上海市高三数学练习题及答案
金山区高三数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若复数z满足|z-2i|=|z+3|，则复数z的对应点在下列哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(a) = f(b)，则a+b的值为：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S10 = 150，则公差d的值为：A. 5B. 10C. 15D. 204. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = e^x5. 若平面α的法向量n = (1, -2, 3)，则直线l：x - 2y + z = 0在平面α上的投影方程为：A. x - 2y + z = 0B. x - 2y + z = 1C. x - 2y + z = -1D. x - 2y + z = 26. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则数列的前5项之和S5为：A. 58B. 102C. 153D. 1807. 若向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a·b的值为：A. 10B. 12C. 15D. 188. 在三角形ABC中，AB = AC，角B = 60°，若BC = 2，则三角形ABC的面积为：A. 2√3B. 3√3C. 4√3D. 5√39. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是：A. y = -x^2B. y = 2xC. y = x^3D. y = e^x10. 若直线l：x - 2y + 1 = 0与平面α的交点为P，则点P到原点O的距离为：A. √5B. √10C. √15D. √20二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a、b、c之间的关系为______。
2024年高考数学上海卷 (含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)一、 填空题本题共12小题，满分54分。
1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。
1、 设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}A 24=，，求A =_________________。
2、 已知()01, 0x f x x >=≤ ，()f x =______________。
3、 不等式2230x x −−<的解集为_________________。
4、 已知()3f x x a =+，且()f x 是奇函数，则a =___________________。
5、 已知()2,5a =，()6b k =，，//a b ，则k 的值为________________。
6、 在()1nx +的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中2x 的系数为__________。
7、 已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为_______。
8、 某校举办科学竞技比赛，有A,B,C,3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题，小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是______。
9、 已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m R z+=∈，则实数m 为____________。
10、设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为____________。
11、海上有灯塔O,A,B,货船T,如图，已知A 在O 的正东方向，B 在O 的正北方向，O 到A,B的距离相等，165BTO ∠=°，37ATO ∠=°，则BOT ∠=____________。
上海新高考高三数学试卷(含答案)
2022学年第一学期期中质量检测高三数学答案及评分细则一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．注：填写等价即可得分 1.已知复数iiz +-=324，则._____=z 2 2.如果两个球的体积之比为8:27，则这两个球的表面积之比为______.4:9 3.集合{}222,(1),33A a a a =+++,且1A ∈,则实数a 的值 .01-或 4. 若321324,24==-y x，则._____32=-y x 3-5.海上有,A B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60︒的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75︒的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是___6. 已知向量b a m b m m a ⊥-+=-=且，),2,2()3,3(，则实数._____=m 16或- 7. 曲线x y =在点()2,4处的切线方程是__________.044=+-y x 8.将两颗质地均匀的骰子同时抛掷一次，则向上的点数之和为5的概率是___91___.9.若012233444)12(a x a x a x a x a x ++++=-，则420a a a ++=____41__.10. 已知a 是常数且10<<α，若R 53log 在xay ⎪⎭⎫⎝⎛=上是严格增函数，则实数a 的取值范围是_______.153<<a11. 函数()R 1cos 4cos 2∈+-=x x x y 的最大值是___6___. 12.某位学生在研究函数)R (1)(∈+=x xxx f 时得出下列一些结论： ① 0)()(=+-x f x f 对任意R ∈x 恒成立； ② 函数)(x f 的值域为)1,1(-； ③ 若21x x ≠，则一定有)()(21x f x f ≠； ④ 函数x x f x g -=)()(有3个零点. 其中正确的序号是__①②③____.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 设c b a 、、是实数，则下列命题成立的是（ D ）A. 如果b a >，那么22bc ac >；B. 如果ac ab >，那么c b >；C. 如果c ab >，那么bca >; D. 如果22bc ac >，那么b a >. 14.已知βα、是两个不同的平面，“βα//”的一个充分非必要条件是（ D ）A.α内有无数条直线平行于βB. 存在平面γ，γβγα⊥⊥，C. 存在平面γ，n m n m //,且，==γβγαD.对任意直线l ，l l ⊥⊥βα，15. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 212πx y 是（ C ）A. )(x f 是偶函数B. 函数)(x f 的最小正周期是π2C. 曲线)(x f y =关于4π-=x 对称 D. )2()1(f f >16. 整数集Z 中，被5除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ,即[]{}Z 5∈+=n k n k ，其中{}4,3,2,1,0∈k .以下判断错误的是（ B ）A. []22022∈;B. []22∈-;C. [][][][][]43210Z =D. 若[]0∈-b a ，则整数b a 、属于同一“类”.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．注：此处仅给了一种解法，其他解法相应得分17．（本题满分14分）已知R ∈b a 、,集合{}24A <-=x x ，{}0B 2<++=b ax x x ，φ≠B A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==27lg B A x x y x ，求b a +的取值范围.【解答】）（6,2=A ， …………………………………………4分)7,2(=B A …………………………………………8分由φ≠B A ，得)7,(B m =，其中26m ≤<.……10分 于是m b m a 7,7=--=.……………………………12分[)675,29a b m +=-∈………………………………14分18.（本题满分14分，第1小题满7分，第2小题满7分）某企业因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；污染度 60 31 13 0 ……当污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： ()204(1)f x x x =-≥， 220()(4)(1)3g x x x =-≥， 2()30log 2(1)h x x x =-≥， 其中x 表示月数，()f x 、)()(x h x g 和分别表示污染度． （1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60． 【解答】（1）计算各函数对应各月份污染度得下表：月数（x ） 1 2 3 4 …… 污染度60 31 13 0 …… )(x f 60 40 20 0 )(x g60 26.7 6.7 0 )(x h603012.45从上表可知，函数)(x h 模拟比较合理，故选择)(x h 作为模拟函数. ………7分（2）602log 302≤-x ……………………………………………………………10分解得161≤≤x ， …………………………………………………………13分所以，整治后16个月的污染度不超过60. ………………………………14分 19.（本题满分14分,第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF ⊥DE,F 是垂足. （1）求证：AF ⊥BD ；（2）若圆柱与三棱锥D-ABE 的体积之比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成的角的大小.【解答】（1）∵点E 在底面的圆周上∴AE ┴BE ……1分 又∵AD ┴平面ABE ，∴AD ┴BE …………………………2分 ∴BE ┴平面ADE ，………………………………………4分 ∴AF ⊥BD.……………………………………………6分 （2）设圆柱底面圆的圆心为点O ，半径为r ，则它的高为2r ，∴圆柱的体积r r V 22⋅=π圆柱，r S V ABE ABE D 231⋅=∆-由π3=-ABED V V 圆柱,得2r S ABE =∆， …………………8分 ∴ABE ∆边AB 上的高为r, ……………………9分 ∴点E 在圆弧AB 的中点，∴AB OE ⊥. ………10分 ∴∠EDO 就是直线DE 与平面ABD 所成的角.……11分 又OE=r,r OD 5=,………………………………12分 ∴555tan ==∠rr EDO …………………………13分 ∴∠EDO=55arctan.………………………………14分 20．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）已知函数236sin 3sin cos 3)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππx x x x f .（1）求)(x f 的最大值及相应的x 的取值； （2）求)(x f 的单调递增区间及零点；（3）若61)(=αf ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈3,12ππα，求α2cos 的值.【解答】 (1))(x f ＝⎪⎭⎫⎝⎛+32sin 21πx .