即+4+4=7，∵==1，∴=，∴cos＜＞==，∴向量，夹角为60°．故选：C．8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A．[1，25] B．[4，25] C．[1，4] D．[5，24]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣2），联立，解得B（3，4），化目标函数Z=3x+4y为y=．由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最小值为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值为25．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件B．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2＞0”C．“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D．“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出全称命题的否定判断B；举例说明C错误；写出分段函数说明D正确．【解答】解：A错误，如a=0，b=0，c=1满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列；B错误，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2≤0”C错误，“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）=ax2+4x ﹣1只有唯一一个零点，则a=﹣4”，为假命题，比如a=0，f（x）=0的根是；D 正确，函数f （x ）=lnx 2是分段函数，分x ＞0和x ＜0分段可得函数g （x ）=．故选：D ．10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．【解答】解：由程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0故函数f （x ）=x 2+（1+a ）x+1+a+b 图象开口方向朝上又∵方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵=表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故答案：二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0= 3 ．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：2lg2+lg25+（）0=lg4+lg25+1=lg100+1=2+1=3．故答案为：3．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为 2 ．【考点】基本不等式．【分析】因为2a 与2b 均大于0，所以直接运用基本不等式求最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴，当且仅当2a =2b ，即时“=”成立．所以2a +2b 的最小值为．故答案为．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面A 1B 1CD 的距离．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），D （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，0），设平面A 1B 1CD 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得，∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是：d===．∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是．故答案为：．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x= ．【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．【解答】解：∵向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，∴3cos 2x ﹣5sinx ﹣1=0，即 3sin 2x+5sinx+2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，则cos2x=1﹣2sin 2x=1﹣2×=，故答案为：．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n = 2n+1﹣2 ．【考点】等比数列的性质．【分析】由题意，数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，数列{a n }a 1=1，a 2=2，公比为2，设数列{b n }的公比为q′，{a n +b n }的公比为q ，则2+q′=2q，4+q′2=2q 2，∴q 2﹣4q+4=0∴q=2，∴数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，∴S n ==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据表格的合计数据计算，（2）求出上课时间使用手机的学生人数，除以数据总数得出频率，利用频率代替概率．【解答】解：（1）m=98﹣23﹣55=20，n=m+17=37．（2）上课时间使用手机的人数为23+55=78．∴该校学生上课时间使用手机的概率P==0.39．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．【考点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接GH ，由已知得A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，可得A 1H ⊥BB 1，由中位线和条件得BB 1⊥HG ，由线面垂直的判定定理可证结论成立；（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B 1C 1⊥A 1E ，求出△A 1B 1C 1的面积，由等体积法求出C 到平面A 1B 1C 1的距离．【解答】证明：（1）如图连接GH ，∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H ，∴A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∵BB 1BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥BB 1，∵H 是BC 1的中点，G 是CC 1的中点，∴HG ∥BC ，由∠B 1BC =90°知，BB 1⊥B C ，∴BB 1⊥HG∵A 1H∩HG =H ，∴BB 1⊥平面A 1HG ，∴BB 1⊥A 1G ；解：（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由∠BB 1C 1=90°得，HE ⊥B 1C 1，∵A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥B 1C 1，∵A 1H∩HE =H ，∴B 1C 1⊥平面A 1HE ，∴B 1C 1⊥A 1E ，∵H 是BC 1的中点，E 是B 1C 1的中点，∴HE ∥BB 1，且HE=1，在△A 1HE 中，A 1E==2，∴=•B 1C 1AB•A 1EBC==2，设C 到平面A 1B 1C 1的距离为h ，由=V A 得，×A 1E ×=×h ×，则2×2=h ×2，解得h=，∴C 到平面A 1B 1C 1的距离是．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的图象可知，f'（x ）=0的两个根为﹣1，2，根据根与系数的关系即可求出a ，b 的值，并由图象得到单调区间；（2）求出函数f （x ）的极大值和极小值，由函数f （x ）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，∴f′（x ）=x 2+2ax+b ，∵f′（x ）=0的两个根为﹣1，2，∴，解得a=﹣，b=﹣2，由导函数的图象可知，当﹣1＜x ＜2时，f′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＜﹣1或x ＞2时，f′（x ）＞0，函数单调递增，故函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减．（2）由（1）得f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+c ，函数f （x ）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上是增函数，在（﹣1，2）上是减函数，∴函数f （x ）的极大值为f （﹣1）=+c ，极小值为f （2）=c ﹣．而函数f （x ）恰有三个零点，故必有，解得：﹣＜c ＜．∴使函数f （x ）恰有三个零点的实数c 的取值范围是（﹣，）19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过将点P （a n ，a n+1）代入函数方程f （x ）=3x 化简可知a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b n =n3n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，∴a n+1=3a n ，又∵a 1=3，∴数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，∴其通项公式a n =3n ；（2）由（1）可知b n =na n =n3n ，∴S n =1×3+2×32+…+n3n ，3S n =1×32+2×33+…+（n ﹣1）3n +n ×3n+1，错位相减得：﹣2S n =3+32+…+3n ﹣n ×3n+1=3×﹣n ×3n+1=×3n+1﹣，∴S n =×3n+1+．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】（1）由f （3）=5得出aln3=﹣5，再求出f （）的值．（2）alnx≥﹣x2．然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求﹣得最大值或最小值问题．【解答】解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=﹣5．∴f（）=+aln=﹣aln3==．（2）∵x2+alnx+1≥1，∴alnx≥﹣x2．①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立．②若lnx＞0，即x＞1时，a≥﹣．令g（x）=﹣．则g′（x）=，∴当1＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=﹣2e．∴a≥﹣2e．③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤﹣，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴a≤0．综上，a的取值范围是[﹣2e，0]．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC⊥CD时，求AD的长；（2）当BC∥l，且AD＞BC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，则AO=3，BO=3，BD=6，∴OD==3，∴AD=AO+OD=3+3；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），S′=36（2cosα﹣1）（cosα+1），∴0＜α＜，S′＞0，，＜α＜π，S′＜0，∴α=，S取得最大值27．。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
2017届高考数学模拟试卷（六）含答案
2017届⾼考数学模拟试卷（六）含答案江苏省2017届⾼考数学模拟试卷（六）⾼三数学试卷（⽂科）第Ⅰ卷（共60分）⼀、填空题：本⼤题共14个⼩题,每⼩题5分,共70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B = ．2.若31zi i=+-，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为． 3.函数22()log (6)f x x =-的定义域为． 4.已知函数()sin()5f x kx π=+的最⼩正周期是3π，则正数k 的值为．5.已知幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为．6.“三个数a ，b ，c 成等⽐数列”是“2b ac =”的条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）7.已知53cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值是． 8.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()3sin 2xf x x a π=-，且(3)6f =，则a = ．9.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且43a =，则7a = ． 10.若直线y x b =+是曲线ln y x x =的⼀条切线，则实数b = ． 11.函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移?（02）个单位后，所得函数图象关于原点成中⼼对称，则?= ．12.数列{}n a 定义如下：11a =，23a =，122(1)22n n n n a na a n n +++=-++，1,2,n =…．若201642017m a >+，则正整数m 的最⼩值为． 13.已知点O 为△ABC 内⼀点，且230OA OB OC ++=，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的⾯积之⽐等于．14.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xx f x x x x -?∈?=+??--∈+∞?则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为．⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共90分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内⾓A ，B ，C 所对的边，且满⾜a b c <<，2sin b a B =．（1）求A 的⼤⼩；（2）若2a =，23b =，求△ABC 的⾯积．16.已知函数()|1|f x x =-，2()65g x x x =-+-（x R ∈）．（1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围；（2）求()g x ()f x -的最⼤值．17.已知锐⾓△ABC 中的三个内⾓分别为A ，B ，C ．（1）设BC CA CA AB ?=?，判断△ABC 的形状；（2）设向量(2sin,3)s C =-，2(cos 2,2cos 1)2C t C =-，且//s t ，若1sin 3A =，求sin()3B π-的值．18.某地拟建⼀座长为640⽶的⼤桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x ⽶时（其中64100x <<）．中间每个桥墩的平均造价为x 万元，桥⾯每1⽶长的平均造价为(2)640x x +万元．（1）试将桥的总造价表⽰为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座⼤桥中间（两端桥墩A ，B 除外）应建多少个桥墩？19.已知各项都为正数的等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ?=?+?为偶数为奇数（*n N ∈），若351S b =+，4b 是2a 和4a 的等⽐中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ?的前n 项和n T ．20.已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线⽅程；（2）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满⾜1()8h a λ≥+，求λ的取值范围；（3）已知*n N ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++…．