概率论和数理统计考试试题和答案解析

一.填空题（每空题2分，共计60分）

1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,

=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、

第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、

乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，

Y X 与的协方差为: - 0.2 ，

2Y X Z +=的分布律为:

6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，

(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。

7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：

=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。

8、设2),(125===Y X Cov Y D X D

，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。则：~X N

（8 ， 8/13 ），

~16252

S )25(2χ，

~5

2/8s X - )25(t 。

二、（6分）已知随机变量X 的密度函数⎩

⎨⎧≤≤=其它 , 01

0 ,)(2x ax x f

求：（1）常数a ， （2）)5.15.0(<

解:(1)由

⎰

+∞

∞

-==3,1)(a dx x f 得 2’

(2) )515.0(⋅<

⎰

⎰==5

..15

.01

5

.02875.03)(dx x dx x f 2’

(3) ⎪⎩

⎪

⎨⎧<≤<≤=x x x 0

x x F 1 , 110 , 0)(3 2’

三、（6分）设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：⎩

⎨⎧≤≤≤≤=其它 , 010,10

,2),(y x y y x f

求：（1）X ，Y 的边缘密度，（2）讨论X 与Y 的独立性。 解:(1) X ，Y 的边缘密度分别为:

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤==⎰⎰⎰∞+∞

-其他，

，其他

010 22)()(

010

12)(1

01

0y y ydx dx y x f y f x ydy x f Y X 4’

(2)由(1)可见

）

（）（），（y f x f y x f Y X ⋅=, 可知: X ，Y 相互独立 2’

一. 填空题（每小题2分，共计60分）

1. 设随机试验E 对应的样本空间为S 。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E 为等可能型试验，且S 包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。

2．3.0)(,4.0)(==B P A P 。若

A 与

B 独立，则=-)(B A P 0。28 ；若已知B A ,中至少有一个事件发

生的概率为6.0，则=-)(B A P 0.3，=)(B A P 1/3 。

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。

若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。 4、1)()(==X D X E 。若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P 1

1--e

；若

X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 0 。

5、设),(~2

σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=

2 ；=>}0{X P 0.8 。

6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。

7、若随机变量X )5,1(~U ，则{

}=40〈〈X p 0.75 ；=+)12(X E __7___， =+)13(X D 12 ．

8、设

44

.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则

=

=}{n X P 3

4.0，并简化计算

=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∑k

k k k k 66

026.04.062.7)4.06(6.04.062=⨯+⨯⨯。 9、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E

-4 ，=-)2(Y X D 6 。

10、设161,,X X 是总体)4,20(N 的容量为16的样本，X 为样本均值，2

S 为样本方差。

则：~X

N （20， 1/4 ）

，{}

120>-X p = 0.0556 ， ~16152

S )15(2χ，~5

1/20s X - t(15)。 此题中9772.0)2(=Φ。

11、随机变量X 的概率密度⎩

⎨⎧≤>=-0 ,00 ,)(x x e x f x λλ ，则称X 服从指数分布，=)(X E λ1。

13、设二维随机向量),(Y X 的分布律是： 则X 的方差=)(X D 0.21 ；

Y X 与的相关系数为:=XY ρ 3/7 。

二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，0.3．现从

由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率．

解：设321A ,A ,A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 有： %5)P(A 80%,)A (P %,15)

p(A 321=== 2’

B 表示取到次品，3.0)A B P(0.1,)A B (P ,2.0)A p(B

321===， 2’