……………………………………………4分所以当22,Z 32x k k πππ+=+∈,即,Z 12x k k ππ=+∈时，…………………………………………………………5分)(x f 取最大值为12，……………………………………………………………6分 （2）由Z ,223222∈+≤+≤-k k x k πππππ. ………………………………………7分解得Z ,12125∈+≤≤-k k x k ππππ， 即)(x f 的单调递增区间是()Z 12125∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k ππππ，……………………8分由Z ,32∈=+k k x ππ得Z ,62∈-=k k x ππ，…………………………………9分 所以)(x f 的零点为.Z ,62∈-=k k x ππ………………………………………10分 （3）由61)(=αf 得3132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，……………………………………………11分因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,12ππα，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+πππα，232，………………………………12分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin 132cos 2παπα……………………………………13分＝3223112-=⎪⎭⎫⎝⎛--. ……………………………………………………14分所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=332cos 2cos ππαα ＝3sin 32sin 3cos 32cos ππαππα⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ …………………………………15分＝6223233121322-=⋅+⋅-. …………………………………………16分 21．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中a ，b ，c 为常数．(1) 试确定实数a ，b 的值； (2) 求函数()f x 的单调区间；(3) 若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求实数c 的取值范围． 【解答】 (1) 由题意，得b －c ＝－3－c ，则b ＝－3. ………………………2分)4ln 4(4ln 4)(3333b a x a x bx ax x ax x f ++=++='， ………………………4分则04)1(=+='b a f ，解得a ＝12. …………………………………………6分 故实数a ，b 的值分别为12，－3. ………………………………………（6分） (2) 由(1)，得44()12ln 3(0)f x x x x c x =-->，所以)0(ln 48)(3>='x x x x f ．………………………………………………7分 令0)(='x f ，解得1=x . …………………………………………………8分 当10<<x 时，0)(<'x f ，此时)(x f 为单调减函数；……………………10分 当1>x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 为单调增函数；………………………11分故函数)(x f 的单调增区间为)1(∞+，，单调减区间为)1,0(．……………12分 (3) 根据(2)的结论，所以c f x f --==3)1()(min .…………………………14分 因为22)(c x f -≥恒成立，所以－3－c ≥－2c 2，…………………………16分 解得c ≥32或c ≤－1，故实数c 的取值范围为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,231, . …………18分。
高考数学试题上海题及答案
高考数学试题上海题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞)，则该函数的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，其最小值为-1，因此值域为[-1, +∞)。
由于值域为[0, +∞)，所以函数的零点个数为2。
2. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z| = √2，且z的实部与虚部的和为0，则a和b的值分别为：A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案：A解析：由|z| = √2，得√(a^2 + b^2) = √2，即a^2 + b^2 = 2。
又因为z的实部与虚部的和为0，即a + b = 0。
解得a = 1, b = -1。
3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 0B. 1D. √2答案：B解析：直线的倾斜角为45°，根据斜率的定义，斜率k = tan(45°) = 1。
4. 若向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。
5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象是开口向上的抛物线，且f(1) = f(3)，则该函数的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：由于抛物线开口向上，且f(1) = f(3)，根据抛物线的对称性，对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。
6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_3 = 7，S_6 = 28，则该数列的公比q为：B. 4C. 3D. 1/2答案：A解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7，S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。
上海高三高中数学高考真卷带答案解析
上海高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算：= （i为虚数单位）.2.若集合，，则= .3.函数的最小正周期是 .4.若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该圆柱的表面积为 .6.方程的解是 .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则 .8.在的二项展开式中，常数项等于 .9.已知是奇函数. 若且.，则 .10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .14.已知.各项均为正数的数列满足，.若，则的值是 .二、选择题1.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．2.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件.3.在中，若，则的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定.4.若，则在中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100三、解答题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）2.已知函数.（1）若，求的取值范围；（6分）（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）3.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）4.在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）5.对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.上海高三高中数学高考真卷答案及解析一、填空题1.计算：= （i为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】.2.若集合，，则= .【答案】【解析】，，A∩B=.3.函数的最小正周期是 .【答案】p【解析】，T=.4.若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】，所以的倾斜角的大小为.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该圆柱的表面积为 .【答案】6p【解析】2pr=2p，r=1，S表=2prh+2pr2=4p+2p=6p.6.方程的解是 .【答案】【解析】，，，.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则 .【答案】【解析】易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.8.在的二项展开式中，常数项等于 .【答案】 -20【解析】展开式通项，令6-2r=0，得r=3，故常数项为.9.已知是奇函数. 若且.，则 .【答案】 3【解析】是奇函数，则，,所以.10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .【答案】 -2【解析】可行域是如图的菱形ABCD，代入计算，知为最小.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】设概率p=，则，求k，分三步：①选项目相同的二人，有种；②确定上述二人所选相同的项目，有种；③确定另一人所选的项目，有种. 所以，故p=.12.在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .【答案】[1, 4]【解析】如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1). 设Î[0,1]，则，，所以M(2,t)，N(2-2t,1)，故=4-4t+t=4-3t=f(t)，因为tÎ[0,1]，所以f (t)递减，所以()max=" f" (0)=4，()min=" f" (1)=1.13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .【答案】【解析】如图1，，所以，易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.14.已知.各项均为正数的数列满足，.若，则的值是 .【答案】【解析】(*)，，所以有：，，，，；又，得，令，则,由题设，所以，变形(*)为，则，故，所以.二、选择题1.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】实系数方程虚根成对，所以也是一根，所以-b=2，c=1+2=3，选D.2.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件.【答案】B【解析】取m=n=-1，则方程不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当然有，即条件必要，故选B.3.在中，若，则的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定.【答案】A【解析】由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得，所以C是钝角，选A.4.若，则在中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100【答案】C【解析】令，则，当1≤n≤14时，画出角序列na终边如图，其终边两两关于x轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，选C.三、解答题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）， 2分三棱锥P-ABC的体积为. 6分（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角. 8分在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，，所以∠ADE=.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分2.已知函数.（1）若，求的取值范围；（6分）（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得.由得. ……3分因为，所以，.由得. ……6分（2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此. ……10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. ……14分3.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】（1）arctan弧度；（2）25海里.【解析】（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3. ……2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. ……6分（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.由，整理得.……10分因为，当且仅当=1时等号成立，所以，即.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分4.在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）双曲线，左焦点.设，则，……2分由M是右支上一点，知，所以，得.所以. ……5分（2）左顶点，渐近线方程：.过A与渐近线平行的直线方程为：，即.解方程组，得. ……8分所求平行四边形的面积为. ……10分（3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即 (*).由，得.设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.，所以.由(*)知，所以OP⊥OQ. ……16分5.对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.【答案】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.（2）见解析；（3）.【解析】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为，，所以. ……6分因为，，所以，即. ……8分因此，. ……10分（3）对，；；；.比较大小，可得. ……12分因为，所以，即；，即.又，从而，，，. ……15分因此=====. ……18分。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