江苏省2017届⾼考数学模拟试卷（六）⾼三数学试卷（⽂科）⼀、填空题 1.{}0,2 2.2- 3.(,6)(6,)-∞-+∞ 4.6 5.2 6.充分不必要7.241258.5 9.3- 10.1- 11.38π 12.8069 13.3:2:1 14.112π- ⼆、解答题15.解：（1）2sin b a B =，∴sin 2sin sin B A B =，∵sin 0B >，∴1sin 2A =，由于a b c <<，所以A 为锐⾓，∴6A π（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，∴234122232c c =+-， 2680c c -+=，2c =或4c =，由于a b c <<，4c =，所以1sin 232S bc A ==．当1x <时，()1f x x =-，由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-，整理得(1)(6)0x x --≤，所以[]1,6x ∈，由1,16x x综上x 的取值范围是[]1,4．（2）由（1）知，()()g x f x -的最⼤值必在[]1,4上取到，所以22599()()65(1)()244g x f x x x x x -=-+---=--+≤，所以当52x =时，()()g x f x -取到最⼤值为94． 17.解：（1）因为BC CA CA AB ?=?，所以()0CA BC AB ?-=，⼜0AB BC CA ++=，∴()CA AB BC =-+，所以()()0AB BC BC AB -+?-=，所以220AB BC -=，所以22||||AB BC =，即||||AB BC =，故△ABC 为等腰三⾓形．（2）∵//s t ，∴22sin (2cos 1)22CC C -=，∴sin 22C C =，即tan 2C = ∵C 为锐⾓，∴2(0,)C π∈，∴223C π=，∴3C π=，∴23A B π=-，∴2sin()sin ()333B B πππ??-=--sin()3A π=-，⼜1sin 3A =，且A 为锐⾓，∴cos A =sin()sin()sin cos cos sin 3333B A A A ππππ-=-=-=． 18.解：（1）由桥的总长为640⽶，相邻两个桥墩的距离为x ⽶，知中间共有640(1)x-个桥墩．于是桥的总造价640()640(2(1)f x x=+-100+．即3112226408080()138033f x x x x -?=+-+3112225120080138033x x x -=+-+（64100x <<）．（2）由（1）可求13122236404040'()233f x x x x --?=--，整理得3221'()(98064080)6f x x x x -=--?．由'()0f x =，解得180x =，26409x =-（舍去），⼜当(64,80)x ∈时，'()0f x <；当(80,100)x ∈时，'()0f x >，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为6401780-=个． 19.解：（1）∵数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ?=?+?为偶数为奇数（*n N ∈），∴56b =，44b =．设各项都为正数的等⽐数列{}n a 的公⽐为q ，0q >，∵3517S b =+=，∴21117a a q a q ++=，①∵4b 是2a 和4a 的等⽐中项，∴224316a a a ==，解得2314a a q ==，②由①②得23440q q --=，解得2q =或23q =-（舍去），∴11a =，12n n a -=．（2）当n 为偶数时，0(11)2n T =+?[]2342122(31)242(51)2(1)122n n n n --+?++?+?++?++-+?+?…0231022(22232422)(222)n n n --=+?+?+?++?++++……，设023*********n n H n -=+?+?+?++?…，③则2312 2 2232(1)22n n n H n n -=+?+?++-?+?…，④③-④，得0231222222n nn H n --=+++++-? (1212)n-=-2n n -?(1)21n n =-?-，∴(1)21n n H n =-?+，∴21422(1)21()21433nnn n T n n -=-?++=-?+-．当n 为奇数，且3n ≥时，11(1)2n n n T T n --=++?1115222()2(1)2(2)23333n n n n n n ---=-?+++?=-?+，经检验，12T =符合上式．∴122(2)2,3322()2,33n n n n n T n n -?-?+??=??-?+??为奇数，为偶数.20.解：（1）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211'()f x x x=-，则1()4222f =-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-，∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线⽅程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-=．（2）221'()a a xf x x x x-=-=，由'()0f x =，解得x a =，由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0a ≤或2a ≥，由于存在a 满⾜1()8h a λ≥+，所以max 1()8h a λ≥+，对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=，①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==，由max 1()8h a λ≥+，即29188λλ≥+，结合0λ≤或83λ≥可得：19λ≤-或83λ≥；②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==，由max 1()8h a λ≥+，即108λ≥+，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-；由max 1()8h a λ≥+，即1688λλ-≥+，结合4833λ<<可知：13883λ≤<，综上可知，λ的取值范围是113(,][,)98-∞-+∞．（3）证明：当1a =时，21'()xf x x-=，当()0,1x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x =-+在1x =处取得最⼤值(1)0f =，即()f x 111ln x x =-+(1)0f ≤=，∴11ln x x x -≤，令1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n+-<，∴ln(1)ln(1)ln1n n +=+-[][]111ln(1)ln ln ln(1)(ln 2ln1)11n n n n n n =+-+--++-<++++……，故1111ln(1)1234n n+<+++++…．。
2017年上海市静安区高考数学一模试卷(解析版)
2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每一个空格填对得5分，不然一概得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是．2．函数的最小正周期为．3．假设复数z为纯虚数，且知足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），那么实数a的值为．4．二项式展开式中x的系数为．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．已知α为锐角，且，那么sinα=．7．依照有关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，通过x个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且知足关系式（r为常数）．假设某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，那么这人饮酒后需通过小时方可驾车．（精准到小时）8．已知奇函数f（x）是概念在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，知足f（x7）+f（x8）=0，那么x2017的值为．9．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，那么的最大值为．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，假设对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，那么的最小值为．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，不然一概得零分.11．假设空间三条直线a、b、c知足a⊥b，b⊥c，那么直线a与c（）A．必然平行B．必然相交C．必然是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能12．在无穷等比数列{a n}中，，那么a1的取值范围是（）A．B． C．（0，1） D．13．某班班会预备从含甲、乙的6名学生当选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．已知椭圆C1，抛物线C2核心均在x轴上，C1的中心和C2极点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，那么C1的左核心到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4A．B．C．1 D．215．已知y=g（x）与y=h（x）都是概念在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，那么正实数k的取值范围是（）A．B． C．D．三、解答题（此题总分值75分）本大题共有5题，解答以下各题必需在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F别离是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个核心．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）假设动点P与双曲线C的两个核心F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．18．在某海边城市周围海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是不是开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时刻为多久？19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得概念域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）假设f（x）=2x﹣x2，试判定f（x）是不是为M1中的元素，并说明理由；（2）假设，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）假设（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．由n（n≥2）个不同的数组成的数列a1，a2，…a n中，假设1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），那么称a i与a j组成一个逆序，一个有穷数列的全数逆序的总数称为该数列的逆序数．如关于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1，…a1的逆序数．2017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每一个空格填对得5分，不然一概得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是（0，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判定．【分析】依照充分必要条件的概念求出a的范围即可．【解答】解：假设“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．2．函数的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x 的最小正周期为=π，故答案为：π．3．假设复数z为纯虚数，且知足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），那么实数a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，得==，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=．那么实数a的值为：．故答案为：．4．二项式展开式中x的系数为10．【考点】二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．，【解答】解：设二项式展开式的通项为T r+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，那么T r+1令10﹣3r=1得r=3，∴二项式展开式中x的系数为=10．故答案为：10．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，那么制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，那么2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．已知α为锐角，且，那么sinα=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的大体关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，那么sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．依照有关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，通过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且知足关系式（r为常数）．假设某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，那么这人饮酒后需通过8小时方可驾车．（精准到小时）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先求出e r=，再利用89•e xr＜20，即可得出结论．【解答】解：由题意，61=89•e2r，∴e r=，∵89•e xr＜20，∴x≥8，故答案为8．8．已知奇函数f（x）是概念在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，知足f（x7）+f（x8）=0，那么x2017的值为4019．【考点】数列与函数的综合．【分析】设设x7=x，那么x8=x+2，那么f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f （x+1）=0=f（0），x7=﹣1．设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）．取得通项x n=2n﹣15．由此能求出x2020的值．【解答】解：设x7=x，那么x8=x+2，∵f（x7）+f（x8）=0，∴f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，∴f（x+1）=0=f（0），即x+1=0．∴x=﹣1，设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）=2n﹣15∴x2017=2×2017﹣15=4019．故答案为：40199．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，那么的最大值为12．【考点】向量在几何中的应用．【分析】成立坐标系，设M （），那么=（），，【解答】解：如图成立平面直角坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），三角形ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣2）2=，设M （），那么=（），，，故答案为：12．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，假设对任意实数x均有f（x）•g （x）≤0，那么的最小值为4．【考点】大体不等式．