上海市高三数学复习三角函数与反三角函数专题练习(new)
三角函数与反三角函数一、 填空题1. 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 .2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
3. 函数()sin 3cos f x x x =+的对称中心的坐标为4. 。
函数2sin(2)34y x π=--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示， 若2()23f π=-,则(0)f = 。
7。
函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为 。
8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .9.函数3cos ([,))2y x x ππ=∈的反函数是 .10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2ππ单调递增,则w 的取值范围是 。
11。
设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：（1）()f x 与()g x 都是偶函数； （2)()f x 与()g x 都是周期函数；（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-; (4）()f x 的值域是[cos1,1],()g x 的值域是[sin1,sin1]-;其中不正确的是 .12。
函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 。
二、 选择题13。
下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+14.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像,只需要将函数sin 4y x =的图像（ ) .A 向左平移12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3π个单位 15。
上海高中数学试题及答案
上海高中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 已知等差数列{an}的前三项依次为2，5，8，则其第10项a10为：A. 27B. 28C. 29D. 303. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (2, -3)D. (-2, 3)4. 函数y = 2x + 3与y = -x + 1的交点坐标为：A. (-1, 1)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (1, -1)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么三角形ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定6. 函数y = 3x - 2的反函数为：A. y = (x + 2)/3B. y = (x - 2)/3C. y = 3x + 2D. y = -3x + 27. 以下哪个选项是复数的共轭复数：A. z = 3 + 4iB. z* = 3 - 4iC. z = 3 - 4iD. z* = 3 + 4i8. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 510. 直线y = 2x + 1与x轴交点的横坐标为：A. 0.5B. -0.5C. 0D. 1二、填空题（每题4分，共20分）1. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。
2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3 = _______。
理数高考试题答案及解析-上海
理数高考试题答案及解析-上海亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题 1．计算：3-i=1+i （ i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i) 2-4i= = =1-2i1+i (1+i)(1-i) 2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可. 2．若集合 } 0 1 2 | { + = x x A ， } 2 | 1 || { = x x B ，则 = B A . 【答案】3 ,21 【解析】根据集合 A 2 1 0 x+ ，解得12x ，由 1 2, , 1 3 x x 得到，所以 = 3 ,21B A . 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数 1 sincos 2) (= xxx f 的值域是 . 【答案】 23,25 【解析】根据题目 2 2 sin212 cos sin ) ( = = x x x x f ，因为1 2 sin 1 x ，所以23) (25 x f . 【点评】本题主要考查1/ 18行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若 ) 1 , 2 ( = n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】 2 arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则 2 arctan , 2 tan = = . 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx 的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 3 3 34 62C ( ) 160 T xx= = . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 6．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nV V V2 1，则= + + + ) ( lim2 1 nnV V V . 【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项，81为公比的等比数列，因此，788111) ( lim21== + + + nnV V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数| |) (a xe x f= （ a 为常数）.若 ) (x f 在区间 ) ,1 [ + 上是增函数，则 a 的取值范围是 . 【答案】 ( ] 1 , 【解析】根据函数,( ),x ax ax ae x af x ee x a += =看出当 a x 时函数增函数，而已知函数 ) (x f 在区间 [ ) + , 1上为增函数，所以 a 的取值范围为：( ] 1 , . 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r ，母线长为 l ，根据条件得到 2212=l ，解得母线长 2 = l ，1 , 2 2 = = = r l r 所以该圆锥的体积为：331 231S312 2= = = h V 圆锥 . 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知2) ( x x f y + = 是奇函数，且 1 ) 1 ( = f ，若 2 ) ( ) ( + = x f x g ，则 = ) 1 ( g . 【答案】 1 】【解析】因为函数2) ( x x f y + = 为奇函数，所以 , 3 ) 1 ( , 1 ) 1 ( , 2 ) 1 ( ) 1 ( = = + =g f f g 所以，又 1 2 3 2 ) 1 ( ) 1 ( , 3 ) 1 ( = + = + = = f g f . ( 1) (1). f f = 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 ) ( x f y = 为奇函数，所以有) ( ) ( x f x f = 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.3/ 1810．如图，在极坐标系中，过点 ) 0 , 2 ( M 的直线 l 与极轴的夹角 6 = ，若将 l 的极坐标方程写成 ) ( f = 的形式，则 = ) ( f . 【答案】)6sin(1 【解析】根据该直线过点 ) 0 , 2 ( M ，可以直接写出代数形式的方程为：) 2 (21 = x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1) (= f . 【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12．在平行四边形 ABCD 中，3= A ，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足| || || || |CDCNBCBM= ，则 AN AM 的取值范围是 . 【答案】 [ ] 5 , 2 【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1 , 2 = = AD AB ，所以 5 1(0,0), (2,0), ( ,1) ( ,1).2 2A B C D 设1 5 1 5 5 1 5 1 5 1( ,1)( ), , - , - , (2 ,( )sin ).2 2 2 2 4 2 8 4 4 2 3N x x BM CN CN x BM x M x x = = = + 则根据题意，有 )83 2 3 5,4 821( ), 1 , (x xAM x AN = = . 所以83 2 3 5)4 821(x xx AN AM+ = 2521x ，所以 2 5. AM AN 64224610 5 5 10ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13．已知函数 ) ( x f y = 的图象是折线段 ABC ，其中 ) 0 , 0 ( A 、 ) 5 ,21( B 、 ) 0 , 1 ( C ，函数 ) ( x xf y = （ 1 0 x ）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45 【解析】根据题意得到，110 ,02( )110 10, 12x xf xx x = + 从而得到22110 ,02( )110 10 , 12x xy xf xx x x = = +所以围成的面积为45) 10 10 ( 101212210= + + =dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， 2 = BC ，若 c AD 2 = ，且 a CD AC BD AB 2 = + = + ，其中 a 、 c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是 . 【答案】 1322 2 c a c 【解析】据题 a CD AC BD AB 2 = + = + ，也就是说，线段 CD AC BD AB + + 与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱 BC 互相垂直，当 ABD BC 平面时，此时有最大值，此时5/ 18最大值为：1322 2 c a c . 