【分析】依照对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当x=y=时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，不然一概得零分.11．假设空间三条直线a、b、c知足a⊥b，b⊥c，那么直线a与c（）A．必然平行B．必然相交C．必然是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的概念即可得出，假设直线a、b、c 知足a⊥b、b⊥c，那么a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如下图：a⊥b，b⊥c，a与c能够相交，异面直线，也可能平行．从而假设直线a、b、c知足a⊥b、b⊥c，那么a∥c，或a与c相交，或a与c异面．应选D．12．在无穷等比数列{a n}中，，那么a1的取值范围是（）A．B． C．（0，1） D．【考点】数列的极限．【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．【解答】解：在无穷等比数列{a n}中，，可知|q|＜1，那么=，a1=∈（0，）∪（，1）．应选：D．13．某班班会预备从含甲、乙的6名学生当选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】依照题意，分2种情形讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情形数量，由加法原理计算可得答案．【解答】解：依照题意，分2种情形讨论，假设只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情形；假设甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情形，那么不同的发言顺序种数192+144=336种，应选：A．14．已知椭圆C1，抛物线C2核心均在x轴上，C1的中心和C2极点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，那么C1的左核心到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由表可知：抛物线C2核心在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），那么有=2p （x≠0），将（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，），即可求得椭圆方程，求得核心坐标，即可求得C1的左核心到C2的准线之间的距离．【解答】解：由表可知：抛物线C2核心在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），那么有=2p （x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．那么核心坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C1的标准方程为+y2=1；由c==，左核心（，0），C1的左核心到C2的准线之间的距离﹣1，应选B．15．已知y=g（x）与y=h（x）都是概念在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，那么正实数k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】根的存在性及根的个数判定．【分析】问题转化为g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象取得关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，即g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，如图示：，结合图象得：，解得：＜k＜log32，应选：C．三、解答题（此题总分值75分）本大题共有5题，解答以下各题必需在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F别离是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连接A1C1，由E，F别离是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步取得EF∥A1C1，可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；（2）直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解．【解答】解：（1）连接A1C1，∵E，F别离是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，那么EF∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．在△A1C1B中，由AB=a，AA1=2a，得，，∴cos∠A1C1B=，∴异面直线BC1与EF所成角的大小为；（2）．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个核心．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）假设动点P与双曲线C的两个核心F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）设M（x，y），，左核心，通过利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围．（2）写出P点轨迹为椭圆，利用，|PF1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，和大体不等式求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）设M（x，y），，左核心，=…=（）对称轴，…（2）由椭圆概念得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…由大体不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…18．在某海边城市周围海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是不是开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时刻为多久？【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）成立直角坐标系，…，那么城市A（0，0），当前台风中心，设t 小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意成立方程组，能求出10小时后，该台风尚未开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【解答】解：（1）如图成立直角坐标系，…那么城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，现在台风的半径为60+10t，10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，∵r＜|PA|，…∴10小时后，该台风尚未开始侵袭城市A．…（2）由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，假设城市A受到台风侵袭，则，∴300t2﹣10800t+86400≤0，即t2﹣36t+288≤0，…解得12≤t≤24…∴该城市受台风侵袭的持续时刻为12小时．…19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得概念域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）假设f（x）=2x﹣x2，试判定f（x）是不是为M1中的元素，并说明理由；（2）假设，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）假设（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判定f（x）∉M1．（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，取得对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，别离求解最小值即可．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（2）由…∴，…故a＞1．…（3）由，…即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当1≤k＜3时，．…综上：…20．由n（n≥2）个不同的数组成的数列a1，a2，…a n中，假设1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），那么称a i与a j组成一个逆序，一个有穷数列的全数逆序的总数称为该数列的逆序数．如关于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1，…a1的逆序数．【考点】数列的求和．【分析】（1）由{a n}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可得逆序数．（3）在数列a1，a2，…a n中，假设a1与后面n﹣1个数组成p1个逆序对，那么有（n﹣1）﹣p1不组成逆序对，可得在数列a n，a n﹣1，…a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣p n．【解答】解：（1）∵{a n}为单调递减数列，∴逆序数为．（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．当k为奇数时，逆序数为；当k为偶数时，逆序数为．（3）在数列a1，a2，…a n中，假设a1与后面n﹣1个数组成p1个逆序对，那么有（n﹣1）﹣p1不组成逆序对，因此在数列a n，a n﹣1，…a1中，逆序数为．。
2017届安徽省普通高中高考模拟卷(六)数学(理科)试卷
2017届安徽省普通高中高考模拟卷（六）数学（理科）试卷本试卷分第一部分（必考部分）和第二部分（选考部分）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
必考部分（共140分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}R 12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭ð，则A B = （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．{}2,1,0-- D ．{}0,1,2 2. 在复平面内，复数ii+1的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.阅读程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．11C ．23D ． 47 4.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题；②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”； ③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)mx -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．83B ．163C ．D ．7.若291(4)()x x x-+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．36 B ．-144 C.60 D ．-608.过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（ ）A ．1B ．23π C. 43π D ．83π 9.已知2220182018201720172ln ,2ln ,2017201720162016a b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2201620162ln 20152015c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>10．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f （x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y 轴对称．则函数f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）=2sin （x+） B ．f （x ）=2sin （x+）C ．f （x ）=2sin （2x+） D ．f （x ）=2sin （2x+）11．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ． 8πD ．16π12．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知向量,a b 满足()4,3,3a b =-=- ，若向量,a b 的夹角为23π，则 23a b += __________.14. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与椭圆()22222:10y x C a b a b+=>>相交于,,,A B C D 四点，若椭圆1C的一个焦点为()F ，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆1C 的离心率为 __________. 15. 已知实数,x y 满足240300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若66ax y +≥-恒成立，则实数的取值范围为_________.16. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． （Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .18．（本小题满分12分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF 求AG 的长.19. （本小题满分12分）如图，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字。
福建省泉州市南安第一中学2017届高三数学上学期第一次阶段考试试题理(无答案)