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20 分） 15．若 i 2 1+ 是关于 x 的实系数方程 02= + + c bx x 的一个复数根，则（） A． 3 , 2 = = c b B． 3 , 2 = = c b C． 1 , 2 = = c b D． 1 , 2= = c b 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点 1 2 i 也是该方程的另一个根，所以 b i i = = + + 2 2 1 2 1 ，即 2 =b ，c i i = = + 3 ) 2 1 )( 2 1 ( ，故答案选择 B. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在 ABC 中，若 C B A2 2 2sin sin sin + ，则 ABC的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C 【解析】由正弦定理，得 , sin2, sin2, sin2CRcBRbARa= = = 代入得到2 2 2a b c + ，由余弦定理的推理得2 2 2cos 02a b cCab+ = ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设44 3 2 110 10 xx x x ，5510 = x ，随机变量1 取值5 4 3 2 1x x x x x 、、、、的概率均为 2 . 0 ，随机变量2 取值2 2 2 2 21 5 5 4 4 3 3 2 21x x x x x x x x x x + + + + +、、、、的概率也均为 2 . 0 ，若记2 1 D D 、分别为2 1 、的方差，则（） A．2 1 D D B．2 1 D D = C．2 1 D D D．1 D 与2 D 的大小关系与4 3 2 1x x x x 、、、的取值有关【答案】 A 【解析】由随机变量2 1 , 的取值情况，它们的平均数分别为：1 1234 51( ),5x x x x x x = + + + + ，2 3 3 4 45 5 1 122 11,5 2 2 2 2 2x x x x x x x x x xx x+ + + + + = + + ++ =且随机变量 2 1 , 的概率都为 2 . 0 ，所以有 1 D ＞2 D . 故选择 A. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1 nna n = ，n na a a S + + + = 2 1，在100 2 1, , , S S S 中，正数的个数是（） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（74分）：19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 是7/ 18矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 2 = AB ， 2 2 = AD ， 2 = PA ，求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形 PCD 的面积为 3 2 3 2 221= ................6 分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．（6+8=14 分）已知函数 ) 1 lg( ) ( + = x x f ．（1）若 1 ) ( ) 2 1 ( 0 x f x f ，求 x 的取值范围；（2）若 ) ( x g 是以 2 为周期的偶函数，且当 1 0 x 时，有 ) ( ) ( x f x g = ，求函数 ) ( x g y = （ ] 2 , 1 [ x ）的反函数. 【答案及解析】，3132 x 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y = ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7 ．（1）当 5 . 0 = t 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1C ：1 22 2= y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为 1 的直线 l 交1C 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 12 2= + y x 相切，求证：OQ OP ；（3）设椭圆2C ：1 42 2= + y x ，若 M 、 N 分别是1C 、2C 上的动点，且 ON OM ，求证：O 到直线 MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点 A与渐近线 x y 2 = 平行的直线方程为22 , 2 1.2y x y x= + = +即 1 = ON ，22= OM ,则 O 到直线 MN 的距离为33. 设 O 到直线 MN 的距离为 d . 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 x y = ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题． 23．（4+6+8=18 分）对于数集 } 1 {2 1 nx x x X ，，，， = ，其中nx x x 2 10 ， 2 n ，定义向量集} , ), , ( |9/ 18{ X t X s t s a a Y = = ，若对任意 Y a 1，存在 Y a 2，使得02 1= a a ，则称 X 具有性质 P ．例如 } 2 , 1 , 1 { 具有性质P ．（1）若 2 x ，且 } , 2 , 1 , 1 { x 具有性质 P ，求 x 的值；（2）若 X 具有性质 P ，求证：X 1 ，且当 1 nx 时， 11= x ；（3）若 X 具有性质 P ，且 11= x 、 q x =2（ q 为常数），求有穷数列nx x x ，，， 2 1的通项公式. 【答案及解析】必有形式 ) , 1 ( b 显然有2a 满足 02 1= a a 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义 X 具有性质 P 这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。
上海高三高中数学期末考试带答案解析
上海高三高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.椭圆的焦距为 .2.在的展开式中，各项系数之和为 .3.若复数满足（为虚数单位），则复数 .4.若正实数满足32，则的最小值为 .5.行列式的最小值为 .6.在中，角所对的边分别为，若，则 .7.若则方程的所有解之和等于 .8.若数列为等差数列，且，则 .9.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则 .10.已知是分别经过两点的两条平行直线，当之间的距离最大时，直线的方程是 .11.若抛物线上的两点、到焦点的距离之和为6，则线段的中点到轴的距离为 .12.10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）13.下图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，则在这个正四面体中，与所成角的大小为 .14.下图为函数的部分图像，是它与轴的两个交点，分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为 .二、选择题1.设全集，则（）.A．B．C．D．2.设均为非零向量，下列四个条件中，使成立的必要条件是（）.A．B．C．D．且3.关于曲线，给出下列四个命题：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称③曲线围成的面积大于④曲线围成的面积小于上述命题中，真命题的序号为（）A．①②③B．①②④C．①④D．①③4.若直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．三、解答题1.已知，求的值2.一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为.（1）试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.3.已知函数和的图像关于原点对称，且（1）求函数的解析式；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.4.已知各项均不为零的数列的前项和为，且，其中.（1）求证：成等差数列；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足，且为其前项和，求证：对任意正整数，不等式恒成立. 5.已知为为双曲线的两个焦点，焦距，过左焦点垂直于轴的直线，与双曲线相交于两点，且为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）设为直线上任意一点，过右焦点作的垂线交双曲线与两点，求证：直线平分线段（其中为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点的直线，它与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.上海高三高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.椭圆的焦距为 .【答案】【解析】由题意，得，则，即焦距为.【考点】椭圆的标准方程.2.在的展开式中，各项系数之和为 .【答案】1【解析】令，即得各项系数的和.【考点】赋值法.3.若复数满足（为虚数单位），则复数 .【答案】【解析】由题意，得.【考点】复数的运算.4.若正实数满足32，则的最小值为 .【答案】16【解析】，（当且仅当，即时取等）.【考点】基本不等式.5.行列式的最小值为 .【答案】【解析】，即其最小值为.【考点】行列式、三角函数的变换与求值.6.在中，角所对的边分别为，若，则 .【答案】【解析】,；由正弦定理，得，解得.【考点】正弦定理.7.若则方程的所有解之和等于 .【答案】【解析】或；解得或或；则其所有解的和为.【考点】分段函数.8.若数列为等差数列，且，则 .【答案】【解析】由，得；则；则.9.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则 .【答案】【解析】当时，，若成等差数列，则，显然不成立；当时，，若成等差数列，则，即，解得或（舍），即.【考点】等差数列与等比数列.10.已知是分别经过两点的两条平行直线，当之间的距离最大时，直线的方程是 .【答案】【解析】由平面几何知识，得当时，之间的距离最大；,；则直线的方程是，即.【考点】直线的方程与位置关系.11.若抛物线上的两点、到焦点的距离之和为6，则线段的中点到轴的距离为 .【答案】2【解析】设，中点，焦点为；则，解得，即线段的中点到轴的距离为2.【考点】抛物线的标准方程.12.10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）【答案】【解析】10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率.【考点】古典概型.13.下图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，则在这个正四面体中，与所成角的大小为 .【答案】【解析】将平面图形折成如图所示的正四面体,其中重合成点；连接;,,所以是异面直线与所成的角或其补角；设,在中，,则，即与所成角的大小为.【考点】折叠问题，异面直线所成的角.14.下图为函数的部分图像，是它与轴的两个交点，分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为 .【答案】【解析】由题意，设;是的中点，则,且，又由,得；即，代入，得，解得，即.【考点】三角函数的图像与性质.二、选择题1.设全集，则（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】，，,.【考点】集合的运算.2.设均为非零向量，下列四个条件中，使成立的必要条件是（）.A．B．C．D．且【答案】B【解析】同向，且大范围是小范围的必要条件，所以使成立的必要条件是.【考点】充分条件与必要条件.3.关于曲线，给出下列四个命题：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称③曲线围成的面积大于④曲线围成的面积小于上述命题中，真命题的序号为（）A．①②③B．①②④C．①④D．