南安一中2016～2017学年度上学期第一次阶段考高三数学（理科）试卷本试卷考试内容为：一轮复习1～4章、选考.共4页. 满分１５０分，考试时间１２０分钟. 注意事项：1．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效.按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.2．涂卡使用2B 铅笔，其他使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．保持答题纸纸面清洁，不破损.考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．若i 为虚数单位，且复数z 满足(1i)3i z +=-，则复数z 的模是 （ ） （A ）2 （B ）5 （C ）2 （D ）5 2．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 （ ） （A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为π的偶函数 （C ）最小正周期为2π的奇函数 （D ）最小正周期为2π的偶函数 3．集合{(,)|}A x y y a ==，集合{(,)|1,0,1|}x B x y y b b b ==+>≠，若集合A B =∅，则实数a 的取值范围是 （ ） (A)R(B)(,1)-∞(C)(1,)+∞(D)(],1-∞4．设,a b 为向量，则“0>⋅b a ”是“,a b 的夹角是锐角”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．已知()0012=+⎰dx mx x ，则实数m 的值为 （ ）（A ）13- （B ）23-（C ）1- （D ）2- 6．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++，则点P 一定为三角形ABC 的 （ ）（A ）AB 边中线的中点 （B ）重心（C ）AB 边中线的三等分点（非重心） （D ）AB 边的中点7．设4log 8a =，0.4log 8b =，0.42c =，则 （ ） （A ）b c a << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）b a c << 8．已知角α的终边经过点(1,3)-,则对函数)22cos(cos 2cos sin )(παα-+=x x x f的表述正确的是 （ ） （A ）对称中心为11(,0)12π （B ）函数sin 2y x =向左平移3π个单位可得到()f x （C ）()f x 在区间(,)36ππ-上递增 （D ）5()0-,06f x π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦方程在上有三个零点9．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 10．函数()sin()f x A x ωϕ=+(,0,0,)2x R A πωϕ∈>><的部分图象如图所示，如果1x 、2(,)63x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()f x x +等于（ ）（A ）12（B ）22 （C ）32 （D ）111．已知定义在(0,)2π的函数()f x ，其导函数为()f x '，且对于任意的(0,)2x π∈，都有()sin ()cos f x x f x x '<，则 （ ）（A ）3()2()43f f ππ> （B ）()(1)3f f π> （C ）2()()64f f ππ< （D ）3()()63f f ππ<12．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，(1)1,f -=则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++的值为 （ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在横线上. 13．已知函数2log ,0,()2, 0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a 等于 ．14．已知向量a ，b 满足：||13a =,||1b =,|5|12a b -≤，则b 在a 上的投影的取值范围是 ．15．求值:cos 20cos351sin 20=- ．16．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有2个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）（1）如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，求AP OP 的值；（2）已知2sin 21cos2αα=+，求tan 2α的值．18．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ， 102cos -=∠ADB . （1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.19.（本小题满分12分）已知函数1ln )(++=x xb a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x ．（1）求b a ,的值；（2）对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ，<)(x f xx m+2恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量2(2sin(),3),cos 2,2cos 12B m A C n B ⎛⎫=+=-⎪ ⎭⎝，且向量m ，n 共线．(1)求角B 的大小；AOCBP（2）如果1b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．21．（本小题满分12分）设函数()()21x f x x e ax =--． （1）若12a =,求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围★★★ 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．★★★ 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()212f x x x a =-++，g()3x x =+． (Ⅰ)当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；(Ⅱ)设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．。
2017级成都市高三第一次诊断性检测数学试题(理科)
成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第1卷（选择题）1至2页，第lI卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦千净后，再选涂其它答案标号。
答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，只将答题卡交回。
第1卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1若复数Z 1与Zz =-— (i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则Z1=CA)-—i (B)-3+ (C)+i (D)—!2.已知集合A={—1,0,m},B={l ,2}. 若A U B = {-1,0,1,2}, 则实数m的值为(A)-1或0(B)O或1CC)—1或23.若si n e =乔cos(2穴-0),则tan20=石乔瓦CA)——CB) -CC)—一 2 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60), [60, 70), [70, 80),[80,90),[90,100], 得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为CA )72. 50.040 0.030 数学（理科）”一诊“考试题第1页（共4页）CD)l或2CD)-污2 彗0.015 (B )75 0.0100.005 (C)77. 5(D)80。
工丑扫已。
100得分5设等差数列{a ,}的前n项和为S,,,且a ,,-::/:-0.若as =a 3, 则—＝s 9 S s 9 5 5 (A)了(B)了(C)了6已知a,/3是空间中两个不同的平面，m,n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是(A)若m II a ,n II /3, 且a II /3,则m II n (B)若m II a ,n II /3, 且a_l/3,则m II n (C)若m_la ,n II /3, 且a II /3, 则m _l n (D)若m _la,n ll /3,且a_l/3,则m _l n7.(x 2+2)(x ——)6的展开式的常数项为(A)25(B)-25 (C)5(D )—5 8.将函数y =si n (4x -王）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所6 得图象向左平移王个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为6 (A) f(x) =si n (2x +互）6 CA) C —2,0) LJ (2, 十=)穴CB) f(x) =si n (2x —一） 亢(C) f(x) =si n (8x +岊)(D) f(x) =si n (8x —一）9已知抛物线沪=4x 的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点．若I M Fl+INFl =5,则线段MN的中点到y轴的距离为CA)3 3_2） B （ CC)5 10.巳知a =沪，b=3了，c =l n -2 ，则(A) a> b > c (B) a> c > b (C) b >a> c (D) b > c > a 11已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(Z +x), 当x冬2时，f(x)= (x —l)e< :--1 若关于x的方程f(x)-kx +zk —e +l=O 有三个不相等的实数根，则实数K的取值范围是(B)(—2,0) LJ (0,2)CC)C —e,O) U (e, 十oo)CD)C —e ,O) U (0, e ) 12.如图，在边长为2的正方形AP 1贮凡中，线段BC的端点B,C分别在边P1P 2,P 2P 3 _t 滑动，且P 2B =P心=x.现将丛AP 1B ,6AP 3C分别沿AB,A C折起使点P1,凡重合，重合后记为点P ,得到三棱锥P-ABC 现有以下结论：(DAP上平面PBC;＠当B,C分别为P1P2,P 2凡的中点时，三棱锥P —ABC的外接球的表面积为67(;®x 的取值范圉为(0,4—2迈）； 1 ＠三棱锥P —ABC体积的最大值为—.则正确的结论的个数为P 1 5_2、丿D （ A 27CD)一5 (A)l (B)2CC )3(D )4数学（理科）”一诊“考试题第2页（共4页）。
2017年北京市朝阳区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝（）A．4B．8C．12D．164．（5分）给出如下命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件；③（1+x）8的展开式中二项式系数最大的项是第五项．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．166．（5分）已知函数若a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（）A．（24，25）B．（18，24）C．（21，24）D．（18，25）7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（）A．B．C．D．8．（5分）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（）A．可能有两支队伍得分都是18分B．各支队伍得分总和为180分C．各支队伍中最高得分不少于10分D．得偶数分的队伍必有偶数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．10．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S6＝51，a1+a9＝26，则数列{a n}的公差d＝，通项公式为．12．（5分）在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为；曲线C2的方程为（t为参数），则C2被C1截得的弦长为．13．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1，P2，则＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点（1，1）的距离，记点P的轨迹为C．给出下面四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．16．（13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，E为AD的中点，P A⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，P A＝AE＝BE＝2，CD＝1．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）++2x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．19．（14分）已知椭圆，离心率．直线l：x＝my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x＝3作垂线，垂足分别为E1，F1．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记△AEE1，△AE1F1，△AFF1的面积分别为S1，S2，S3，试证明为定值．20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．2017年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：解x2＜4得，﹣2＜x＜2；又x∈Z；∴B＝{﹣1，0，1}，且A＝{x|﹣1≤x＜3}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝1×2+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：输入m＝4，n＝6，i＝0，则i＝1，a＝4，a不能被n整除，i＝2，a＝8，a不能被n整除，i＝3，a＝12，a能被n整除，输出a＝12，故选：C．4．（5分）给出如下命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件；③（1+x）8的展开式中二项式系数最大的项是第五项．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：对于①，若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错；对于②，A＞B⇒a＞b，由正弦定理知，2R sin A＞2R sin B⇒，∴sin A＞sin B，反之成立，故正确；对于③，展开式有9项，则最中间一项的二项式系数最大二项式系数最大的项是第五项．故正确．故选：B．5．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．16【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x＝﹣2，∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y＝（x﹣2），由，可得A点坐标为（﹣2，4），∵P A⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|＝|P A|＝6﹣（﹣2）＝8，故选：C．6．（5分）已知函数若a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（）A．（24，25）B．（18，24）C．（21，24）D．（18，25）【解答】解：先画出函数的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），而﹣log4a＝log4b，即有log4a+log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd，由c+d＝10，可得cd＜（）2＝25，且cd＝c（10﹣c）＝﹣（c﹣5）2+25，当c＝4时，d＝6，cd＝24，但此时b，c相等，故ab的范围为（24，25）．故选：A．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该四棱锥的底面是正视图中的梯形，面积为＝，故选：D．8．（5分）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（）A．可能有两支队伍得分都是18分B．各支队伍得分总和为180分C．各支队伍中最高得分不少于10分D．得偶数分的队伍必有偶数个【解答】解：设每支队伍胜x场，负y场，平z场（x，y，z都是不大于9的自然数），则x+y+z＝9，且最终得分为n＝2x+z；对于A，某支队伍得分18分为满分，也就是胜了9场，那么其他9队至少有一次负，就不可能再得18分，故错误；对于B，总共要进行＝45场比赛，每场比赛的得分和都是2分，最后总得分＝45×2＝90分，故错误；对于C，最高得分可能超过10分，比如A中可能为18分，故错误；对于D，由B可知，各个队伍得分总和m1+m2+…+m10＝90，这10个数中，若有（2k+1）个偶数，则有10﹣（2k+1）＝（9﹣2k）个奇数，其和必为奇数，不可能等于90，∴这10个数中，有偶数个偶数，正确．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是（1，﹣1）．【解答】解：复数＝＝1﹣i在复平面内对应的点的坐标（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．10．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S6＝51，a1+a9＝26，则数列{a n}的公差d＝3，通项公式为a n＝3n﹣2．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和．S6＝51，a1+a9＝26，∴，解得a1＝1，d＝3，∴a n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．故答案为：3，a n＝3n﹣2．12．（5分）在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为x+y﹣2＝0；曲线C2的方程为（t为参数），则C2被C1截得的弦长为．【解答】解：直线C1的极坐标方程为，即ρsinθ+ρcosθ＝2，∴直线C1的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，曲线C2的方程为（t为参数），普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，圆心到直线的距离d＝，∴C2被C1截得的弦长为2＝，故答案为x+y﹣2＝0，．13．（5分）如图，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1，P2，则＝36．【解答】解：由图可知，∠B2AC3＝30°，又∠AC2B2＝60°，∴⊥，又∥，∴⊥，∴•＝0；∴＝•[（+）+（+）]＝•+•m+•+•n＝2•＝2×2×6×cos30°＝36．故答案为：36．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点（1，1）的距离，记点P的轨迹为C．给出下面四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于．其中所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|＝，∴|xy|+x+y﹣1＝0，若xy＞0，则xy+x+y+1＝2，即（x+1）（y+1）＝2，∴y＝，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支；若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1＝0，即（x﹣1）（y﹣1）＝0，∴x＝1（y＜0）或y＝1（x＜0）．函数的图象如图所示：∴曲线C关于直线y＝x对称；点（﹣a2，1）（a∈R）在曲线C上；曲线C与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于．∴所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：由，＝，＝，＝，…（5分）（Ⅰ）又因为函数f（x）的最小正周期为T＝，∴．解得：ω＝2．…（7分）（Ⅱ）令，解得：，∴．∴函数f（x）的单调递减区间是．…（13分）16．（13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为，女员工的人数为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．根据题意，，，．随机变量X的分布列是：数学期望．…（10分）（Ⅲ）．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，E为AD的中点，P A⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，P A＝AE＝BE＝2，CD＝1．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以P A⊥平面ABCD．所以P A⊥CD．又因为BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面P AD．因为CD⊂平面PCD，所以平面P AD⊥平面PCD．…（4分）（Ⅱ）作Ez⊥AD，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．所以，，．设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），所以即令y＝1，解得＝（2，1，3）．设平面PBE的法向量为＝（a，b，c），所以即令b＝1，解得＝（0，1，1）．所以cos＜＞＝．由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“”．因为，设，λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），．由（Ⅱ）知平面PBC的法向量为＝（2，1，3），所以．解得．所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）++2x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得x＞0，，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）为增函数；（ⅱ）当a＞0时，由f'（x）＞0，得；由f'（x）＜0，得；所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为＝＝，则g'（x）＝lnx+1﹣x+1＝lnx﹣x+2＝f（x）+3．由（Ⅰ）可知，函数g'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．又因为＝，g'（1）＝1＞0，所以g'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1．又在（0，x1）上g'（x）＜0，g（x）在（0，x1）上单调递减；在（x1，1）上g'（x）＞0，g（x）在（x1，1）上单调递增．所以x1为极值点，此时m＝0．又g'（3）＝ln3﹣1＞0，g'（4）＝2ln2﹣2＜0，所以g'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2．又在（3，x2）上g'（x）＞0，g（x）在（3，x2）上单调递增；在（x2，4）上g'（x）＜0，g（x）在（x2，4）上单调递减．所以x2为极值点，此时m＝3．综上所述，m＝0或m＝3．19．（14分）已知椭圆，离心率．直线l：x＝my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x＝3作垂线，垂足分别为E1，F1．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记△AEE1，△AE1F1，△AFF1的面积分别为S1，S2，S3，试证明为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知b＝1，椭圆的离心率e＝，即．解得：a2＝3．即．∴．∴椭圆C的方程为，焦点坐标为．…（4分）（Ⅱ）由，整理得（m2+3）y2+2my﹣2＝0，显然m∈R，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，E1（3，y1），F1（3，y2），∵＝＝＝＝，又∵＝，＝+，＝＝．∴．…（14分）20．（13分）对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．…（3分）（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）的奇偶性相同．（ⅰ）如果M为奇数，则a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．（ⅱ）如果M为偶数，则a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素个数为奇数，当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“和谐集”．当n＝5时，不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得a1＝a2，矛盾．因此当n＝5时，集合A一定不是“和谐集”．当n＝7时，设A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，所以集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．集合A中元素个数n的最小值是7．…（13分）。
陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题 含解析
陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第六次模拟考试数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则等于( )A. 2B. 3C. 2或3D. 2或4【答案】C【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：则等于2或3.本题选择C选项.2. 若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两面三刀条平行直线间的距离的最小值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等。
联立方程组,解得A(2,1)，联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x−1，y=x+1，即x−y−1=0，x−y+1=0.∴平行线间的距离为，本题选择D选项.3. 下列说法正确的是( )A. “若，则”的否命题是“若，则”B. 在中，“”是“”的必要不充分条件C. “若，则”是真命题D. 使得成立【答案】C【解析】对于A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a⩽1,则a2⩽1”，故A错；对于B，在△ABC中，“A>B”⇔“a>b”⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“sinA>sinB”，故在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”充分必要条件，故B错；对于C,tanα=⇔(k∈Z,“tanα≠,则α≠”⇔“α=则tanα=”故C 正确；对于D,由幂函数y=x n(n<0)在(0,+∞)递减,可得x∈(−∞,0)使得3x>4x成立，故D错。
本题选择C选项.4. 为得到函数的图象，可将函数的图象( )A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】A【解析】原函数，新函数，则函数图象需要向右平移：个单位.本题选择A选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．5. 某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P=考点：几何概型6. 等比数列中，，则数列的前8项和等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质知，所以．故选C考点：等比数列的性质，对数的运算．7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为( )A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】y2=−8x的准线方程为l:x=2，∵双曲线的两条渐进线与抛物线y2=−8x的准线分别交于A,B两点,△ABO的面积为，∴，∴b=a，∴c=2a，∴.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．8. 存在函数满足，对任意都有( )A. B.C. D.【答案】D【解析】A：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令，∴，符合题意，故选D.考点：函数的概念9. 已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为( )A. 3B.C. -3D.【答案】B【解析】△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,且，∴OBAC为平行四边形。
2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷
2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，满分54分）1．（4分）=．2．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（4分）若复数z满足：i•z=+i（i是虚数单位），则|z|=．5．（4分）在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是．（结果用数值表示）6．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．7．（5分）若函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是．8．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．9．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），则f（x）在R上的零点个数为个．10．（5分）将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有种？（结果用数值表示）11．（5分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为S n，设b n=（n∈N*），若数列{b n}是递减数列，则实数m的取值范围是．12．（5分）若使集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=315．（5分）已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣1，3）和点B（1，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，3） C．（0，log23）D．（1，log23）16．（5分）如图，两个椭圆+=1，+=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．18．（14分）已知函数f（x）=．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．19．（14分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20．（16分）如图，双曲线Γ：﹣y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q．（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F1到直线l的距离；（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l与Γ交于不同两点A、B，且Γ上存在一点M，满足++4=（其中O为坐标原点），求直线l的方程．21．（18分）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{a n}是等差数列的充要条件是{a n}为常数数列；（3）记c n=|a n﹣b n|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+c n与c1的大小关系并说明理由．2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，满分54分）1．（4分）=2．【分析】分式分子、分母同除以n，运用常见数列的极限为0，计算即可得到所求值．【解答】解：===2．故答案为：2．【点评】本题考查数列极限的求法，注意运用常见数列的极限公式，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．【分析】由题意可知：设抛物线的方程：y2=2px，将M（1，3）代入9=2p，解得：p=，求得抛物线方程，则焦点到准线的距离d=p=9．【解答】解：由题意可知：由焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则图象经过第一象限，∴设抛物线的方程：y2=2px，将M（1，3）代入9=2p，解得：p=，∴抛物线的标准方程为：y2=9x，由焦点到准线的距离d=p=，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线方程的应用，属于基础题．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若复数z满足：i•z=+i（i是虚数单位），则|z|=2．【分析】求出z，根据复数求模公式求出z的模即可．【解答】解：由iz=+i，得z==1﹣i，故|z|==2，故答案为：2．【点评】本题考查了复数求模公式，复数的化简，是一道基础题．5．（4分）在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．（结果用数值表示）【分析】利用二项式定义的通项公式求解．【解答】解：在（x+）6的二项展开式中第四项：=8C x﹣3=160x﹣3．∴在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．故答案为：160．【点评】本题考查二项展开式中第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的性质的合理运用．6．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．【分析】根据条件画出图形，并连接D1B1，可以判断出∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成的角，从而在Rt△BB1D1中可求出cos∠B1BD1，进而便可得出∠B1BD1的大小．