①③【答案】D【解析】将换成，换成，则，仍为，所以关于原点对称；将换成，则，方程有变，所以不关于直线对称；在上任取点，则，，所以，所以点到原点的距离，即在圆的外部，所以线围成的面积大于；故选D.【考点】曲线的性质.4.若直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】，其图像关于轴对称；而直线恒过点；图像如图所示；显然，当时，有四个不同的交点，所以排除选项B;当直线与曲线相切时，有四个交点，设直线与相切于，则，解得，此时；又因为图像关于轴对称，所以当时，也有四个不同的交点；故选A.【考点】图像的交点.三、解答题1.已知，求的值【答案】．【解析】利用同角三角函数基本关系式求出，利用两角和的正弦公式求，利用二倍角公式求解.试题解析：，在第一象限，∴；；．【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.两角和差的正弦公式；3.二倍角公式.2.一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为.（1）试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.【答案】（1），；（2）．【解析】(1)根据题意，得小圆的面积是大圆面积的，半径之比为，再求出球心到小圆截面的距离，确定两个圆锥的高，进而求出两者体积之比；（2）利用圆锥与求的体积公式进行求解.试题解析：（1）解：，；；（2）解：．【考点】1.圆锥与球的组合体；2.圆锥与球的表面积与体积.3.已知函数和的图像关于原点对称，且（1）求函数的解析式；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；(2)．【解析】（1）用去代替即可得到答案；(2)通过讨论对称轴与区间的关系研究单调性求得的范围.试题解析：（1）设点是上的任意一点，则在的图像上，则，即；（2），当，即时，对称轴，∴；当，即时，，符合题意，∴；当，即时，对称轴，∴；综上，．【考点】1.函数的解析式；2.二次函数的单调性；3.分类讨论思想.4.已知各项均不为零的数列的前项和为，且，其中.（1）求证：成等差数列；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足，且为其前项和，求证：对任意正整数，不等式恒成立.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）利用进行证明；（2)由与递推公式求出，结合(1)即可证明数列是等差数列；（3）根据题意求出，利用对数的运算选择与累乘法求出，再利用数学归纳法证明不等式.试题解析：（1）解：①；②；①－②得，得证；（2）解：由，得，结合第（1）问结论，即可得是等差数列；（3）解：根据题意，，；要证，即证；当时，成立；假设当时，成立；当时，；要证，即证，展开后显然成立，所以对任意正整数，不等式恒成立．【考点】1.与的关系;2.等差数列；3.对数的运算选择；4.数学归纳法.5.已知为为双曲线的两个焦点，焦距，过左焦点垂直于轴的直线，与双曲线相交于两点，且为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）设为直线上任意一点，过右焦点作的垂线交双曲线与两点，求证：直线平分线段（其中为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点的直线，它与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1);(2)证明见解析；（3）不存在．【解析】（1）利用等边三角形确定值即可双曲线的标准方程；（2）利用点差法进行证明；(3)假设存在这样的直线，设直线,联立两直线方程，求出的纵坐标，再求其面积，通过方程是否有解进行判断.试题解析：（1），∵等边三角形，∴，，，∴；（2）解：设，，中点为，然后点差法，即得，∴，即点与点重合，所以为中点，得证；（3）解：假设存在这样的直线，设直线，，联立得；联立得；，即；∴，该方程无解，所以不存在这样得直线．【考点】1.双曲线的标准方程；2.点差法；3.两直线的交点问题.。
上海市高三数学复习 函数的性质(1)专题练习
函数的性质一一、 填空题1. 函数245y x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则(1)f -的取值范围是2. 若函数12()21x x m f x ++=-是奇函数，则m = 3. 函数211x y x -=-的递减区间是 . 4. 已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= .5. 已知函数53()8f x x px qx =++-满足(2)10f -=，则(2)f = .6. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是 .7. 若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .8. 若函数()log (2)a f x ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .9. 设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“(),()f x g x 均为偶函数”是“()h x 是偶函数”的 条件.10. 设()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，若函数()()f x g x +的值域为[1,4]-，则()()f x g x -的值域为 .11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +为偶函数，且(1)2f =，则(4)(5)f f +的值为 .12. 已知()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，(()2)3x f f x -=，则(3)f = .二、选择题13. 以下函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y =.B 2(1)y x =- .C 2x y -= .D 0.5(1)y log x =+14. 设函数(),()f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）.A ()()f x g x 是偶函数 .B ()|()|f x g x 是奇函数.C |()|()f x g x 是奇函数 .D |()()|f x g x 是奇函数15. 定义在区间R 上的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式，其中成立的是（ ）①()()()()f b f a g a g b -->-- ②()()()()f b f a g a g b --<--③()()()()f a f b g b g a -->-- ④()()()()f a f b g b g a --<--.A ①与④ .B ②与③ .C ①与③ .D ②与④16. 定义在实数集R 上的函数()y f x =的反函数1()y f x -=，若函数()y f x =-的反函数是1()y f x -=-，则()y f x =-是（ ）.A 奇函数，不是偶函数 .B 是偶函数，不是奇函数.C 既是奇函数，又是偶函数 .D 既不是奇函数，也不是偶函数二、 解答题17. 已知实数0a >，且函数2()2x x a f x a-=+为奇函数. （1） 求正实数2()2x x a f x a-=+的取值范围； （2） 判断函数()f x 的单调性，并用函数的单调性定义证明18. 已知函数2()a f x x x=+(0,x ≠常数)a R ∈ （1） 讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2） 若函数()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数，求a 的取值范围.19. 设函数(),0)f x a R a =∈≠且 （1） 分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2） 在,0a R a ∈≠且的条件下，将（1）中的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明.20. 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <（1） 判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2） 判断()f x 的单调性，并说明理由.21. 已知函数()(0)a f x x a x=+>在上递减，在)+∞上递增. （1） 如果函数2(0)by x x x=+>的值域为[6,)+∞，求b 的值； （2） 研究函数22(0)c y x c x =+>在定义域内的单调性，并说明理由； （3） 对函数a y x x =+和22(0)a y x a x=+>作出推广，使得它们都是你说推广的函数的特例，并研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求出函数2211()()()(n n F x x x n x x=+++是正整数)在区间1[,2]2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）参考答案1.(,25]-∞2.23.(,1)-∞，(1,)+∞4. 35.26-6.12(,)337.(4,0]-8.(1,2)9.充分非必要10. [1,4]-(4,1]-11. 212. 913.A14.B15.C16.A17.答案：（1）1a =（2）略18.答案：（1）0a =时，偶函数；0a ≠时，非奇非偶.（2）16a ≤19.答案：（1）1a =，非奇非偶；2a =-，奇函数（2）0a >，非奇非偶；0a <，奇函数20.答案：（1）奇函数（2）单调递减21.答案：（1）2log 9b =（2）该函数在[)+∞上是递增的；在(,-∞上递减（3）当n 是奇数是，函数n n a y x x =+在(0,上是减函数，在)+∞上是增函数；在(,-∞-上是增函数，在[上是减函数；当n 是偶数时，函数n n a y x x =+在[上是减函数，在)+∞上是增函数；在(,-∞-上是减函数，在[上是增函数； ()F x 最大值为99()()24n n +，最小值为12n +。
上海高三高中数学高考真卷带答案解析
上海高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若复数满足，其中为虚数单位，则．2.若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．3.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．4.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．5.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．6.方程的解为．7.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．8.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．9.设为，的反函数，则的最大值为．10.在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．11.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．12.已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为．13.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．二、选择题1.设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．3.记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根4.设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．三、解答题1.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.2.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.3.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值.4.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.5.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设．