【解答】解：如图，连接D1B1；∵CC1∥BB1；∴BD1与CC1所成角等于BD1与BB1所成角；∴∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成角；∴在Rt△BB1D1中，cos∠B1BD1=；∴异面直线BD1与CC1所成角的大小为．故答案为：．【点评】考查异面直线及异面直线所成角的概念，三角函数的定义，已知三角函数值求角．7．（5分）若函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是（0，1] ．【分析】根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（﹣∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=﹣x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（﹣∞，0）递增，∴f（x）=﹣x2+m＜m，函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．8．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．【分析】由条件可先得出，且，从而带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：根据条件：===；∴===．故答案为：．【点评】考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．9．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），则f（x）在R上的零点个数为4个．【分析】利用函数是偶函数求出xx≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．【解答】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），函数的零点由：lg（x2﹣3x+3）=0，即x2﹣3x+3=1，解得x=1或x=2．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：4个．故答案为：4．【点评】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．10．（5分）将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有40320种？（结果用数值表示）【分析】根据将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，利用排列知识可得结论．【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有A22A86=40320种．故答案为40320．【点评】本题考查排列知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为S n，设b n=（n∈N*），若数列{b n}是递减数列，则实数m的取值范围是[0，1）．【分析】利用求和公式可得S n=n+×2m．可得b n==，由数列{b n}是递减数列，可得b n＜b n，即可得出．+1【解答】解：S n=n+×2m=mn2+（1﹣m）n．∴b n==，∵数列{b n}是递减数列，＜b n，∴＜，∴b n+1化为：m（n﹣2）+1＞0，对于∀n∈N*都成立．n=1时，m＜1；n=2时，m∈R；n＞2时，m，解得m≥0．综上可得：m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若使集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是[﹣3，﹣2] ．【分析】化简集合A，对k讨论即可．求解x的范围，可得答案．【解答】解：集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}，∵方程（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）=0，解得：，x2=4，∴（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z当k=0时，A=（﹣∞，4）；当k＞0时，4＜k+，A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．∴当k≥0时，集合A的元素的个数无限；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．集合A的元素的个数有限，令函数g（k）=k+，（k＜0）则有：g（k）≤﹣2，∵题意要求x∈Z，故得：k+≥﹣5，且k+＜﹣4，解得：﹣3≤k≤﹣2故答案为：[﹣3，﹣2]．【点评】本题考查的是集合元素的分布以及运算问题，方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C．【点评】本题考察了充分必要条件的定义，属于容易题．14．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴，解得b=﹣2，c=3．故选：D．【点评】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣1，3）和点B（1，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，3） C．（0，log23）D．（1，log23）【分析】由已知结合互为反函数的两个函数图象间的关系可得f﹣1（3）=﹣1，f﹣1（1）=1，再由|f﹣1（2x）|＜1，得﹣1＜f﹣1（2x）＜1，即f﹣1（3）＜f﹣1（2x）＜f﹣1（1），再由函数的单调性转化为指数不等式求解．【解答】解：∵点A（﹣1，3）和点B（1，1）在图象上，∴f（﹣1）=3，f（1）=1，又f﹣1（x）是f（x）的反函数，∴f﹣1（3）=﹣1，f﹣1（1）=1，由|f﹣1（2x）|＜1，得﹣1＜f﹣1（2x）＜1，即f﹣1（3）＜f﹣1（2x）＜f﹣1（1），函数f（x）为R的减函数，∴f﹣1（x）是定义域上的减函数，则1＜2x＜3，解得：0＜x＜log23．∴不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（0，log23）．故选：C．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，体现了数学转化思想方法，是基础题．16．（5分）如图，两个椭圆+=1，+=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】①，若点P在椭圆+=1上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值；②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部．【解答】解：对于①，若点P在椭圆+=1上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选：C．【点评】本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．【分析】（1）先判断∠DPA就是PD与平面PAC所成的角，再在Rt△PAD中，即可求得结论；（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，从而可求体积．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又∵AC⊥AB，PA∩AC=A∴AB⊥平面PAC，∴∠DPA就是PD与平面PAC所成的角．…（2分）在Rt△PAD中，PA=2，AD=，…（4分）∴tan∠DPA=∴∠DPA=arctan，…（5分）即PD与平面PAC所成的角的大小为arctan．…（6分）（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，∴﹣=．…（12分）．【点评】本题考查线面角，考查几何体的体积，确定线面角，明确几何体的形状是解题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=sin（2x+）+，结合范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可得解值域．（2）由已知可求sin（A+）=，结合范围A+∈（，），可得A=，由余弦定理解得：bc=3，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分，第1小题满分为6分，第2小题满分为8分）解：（1）∵f（x）==cos2x+sinxcosx=sin（2x+）+，∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=sin（2x+）+∈[0，1+]．（2）∵f（）=sin（A+）+=，可得：sin（A+）=，∵A∈（0，π），A+∈（，），可得：A+=，解得：A=．∵a=4，b+c=5，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：16=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=25﹣3bc，解得：bc=3，=bcsinA=3×=．∴S△ABC【点评】本题主要考查了行列式的计算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【分析】（1）由A产品的利润与投资额成正比，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．【解答】解：（1）f（x）=k1x，g（x）=k2，f（1）=0.25=k1，g（4）=2k2=2.5，∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=1.25（x≥0），（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10﹣x万元．y=f（10﹣x）+g（x）=0.25（10﹣x）+1.25（0≤x≤10），令t=，则y=﹣0.25t2+1.25t+2.5，所以当t=2.5，即x=6.25万元时，收益最大，y max=万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20．（16分）如图，双曲线Γ：﹣y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q．（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F1到直线l的距离；（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l与Γ交于不同两点A、B，且Γ上存在一点M，满足++4=（其中O为坐标原点），求直线l的方程．【分析】（1）由双曲线Γ：﹣y2=1，焦点在x轴上，a=，b=1，c==2，则令k=，直线l的方程为：y=（x﹣2），即x﹣y﹣2=0，则点F1到直线l 的距离为d==2；（2）直线l的方程为y=x﹣2，点Q（0，﹣2），假设在Γ的右支上存在点P（x0，y0），则x0＞0，=0，代入求得y0=x0+2，代入双曲线方程求得2+12x0+15=0，由△＜0，所以不存在点P在右支上；（3）设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，由韦达定理则=（x3，y3），=﹣（+），M为双曲线上一点，即x32﹣3y32=3，则x1x2﹣3y1y2=21①由x1x2﹣3y1y2=x1x2﹣3（x1+b）（x2+b），=﹣2x1x2﹣3b（x1+x2）﹣3b2=﹣2•﹣3b•﹣3b2=21，即可求得k与b的值，求得直线l的方程；方法二：设直线l的方程为y=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得M点坐标，代入双曲线的方程，即可求得m的值．【解答】解：（1）双曲线Γ：﹣y2=1，焦点在x轴上，a=，b=1，c==2，则双曲线左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2作直线l，设直线l的斜率为k，l交y轴于点Q．当直线l平行于Γ的一条渐近线时，不妨令k=，则直线l的方程为：y=（x﹣2），即x﹣y﹣2=0，则点F1到直线l的距离为d==2；（2）当直线l的斜率为1时，直线l的方程为y=x﹣2，则点Q（0，﹣2）；假设在Γ的右支上存在点P（x0，y0），则x0＞0；∵=0，∴（x0+2）（0+2）+（y0﹣0）（﹣2﹣0）=0，整理得y0=x0+2，与双曲线方程﹣=1联立，消去y0，得2+12x0+15=0，△=24＞0，方程有实根，解得：x=＜，所以不存在点P在右支上；（3）当k=0时，直线l的方程x=2，则A（2，），B（2，﹣），由=﹣（+），∴M（1，0），则M不椭圆上，显然不存在，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，消去y，得（1﹣3k2）x2﹣6kbx﹣3b2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，设=（x3，y3），++4=，=﹣（+），即，又M为双曲线上一点，即x32﹣3y32=3，由（x1+x2）2﹣3（y1+y2）2=48，化简得：（x12﹣3y12）+（x22﹣3y22）+2（x1x2﹣3y1y2）=48，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣3y12=3，x22﹣3y22=3，∴x1x2﹣3y1y2=21，由直线l过椭圆的右焦点F（2，0），则k=﹣，①而x1x2﹣3y1y2=x1x2﹣3（kx1+b）（kx2+b），=x1x2﹣3k2x1x2﹣3kb（x1+x2）﹣3b2=﹣2•﹣3b•﹣3b2=21，②由①②解得：，或，∴直线l的方程x=±y+2．方法二：设直线l的方程为x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），整理得：（m2﹣3）y2+4my+1=0，则y1+y2=﹣，y1•y2=，x1+x2=m（y1+y2）+4=﹣，x1•x2=（my1+2）（my2+2）=m2y1•y2+2m（y1+y2）+4=﹣，+=﹣4，则（x1+x2，y1+y2）=﹣4，∴，求得：x0=，y0=，由M在椭圆方程，代入，求得m2=2，解得：m=±，直线l的方程x=±y+2．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与双曲线的交点与△的关系，考查计算能力，属于难题．21．（18分）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{a n}是等差数列的充要条件是{a n}为常数数列；（3）记c n=|a n﹣b n|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+c n与c1的大小关系并说明理由．【分析】（1）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．可得2a k=a k﹣1+b k﹣1，b k2=a k ﹣1b k﹣1，对k取值即可得出．（2）{a n}是等差数列，2a k=a k﹣1+b k﹣1，2a k=a k﹣1+a k+1，可得b k﹣1=a k+1，b k=a k+2，b k2=a k ﹣1b k﹣1，a k+22=a k﹣1a k+1，k=2时，a42=a1a3，（a1+3d）2=a1（a1+2d），可得d=0．即可证明．（3）对一切k ≥2，k ∈N *，a k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等差中项，b k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等比中项．2a n =a n ﹣1+b n ﹣1，b n 2=a n ﹣1b n ﹣1，利用基本不等式的性质可得a n ===bn ，c n =|a n ﹣b n |=a n ﹣b n ．可得a n +1﹣b n +1=﹣=≤（a n +b n ﹣2b n ）=，即．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）正整数列{a n }，{b n }满足：a 1≥b 1，且对一切k ≥2，k ∈N *， a k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等差中项，b k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等比中项．∴2a k =a k ﹣1+b k ﹣1，b k 2=a k ﹣1b k ﹣1，a 2=2，b 2=1，可得4=a 1+b 1，1=a 1b 1，解得a 1=2+，b 1=2﹣． （2）证明：{a n }是等差数列，2a k =a k ﹣1+b k ﹣1，2a k =a k ﹣1+a k +1，可得b k ﹣1=a k +1， 则b k =a k +2，∵b k 2=a k ﹣1b k ﹣1，∴a k +22=a k ﹣1a k +1，k=2时，a 42=a 1a 3，（a 1+3d ）2=a 1（a 1+2d ），6a 1d +9d 2=2a 1d ，即d （4a 1+9d ）=0，正整数列{a n }，可知d ≥0，4a 1+9d ＞0，∴d=0．∴数列{a n }为常数数列．反之也成立．{a n }是等差数列的充要条件是{a n }为常数数列．（3）对一切k ≥2，k ∈N *，a k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等差中项，b k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等比中项．2a n =a n ﹣1+b n ﹣1，b n 2=a n ﹣1b n ﹣1，∴an ===b n ，又已知a 1≥b 1，∴c n =|a n ﹣b n |=a n ﹣b n ．∴an +1﹣b n +1=﹣=≤（a n +b n ﹣2b n ）=，即．∴≤…≤，∴c2+…+c n≤+…+=≤c1．∴当n≥2（n∈N*）时，c2+…+c n≤c1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、基本不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2017年高考一模数学试卷(附答案与解析)
11．在△ABC 中，已知 AB
3，C
π 3
，则
CA
CB 的最大值为__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线 y
3 ( x 1) 上从左向右依次取点 3
A k
、B k
，k
1，2
，…，
其中 A 是坐标原点，使△A B A 都是等边三角形，则△A B A 的边长是_________．
17．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O:x2 y2 b2 经过椭圆 E :
x2 4
y2 b2
1(0
b
2) 的焦点．
（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设直线l:y kx m 交椭圆 E 于 P ，Q 两点，T 为弦 PQ 的中点，M(-10,)，N(1,0)，记直线 TM ，TN
的斜率分别为 k ， k ，当 2m2-2k2 1时，求 k k 的值．
方法一：设太阳光线所在直线方程为 y
3x 4
b
，
即 3x 4y-4b 0 ，由 3r 4 b h-2r （舍）
故太阳光线所在直线方程为 y 3 x h 2r ， 4
令
x 30，得 EG
2r
h
45 2
，由
EG
5 2
，得
h
25-2r
所以 S
2rh
1 r2 2
2rh
3 2
r
2
2r (25
2r )
3 2
r
2
5r2 2
50r
52(r
10)2
250
250 ．
当且仅当 r 10时取等号．
所以当 AB 20 米且 AD 5 米时，可使得活动中心的截面面积最大
高考数学《函数》专题复习
函数一、17届 一模一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末） 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为2、（崇明县2017届高三第一次模拟）设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则((1))f f -= ．3、（虹口区2017届高三一模）定义{}()f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{}2.13=，{}44=．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）．①(2)2()f x f x =； ②若12()()f x f x =，则121x x -<； ③任意12,x x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=．.A ①② .B ①③ .C ②③ .D ②④4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知函数()y f x =是奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+．若函数()y g x =是()y f x =的反函数，则(3)g -= ．5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是 【 】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）函数()1f x =的反函数是_____________．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f .9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<，不考虑树的粗细．现用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ．设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()u f a =（单位2m ）的图像大致是……………………（ ）.A ．B ．C ．D ．10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞，则实数m 的取值范围是____________12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________．13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________．14、（崇明县2017届高三第一次模拟）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．tan y x =B ．3xy =C ．13y x =D ．lg y x =15、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（ ）． A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称16、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .17、（普陀区2017届高三上学期质量调研）方程()()23log 259log 22-+=-x x 的解=x .18、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .19、（奉贤区2017届高三上学期期末）方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________ 20、（金山区2017届高三上学期期末）函数()2xf x m =+的反函数为1()y fx -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =二、解答题1、（崇明县2017届高三第一次模拟）设12()2x x af x b+-+=+（,a b 为实常数）．（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．2、（虹口区2017届高三一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在2,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域．3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)f t +()(2)f t f =+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围；（3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x-=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．5、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.6、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值.7、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) ． （1）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由； （2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.8、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？参考答案：一、填空、选择题1、解析：1＋log 8a ＝4，log 8a ＝3，化为指数：3a ＝8，所以，a ＝221log y x =+，即：12y x -=，所以反函数为12x y -=2、－23、C4、－75、C6、()()211(1)fx x x -=-≥ 7、548、【解析】∵x ≥1，∴y=1+2log x ≥1，由y=1+2log x ，解得x=2y ﹣1，故f ﹣1（x ）=2x ﹣1（x ≥1）．故答案为：2x ﹣1（x ≥1）． 9、B 10、211、01m <≤ 12、2a =13、【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点（4，1）， 即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点（1，4）， ∴4=log 2（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．故答案为：3． 14、C 15、D16、【解析】由题意：函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则mx=0，故得m=0， 那么：f （x ）=23x +1，根据幂函数的性质可知：函数f （x ）的单点增区间为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 17、【解析】由题意可知：方程log 2（9x ﹣5）=2+log 2（3x ﹣2）化为：log 2（9x ﹣5）=log 24（3x ﹣2） 即9x ﹣5=4×3x ﹣8 解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1． 故答案为1． 18、【解析】定义域为R 的函数y=f （x ）满足f （x +2）=f （x ）， 可得f （x ）的周期为2， F （x ）=f （x ）﹣g （x ），则令F （x ）=0，即f （x ）=g （x ）， 分别作出y=f （x ）和y=g （x ）的图象， 观察图象在[﹣5，10]的交点个数为14．x ＝0时，函数值均为1，则函数F （x ）零点的个数是15． 故答案为：15．19、5 20、1二、解答题1、解：（1）证明：511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意........................................8分（2）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x ，所以112>+x ，11210<+<x， 所以21)(21<<-x f .......................................10分 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x （， 所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f .............14分1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x 得：75log 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分2、解：（1）由二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，得0a >且41604ac a-=，解得4ac =．……………………2分(1)4f a c =+-，(1)4f a c -=++，0a >且0c >，从而(1)(1)f f -≠，(1)(1)f f -≠-，∴此函数是非奇非偶函数．……………………6分（2）函数的单调递增区间是2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．设1x 、2x 是满足212x x a >≥的任意两个数，从而有21220x x a a->-≥，∴222122()()x x a a ->-．又0a >，∴222122()()a x a x a a ->-，从而22212424()()a x c a x c a a a a-+->-+-，即22221144ax x c ax x c -+>-+，从而21()()f x f x >，∴函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增．……………………10分（3）2()4f x ax x c =-+，又0a >，02x a=，[)1,x ∈+∞ 当021x a =≥，即02a <≤时，最小值0()()0g a f x == 当021x a =<，即2a >时，最小值4()(1)44g a f a c a a==+-=+-综上，最小值002()442a g a a a a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩……………………14分 当02a <≤时，最小值()0g a = 当2a >时，最小值4()4(0,)g a a a=+-∈+∞ 综上()y g a =的值域为[0,)+∞……………………16分3、解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ ……2分 此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+，故()32f x x =+不属于集合M ． ……………………………4分（2）由2()lg2af x x =+属于集合M ，可得 方程22lg lg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，………7分若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤+故所求a的取值范围是[1212-+． ……………………………10分 （3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ⨯+-=， ………………12分令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点；当0b <时，(0)10g =-<，11()320bg b =⨯>，故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点；故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． ………………………16分 4、解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33min k k k k x h ……………………………1分5、【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +=，所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……（*） ①若0>x ，则（*）变为，0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ，所以1≥x ；②若0<x ，则（*）变为，0122≥+-xx x 0>⇔x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。
2017年上海市青浦区高考数学一模试卷(解析版)