证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.上海高三高中数学高考真卷答案及解析一、填空题1.若复数满足，其中为虚数单位，则．【答案】【解析】设，则【考点】复数相等，共轭复数2.若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．【答案】【解析】由题意得：【考点】线性方程组的增广矩阵3.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．【答案】【解析】【考点】正三棱柱的体积4.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．【答案】【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即5.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.6.方程的解为．【答案】【解析】设，则【考点】解指对数不等式7.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点】排列组合8.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．【答案】【解析】由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为【考点】双曲线渐近线9.设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为【考点】反函数性质10.在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为【考点】二项展开式11.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．【答案】【解析】赌金的分布列为12345P所以奖金的分布列为1.42.8 4.2 5.6P所以【考点】数学期望12.已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为．【答案】【解析】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取即【考点】三角函数性质13.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此【考点】向量数量积，解三角形二、选择题1.设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，选B.【考点】复数概念，充要关系2.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即点的纵坐标为【考点】复数几何意义3.记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点】不等式性质4.设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：因为与圆在第一象限的交点为，所以，又由得选A.【考点】极限三、解答题1.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.【答案】【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、．因为，，所以，因此直线与共面，即、、、共面．设平面的法向量为，则，，又，，故，解得．取，得平面的一个法向量．又，故．因此直线与平面所成的角的大小为．【考点】空间向量求线面角2.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.【答案】（1），（2），不超过.【解析】解：（1）．记乙到时甲所在地为，则千米．在中，，所以（千米）.（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时．当时，；当时，.所以.因为在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过.【考点】余弦定理3.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】证明：（1）直线，点到的距离.，所以.解：（2）设，则.设，.由，得.同理.由（1），，整理得.【考点】直线与椭圆位置关系4.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首项为，公差为的等差数列，故的通项公式为，.证明：（2）由，得.所以为常数列，，即.因为，，所以，即.故的第项是最大项.解：（3）因为，所以，当时，.当时，，符合上式.所以.因为，所以，.①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；②当时，的最大值为，最小值为，而；③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.综上，的取值范围是.【考点】等差数列，数列单调性5.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设．证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】证明：（1）易见的定义域为，对任意，，所以，即是以为余弦周期的余弦周期函数.（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得. 若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.（3）若为在上的解，则，且，，即为方程在上的解.同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在，使得，，，，，.而是函数的单调区间，，，，.与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.故，，，，，.对于，，，而，故.类似地，当，，，时，有.结论成立.【考点】新定义问题。
高三数学试卷宝山区答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x^2-3x+2，则f[g（x）]的值为（）A. 2x^2+x-1B. 2x^2-5x+3C. 2x^2-7x+3D. 2x^2-5x+1答案：A解析：将g（x）代入f（x）中，得f[g（x）]=f（x^2-3x+2）=2（x^2-3x+2）+1=2x^2+x-1。
2. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1=3，a4=7，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，得a4=a1+3d。
将a1=3，a4=7代入，得7=3+3d，解得d=2。
3. 已知函数y=（x-1）^2+2，其图像的对称轴为（）A. x=1B. y=2C. y=-1D. x=0答案：A解析：函数y=（x-1）^2+2的顶点坐标为（1，2），因此对称轴为x=1。
4. 若不等式|2x-3|≥2的解集为A，则A的表示形式为（）A. x≤1或x≥2B. x≤1或x≤2C. x≥1或x≤2D. x≥1或x≥2答案：A解析：不等式|2x-3|≥2可化为2x-3≥2或2x-3≤-2，解得x≥2.5或x≤0.5，即x≤1或x≥2。
5. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹为（）A. 以（0，0）为圆心，2为半径的圆B. 以（0，0）为圆心，1为半径的圆C. 以（0，0）为圆心，1为半径的圆的左半部分D. 以（0，0）为圆心，1为半径的圆的右半部分答案：C解析：由|z-1|=|z+1|，得|z-1|^2=|z+1|^2，即(z-1)(z-1)^= (z+1)(z+1)^。
展开得z^2-2z+1=z^2+2z+1，化简得-4z=0，即z=0。
因此，z在复平面上的轨迹为以（0，0）为圆心，1为半径的圆的左半部分。
二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f（x）=x^3-3x+1在x=1处的导数值为______。
上海市上海中学高三数学综合练习试卷(共九套)
上海市上海中学高三综合练习上海市上海中学高三综合练习（一）（数学）班级___________学号__________姓名_______________成绩_________________、编辑：苑娜娜一． 填空题1． 定义在R 上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1) =___________. 2． 如果复数11++bii（b R ∈）的实部和虚部互为相反数，则b 等于_____________. 3．(理) 若nx )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则n =______.(文) 若x y x y ≥≥+≤⎧⎨⎪⎩⎪126，则目标函数z x y =+2的最小值为_______________.4．已知0<a ，则关于x 的不等式1|3|>+ax a的解集为__________________.5．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∆PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为_____________.6．数列{a n }满足：a n =121 .3nn n n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数 ，它的前n 项和记为S n ，则∞→n lim S n =__________.7．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A 、B 、 C 、D 、E 、F 、G 、H 八个中小城市进行综合规划治理，第 一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没 有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的概率为________.8．若方程kx 2x 42-=-仅有一个实数根，则k 的取值范围是______________.9． 在△ABC 中，已知|AB|=2，22||1||2BC CA =，则△ABC 面积的最大值为___________. 10．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P ,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体.11．若函数y=a x (a>1)和它的反函数的图像与函数y=x1的图像分别交于点A 、B ，若|AB|=22，则a 约等于_____________(精确到0.1).12．老师告诉学生小明说，“若O 为△ABC 所在平面上的任意一点，且有等式cos cos ()||||AB C AC BOP OA AB AC λ=++，则P 点的轨迹必过△ABC 的垂心”，小明进一步思考何时P 点的轨迹会通过△ABC 的外心，得到的条件等式应为OP =_______________________________.（用O,A,B,C 四个点所构成的向量和角A,B,C 的三角函数以及λ表示）二．选择题13．若函数y ＝cos2x 与y ＝sin(x ＋φ)在[0，π2]上的单调性相同，则φ的一个值为( )A. π6B. π4C. π3D. π2 14．在∆ABC 中，A=3π，BC=3，则∆ABC 的周长为 ( ) A.43sin(B+3π)+3 B. 43sin(B+6π)+3C.6sin(B+3π)+3D. 6sin(B+6π)+315．若点M(a,1b )和N(b,1c )都在直线l ：x+y=1上，则点P(c,1a )，Q(1c,b)和l 的关系是( )A. P 和Q 都在l 上B. P 和Q 都不在l 上C. P 在l 上，Q 不在l 上D. P 不在l 上，Q 在l 上 16．数列{a n }满足：a 1=14，a 2=15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=na 1a n+1对任何的正整数n 都成立，则1297111a a a +++的值为 ( ) A. 5032 B. 5044 C. 5048 D. 5050 三．解答题 1．已知函数),(23cos cos sin 3)(2R x R x x x x f ∈∈+-⋅=ωωωω的最小正周期为π，且当x =6π时，函数有最小值. （1）求f (x )的解析式；（2）作出f (x )在[0，π]范围内的大致图象.2．设虚数z 满足|2z+15|=3|z +10|.(1)计算|z|的值；(2)是否存在实数a ，使z aa z+∈R ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.3．如图所示，已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为3π，且侧面ABB 1A 1垂直于底面. (1)判断B 1C 与C 1A 是否垂直，并证明你的结论； (2)求四棱锥B-ACC 1A 1的体积.4．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革。