2017年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则．2．已知集合，则A∩B=．3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为．（精确到0.01）10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=．11．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0 12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；与a n之间的关系；（2）试求a n+1（3）证明：．21．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．2017年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则=3﹣4i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z代入z2，然后展开，再求出得答案．【解答】解：由z=2+i，得z2=（2+i）2=3+4i，则=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．2．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是4320．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．=•6r•x6﹣2r，【解答】解：二项式（x+）6的展开式的通项公式为T r+1令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为=4320，故答案为：4320．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=﹣2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，得到，即可求出a．【解答】解：∵由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，∴，∴a=﹣2．故答案为﹣2．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=log319．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，当n=19时满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log319，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1不满足条件n＞3，执行循环体，n=3，不满足条件n＞3，执行循环体，n=19，满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log319．故答案为：log319．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为16π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．【解答】解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π，∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为 3.62．（精确到0.01）【考点】斜二测法画直观图．【分析】由题意，正三角形ABC的高为5，利用余弦定理求出△A′B′C′中最短边的边长．【解答】解：由题意，正三角形ABC的高为5，∴△A′B′C′中最短边的边长为≈3.62．故答案为3.62．10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=4．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，即可求•=||||cos45°．【解答】解：由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，则•=||||cos45°=2×=4．故答案为：411．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：解：∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f （x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=3x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或b（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【考点】数列递推式．+3=k（a n+3），再对a1=﹣3与a1≠﹣3讨论，特别是【分析】依题意，可得a n+1a1≠﹣3时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．=ka n+3k﹣3，【解答】解：∵a n+1∴a n+3=k（a n+3），+1∴①若a1=﹣3，则a1+1+3=k（a1+3）=0，a2=﹣3，同理可得，a3=a4=a5=﹣3，即a1=﹣3复合题意；②若a1≠﹣3，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+3}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，a n+3可以取﹣675，﹣75，25，225，∵﹣75=25×（﹣3），225=﹣75×（﹣3），﹣675=225×（﹣3），∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+3=22+3=﹣3（a1+3）得：a1=﹣﹣3=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+3=﹣675=﹣（a1+3）得：a1=2025﹣3=2022；综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣3，﹣，2022．∴a1所有可能值的和为：﹣3﹣+2022=．．故答案为：．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种【考点】三角函数的化简求值．【分析】对于s值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（s）•f（t）=0的个数．【解答】解：已知函数f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}，现从A中任取两个不同的元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0，s=3时f（s）=cos=0，满足f（s）•f（t）=0的个数为s=3时8个t=3时8个，重复1个，共有15个．故选D．14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面；②，n与α不一定垂直；③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α；④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β．【解答】解：已知空间两条直线m，n两个平面α，β对于①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故正确；对于②，n与α不一定垂直，显然错误；对于③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错；对于④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β，故正确．故选：A．15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求矩形ABCD面积的表达式，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，S=64当8＜a＜12时，S=a（16﹣a）S=，分段画出函数图形可得其形状与C接近故选：B．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解答】解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接近，据幂函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=}是“垂直对点集”．②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故④符合；综上可得：只有①③④是“垂直对点集”．故选：C三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，求出三棱锥A1﹣ABC的体积为，从而求出四棱锥A1﹣BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∴∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=A1C=，AO=，AD=，∴cos∠AOD==∴∠AOD=；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，，，，∴．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．【考点】三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换的应用可化简f（x）=sin（2x﹣），再利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，由A＜B，且f（A）=f（B）=，可求得A=，B=，再利用正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分14分）第（1）小题满分，第（2）小题满分．解：f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣=•+﹣=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（1）由于0≤x≤，因此﹣≤2x﹣≤，所以当2x﹣=即x=时，f（x）取得最大值，最大值为1；（2）由已知，A、B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）=f（B）=，可得：2A﹣=，2B﹣=，解得A=，B=，所以C=π﹣A﹣B=，得==．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意焦距求得c，由对称性结合|F1A|+|F1B|=4可得2a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），分别写出PA、PB所在直线方程，求出M、N的坐标，进一步求出MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，结合A、B在椭圆上可得k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵焦距，∴2c=2，得c=，由椭圆的对称性及已知得|F1A|=|F2B|，又∵|F1A|+|F1B|=4，|F1B|+|F2B|=4，因此2a=4，a=2，于是b=，因此椭圆方程为；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），直线PA的方程为，令x=0，得，故M（0，）；直线PB的方程为，令x=0，得，故N（0，）；∴，，因此．∵A，B在椭圆C上，∴，∴．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；（2）试求a n与a n之间的关系；+1（3）证明：．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）取立，能求出曲线C1和曲线C2的交点坐标．（2）设P n（），，由已知，能求出．（3）由，，得与异号，由．此能证明a2n﹣1【解答】解：（1）∵曲线及曲线，取立，得x=，y=，∴曲线C1和曲线C2的交点坐标是（）．（2）设P n（），，由已知，又，===，．证明：（3）a n＞0，由，，得与异号，∵0＜a1，，，，．∴a2n﹣121．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）a=2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）=±5根的情况，从而求出M （a）的解析式；（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0，分类讨论，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的较小的根，即M（a）=a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的较大的根，即M（a）=a+；综上，M（a）=．（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0．①若t=0，则a≥t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，a=﹣2不合题意，舍去当f（2）=4﹣4a=﹣4时，a=2，②若t+2=2a，则a≤t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2a﹣2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，若a=2，t=2，符合题意；若a=﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去当f（2a﹣2）=﹣4时，a=2，t=2综上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合题意．。
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05510'='⨯）
1、若复数112
m i z i -=
+-是纯虚数，则实数等于 ( ) A. 1 B. C.12 D.1
2
-
2、“101a b ><<且
”是“0log <b a ”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3、已知6||=a ，3||=b ，12-=⋅，则向量在向量方向上的投影是 （ ） A ． B ．4 C ． D ．2
4、为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ） A ．向右平移
5π12个长度单位 B ．向左平移5π12个长度单位
C ．向右平移5π6个长度单位
D ．向左平移5π
6
个长度单位
5、形如45123这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字
大，则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为 （ ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．11
6、从A B A C ⋂=⋂能够推出 ( ) A ．B C = B ．A B A C ⋃=⋃
C ．U U A C B A C C ⋃=⋃
D ．()()U U C A B C A C ⋃=⋃
7、设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2
a b b c =+是2A B =的（ ）
A ．充要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分而不必要条件
D ．既不充分又不必要条件
8、已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递增区间是 ( ) （A ）[6,63],k k k Z ππ+∈（B ）[63,6],k k k Z -∈（C ）[6,63],k k k Z +∈ （D ）无法确定
9
、已知函数31
()ln(1
x x
e f x x e +=+++，若()f x 在区间[](),0k k k ->上的最大值、最小值分别为,M m ，则M m +的值为 ( ) （A ）2（B ）4（C ）6（D ）与有关的值
10、设)0(25)(,1
2)(2
>-+=+=
a a ax x g x x x f ，若对于任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则的取值范围是 （ ）
A ．]4,2
5[
B ．[)+∞,4
C ．⎥⎦
⎤ ⎝
⎛2
5,0
D ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,25
二、填空题（8247'='⨯）
11、已知()tan cos()f x x x m =++为奇函数，且满足不等式2
3100m m --<，则的值为____________ 。
12、已知θθ2cos 32sin 1-=+，且)2
,
0(π
θ∈，则=θtan ．
13、等比数列{}的前n 项和为， 已知对任意的n N +
∈ ，点(,)n n S ，均在函数3x
y r =+的图像上，则实数=.
14、在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ⋅=。
15、如果实数,x y 满足条件10
1010
x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，则3251x y x +--的取值范围是
16、已知等差数列{}n a ，若24236132135,n n a a a a a a a a a a -+++=+++=，
且 2100n
S =，则公差=___。
17、
在多项式6
10(1)x 的展开式中，其常数项为__________。
三．解答题：（本大题共6小题，共72分）
18、已知函数()sin cos ,'()f x x x f x =+是()f x 的导函数． （I ）求函数2
()()'()()F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期；。