上海高三高中数学期末考试带答案解析
上海高三高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，集合，则．2.函数的定义域是．3.已知直线，则直线与的夹角的大小是．4.若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是，则（其中是虚数单位，）的值是．5.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是．6.若函数是定义域为的偶函数，则函数的单调递减区间是．7.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝．（用数值表示）8.已知二项式的展开式中第3项的系数是，数列是公差为的等差数列，且前项和为，则＝．9.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是．10.若从总体中随机抽取的样本为，则该总体的标准差的点估计值是．11.已知，若是函数的零点，则四个数按从小到大的顺序是（用符号连接起来）．12.一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为（用数值作答）．13.已知，定义：表示不小于的最小整数．如.若，则正实数的取值范围是．14.已知点是的重心，内角所对的边长分别为，且,则角的大小是 .二、选择题1.给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件2.已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）．A．B．C．D．3.一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）．A．4B．5C．6D．74.已知，，定义：，．给出下列命题：（1）对任意，都有；（2）若是复数的共轭复数，则恒成立；（3）若，则；（4）对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答]（）．A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）（4）三、解答题1.（本题满分12分）在长方体中，，分别是所在棱的中点，点是棱上的动点，联结．如图所示．（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以为顶点的三棱锥的体积．2.（本题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角所对边的长分别是，若，求的面积的值．3.（本题满分14分）已知函数，函数是函数的反函数．（1）求函数的解析式，并写出定义域；（2）设，若函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数在区间内必有唯一的零点（假设为），且．4.（本题满分18分）定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.已知数列满足且点在二次函数的图像上.（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．5.（本题满分18分）在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线．（1）求动点所在曲线的轨迹方程；（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；（3）若直线与曲线交于两点，与线段交于点（点不同于点），直线与直线交于点，求证：是定值．上海高三高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知全集，集合，则．【答案】；【解析】由已知得，所以，故答案为【考点】集合的运算．2.函数的定义域是．【答案】；【解析】由已知得，解得x>1;故答案为．【考点】函数的定义域．3.已知直线，则直线与的夹角的大小是．【答案】【解析】由已知得，设直线与的夹角的则，又因为，所以故答案为【考点】两直线的夹角公式．4.若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是，则（其中是虚数单位，）的值是．【答案】2【解析】由已知条件得，即，从而有，故，故答案为：2．【考点】1．行列式；2．复数的模．5.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是．【答案】【解析】由于双曲线：中a2=7,b2=2,所以c=3,从而它右焦点为（3,0）,所以抛物线的方程是．故答案为：．【考点】圆锥曲线的方程．6.若函数是定义域为的偶函数，则函数的单调递减区间是．【答案】【解析】由已知有a=0,从而，由复合函数的单调性可知函数的单调递减区间是；故答案为【考点】1．函数的奇偶性；2．复合函数的单调性．7.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝．（用数值表示）【答案】【解析】由已知得，从而由三角函数的定义可知，从而＝．故答案为：．【考点】1．三角函数的定义；2．二倍角公式．8.已知二项式的展开式中第3项的系数是，数列是公差为的等差数列，且前项和为，则＝．【答案】2【解析】因为二项式的展开式的通项为；所以第3项的系数是；设等差数列的首项为a（常数）,则前项和为，从而；故答案为2．【考点】1．二项式定理；2．等差数列；3．数列的极限．9.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是．【答案】【解析】由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为；故答案为：【考点】圆锥体的表面积．10.若从总体中随机抽取的样本为，则该总体的标准差的点估计值是．【答案】【解析】首先计算平均值，所以该总体的标准差的点估计值为：；故答案为：．【考点】总体的标准差的点估计值．11.已知，若是函数的零点，则四个数按从小到大的顺序是（用符号连接起来）．【答案】【解析】因为是函数的零点，所以是函数与函数y=7的交点的横坐标，故由二次函数的图象知：；故答案为：．【考点】函数零点存在性定理．12.一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为（用数值作答）．【答案】【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从52张牌中抽取3张，共有 =22100种结果，满足条件的事件是抽出的3张牌有且仅有2张花色相同，先确定一种花色4种结果，再从这个花色里抽2张，剩下一张从剩下的花色里抽，共有4×∴要求的概率是，故答案为：．【考点】等可能事件的概率．13.已知，定义：表示不小于的最小整数．如.若，则正实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，即，又因为，又因为x>0，所以，当时，显然不满足条件；当时，，从而得；当时，显然不满足条件．故正实数的取值范围是．【考点】新定义创新题．14.已知点是的重心，内角所对的边长分别为，且,则角的大小是 .【答案】【解析】∵点O是△ABC的重心，∴又∵，（k>0）从而，由余弦定理得：又∵C∈（0，π），∴C=∴角C的大小是；故答案为：【考点】向量数乘的运算及其几何意义．二、选择题1.给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】B【解析】直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件；故选B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.2.已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A：由于与不是平行向量，所以一定不成立；对于B：由得到无解，所以不成立；对于C：由得到解得，所以成立；由于每题有且只有一个正确答案，故选C．【考点】向量的相等．3.一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）．A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】初始条件：k=0,S=0运行第1次：S=0<1000是，S=0+20=1，k=1;运行第2次：S=1<1000是，S=1+21=3，k=2;运行第3次：S=3<1000是，S=3+23=11，k=3;运行第4次：S=11<1000是，S=11+211=2059，k=4;运行第5次：S=2059<1000否，输出k=4;故选A．【考点】算法与程序框图．4.已知，，定义：，．给出下列命题：（1）对任意，都有；（2）若是复数的共轭复数，则恒成立；（3）若，则；（4）对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答]（）．A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）（4）【答案】C【解析】对于（1），由定义当z=0时，D（z）=0,故（1）错误，排除A；对于（2）由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以恒成立，故（2）正确；对于（3）两个复数的实部与虚部的绝对值和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故（3）错误，排除B，D；从而应选C．【考点】1.创新题；2.复数的概念．三、解答题1.（本题满分12分）在长方体中，，分别是所在棱的中点，点是棱上的动点，联结．如图所示．（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以为顶点的三棱锥的体积． 【答案】（1） ； （2）2． 【解析】（1） 联结，在长方体中，有. 又是直角三角形的一个锐角，∴就是异面直线所成的角.从而在直角三角形ACC 1中可求得角的正切值，再注意是锐角，就可用反正切函数表示出来； （2）由于在长方体中，棱A 1B 1//平面ABCD ，所以点P 到平面AEF 的距离就等于棱长AA 1，从而以为顶点的三棱锥的体积等于三棱锥A 1-AEF 的体积，从而可求得其体积．试题解析：（1）联结，在长方体中，有. 又是直角三角形的一个锐角，∴就是异面直线所成的角.由，可算得.∴，即异面直线所成角的大小为.（2）由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等．∴．∵，∴．【考点】1．异面直线所成的角；2．几何体的体积．2.（本题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间； （2）在中，内角所对边的长分别是，若，求的面积的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性即可确定出f （x ）的单调递增区间；（2）由已知及（1）的结论求出角A 的大小，再由正弦定理即可求出a 边的长度，从而利用公式就可求出其面积．试题解析： （1）∵，∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.（2）∵在中，，∴解得.又，∴.依据正弦定理，有.∴.∴.【考点】1．两角和与差的正弦函数；2. 三角函数的单调性及其求法；3. 正余弦定理．3.（本题满分14分）已知函数，函数是函数的反函数．（1）求函数的解析式，并写出定义域；（2）设，若函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数在区间内必有唯一的零点（假设为），且．【答案】（1）；（2）证明祥见解析．【解析】（1）先且部分分式法结合指数函数的值域求函数的值域，即为其反函数的定义域D；再令解出x然后交换x,y的位置即得函数的解析式；（2）先由（1）的结论可求得的解析式和定义域，从而可判断函数为奇函数，那么要证函数在区间内必有唯一的零点（假设为），且；就只需证明函数在上是单调函数，且即可．试题解析：（1），.又，..由，可解得.，.证明（2）由（1）可知，.可求得函数的定义域为.对任意，有，所以，函数是奇函数.当时，在上单调递减，在上单调递减，于是，在上单调递减.因此，函数在上单调递减.依据奇函数的性质，可知，函数在上单调递减，且在上的图像也是不间断的光滑曲线.又,所以，函数在区间上有且仅有唯一零点，且.【考点】1.反函数；2．函数的零点．4.（本题满分18分）定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.已知数列满足且点在二次函数的图像上.（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．【答案】（1）是，理由祥见解析；（2）证明祥见解析，；（3） k=6,m=3.【解析】（1）利用“平方递推数列”的定义判断即可；（2）利用（1）的结论，由等比数列的定义即可得证，进而由等比数列的通项公式即可写出通项公式；（3）由无穷等比数列的各项和公式可得关于m,k的方程，由于m,k都是正整数，所以对m的取值进行分类讨论：当时代入方程可知矛盾，，从而得到或2，然后再分别讨论即可求得m,k的值．试题解析：（1）答：数列是算术平方根递推数列.理由：在函数的图像上，，.又，∴．∴数列是算术平方根递推数列.证明（2），.又,数列是首项为,公比的等比数列..（3）由题意可知，无穷等比数列的首项,公比，．化简，得．若，则.这是矛盾！.又时，,..【考点】1.等比关系的确定;2.无穷等比数列的各项和;3.不定方程．5.（本题满分18分）在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线．（1）求动点所在曲线的轨迹方程；（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；（3）若直线与曲线交于两点，与线段交于点（点不同于点），直线与直线交于点，求证：是定值．【答案】（1）；（2）；（3）定值为1；证明祥见解析．【解析】（1）求出N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；（2）设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，即可求得斜率，进而得到直线方程；（3）求出HA，GB的方程，设出Q的坐标，由（2）得，P（0，-k），再由直线GB与直线HA交于点O，解得Q的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，即可得到定值1．试题解析：（1）依据题意，可得点.．又，.所求动点的轨迹方程为.（2）若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴．设直线的斜率为，则．由得．设点，有且恒成立（因点在椭圆内部）．又，于是，，即，解得．所以，所求直线．证明（3）直线与线段交于点，且与点不重合，直线的斜率满足：．由（2）可得点，可算得．又直线．设点，则由得（此等式右边为正数）.，且=．，解得.为定值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.。
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上海市吴淞中学2009届高三数学训练题班级_____________姓名______________学号_____________成绩__________________ 一、填空题1、已知函数122)(1+=+x x x f ，则()=-11f________2、设平面α与向量{}4,2,1--=→a 垂直，平面β与向量{}1,3,2=→b 垂直，则平面α与β位置关系是___________.3、已知32cos 2,cos sin ,43sin ππx x -依次成等比数列，则x 在区间[)π2,0内的解集为 .4、椭圆192522=+y x 上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________.5、 若函数)24lg(xa y ⋅-=的定义域为}1|{≤x x ，则实数a 的取值范围是 . 6、设43,)1(112161211=⋅+++++=+n n n S S n n S 且 ，则n 的值为 . 7、设1F 、2F 为曲线1C ：12622=+y x 的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与1C 的一个交||||2121PF PF ⋅的值为 .8、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 .9、 一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为_________________。
10、 已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取________ _____。
（填上一个正确的数据序号即可） 11、某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，噪音较小，因此随楼层升高，环境不满意程度降低，设住在第n 层楼时，环境不满意程度为n8，则此人应选____楼。
12、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。
在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。
这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =___________________二、选择题 13、已知二面角βα--l ，直线α⊂a ，β⊂b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么( ) （A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行 （B ）a 与b 可能垂直，也可能平行（C ）a 与b 不可能垂直，但可能平行 （D ）a 与b 不可能垂直，也不可能平行 14、由方程1||||=+y y x x 确定的函数)(x f y =在),(∞+-∞上是( )(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 增函数 (D) 减函数15、函数12)(+-=x x f ,对任意正数ε,使ε<-|)()(|21x f x f 成立的一个充分不必要条件是( )(A) ε<-||21x x (B) 2||21ε<-x x (C) 4||21ε<-x x (D) 4||21ε>-x x16、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给量表2 市场需求量根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ） （A ）（，）内 （B ）（，）内 （C ）（，）内 （D ）（，）内三、解答题17．若复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且2,)31()3(121=+=-z i z i z ，求1z .18、已知函数xa a a x f 2112)(-+=，常数0>a 。
（1）设0>⋅n m ，证明：函数)(x f 在][n m ，上单调递增； （2）设n m <<0且)(x f 的定义域和值域都是][n m ，，求m n -的最大值。
19、长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点.（1）求证：直线⊥AE 平面E D A 11；（本题15分） （2）求三棱锥E D A A 11-的体积；（3）求二面角11A AD E --的平面角的大小.20、如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .（1）求证：M 点的坐标为（1，0）； （2）求证：OA ⊥OB ；（3）求△AOB 的面积的最小值.A BC D E A 1B 1C 1D 121、近几年，上海市为改善城区交通投入巨资，交通状况有了一定的改善，但人民广场仍是市中心交通最为拥堵的地区之一。
为确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v （千米/小时）的平方与车身长s （米）之积的正比例函数，且最小车距不得少于车身长的一半，现假定车速为50千米/小时，车距恰为车身长。
⑴ 试写出d 关于v 的解析式（其中s 为常数）；⑵ 问应规定怎样的车速，才能使此地车流量1000vQ d s=+最大？22、已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n na n a n a n n f n且 求函数 )(n f 的最小值；（3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。
试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
上海市吴淞中学高三数学训练参考答案一、填空题1、 0；2、垂直；3、⎭⎬⎫⎩⎨⎧1217,1213,125,12ππππ； 4、（±5，0）； 5、)2,(-∞； 6、6； 7、31； 8、18； 9、128,128ba ； 10、①或②； 11、3； 12、8204。
二、 选择题13、B ； 14、D ； 15、C ； 16、C 。
三、解答题17、解：⎩⎨⎧-==⇒∴-=⇒⎩⎨⎧=+++-=-+∴112)31)(()3)((22b a b a b a i bi a i bi a 或⎩⎨⎧=-=11b a ，则i z -=1或i z +-=1 18、解：（1）任取1x ，],[2n m x ∈，且21x x <，21212211)()(x x x x a x f x f -⋅=-，因为21x x <，1x ，],[2n m x ∈，所以021>x x ，即)()(21x f x f <，故)(x f 在],[n m 上单调递增。
（2）因为)(x f 在],[n m 上单调递增，)(x f 的定义域、值域都是⇔],[n m n n f m m f ==)(,)(， 即n m ,是方程x xa a a =-+2112的两个不等的正根01)2(222=++-⇔x a a x a 有两个不等的正根。
所以04)2(222>-+=∆a a a ，⇒>+0222aa a 21>a 。
∴),(,)(334421316232121∞+∈+--=-+=-a a a m n a a，∴23=a 时，m n -取最大值334。
19、解：（1）依题意：E A AE 1⊥，11D A AE ⊥，则⊥AE 平面E D A 11. （2）.312212131311111=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-AE S V E D A E D A A （3）取1AA 的中点O ，连OE ，则1AA EO ⊥、11D A EO ⊥， （4）所以⊥EO 平面11A ADD .过O 在平面11A ADD 中作1AD OF ⊥，交1AD 于F ，连EF ，则EF AD ⊥1, 所以EFO ∠为二面角11A AD E --的平面角.在AFO ∆中，.sin 55111=⋅=∠⋅=ADD A OA OAF OA OF .5=∠∴EFO tg20、解：(1 ) 设M 点的坐标为（x 0, 0）, 直线l 方程为 x = my + x 0 , 代入y 2= x 得y 2－my －x 0 = 0 ① y 1、y 2是此方程的两根, ∴ x 0 ＝－y 1y 2 ＝1，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ y 1y 2 ＝－1∴ x 1x 2 + y 1y 2 = y 12y 22+y 1y 2 ＝y 1y 2 (y 1y 2 +1) = 0∴ OA ⊥OB .（3）由方程①，y 1＋y 2 = m , y 1y 2 ＝－1 , 且 | OM | = x 0 =1, 于是S △AOB = 21| OM | |y 1－y 2| =212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当m = 0时，△AOB 的面积取最小值1. 21、解：⑴ 由已知：212500d ksv k =⇒=∴ 212500d sv =当2s d ≥时，2125002s sv v ≥⇒≥ ∴20212500sv d sv v ⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩⑵当v ≥时，212500d sv = ∴ 12100025000002500012500()2500v Q v s sv s s v v==≤++，此时50v =千米/小时当0v <<时，2sd =∴ 211000100032v vQ Q s s s ==<+故当50v =千米/小时时，车流量最大。
22、{},11111()101,1111(1)1(2),1.3n n n n n n n P a a x y a a a a a n n n a a n ++--=-==∴∴=+-⋅=≥=∴=解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。
也满足分1112(),122111111(1)23422122111111(1)()0,621221222217()()(2)812f n n n n f n n n n n n n f n f n n n n n n n f n f n f =++++++=+++++++++++∴+-=+->+-=++++++∴=（），分是单调递增的，故的最小值是。