第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析

V 20 5 100 / 12 20

105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n

i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)


1 2

t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n

n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
服从正态分布，只要 X 1， X 2， ， X n (
2
令
n
1 n
P i，则 n .
i 1
n
定理5.4 (辛钦大数定律)（教材p147）
E 2 设{ n } 相互独立，且服从相同分布， ( i ) ， i 1，， 1 n P 令 n i，则 n .
n
i 1
说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相
( 1 . 63 ) ( 1 . 98 ) ( 1 . 63 ) ( 1 . 98 ) 1
第一节大数定律定义51依概率收敛教材p145是一个随机变量序列依概率收敛于记为定义52以概率1收敛几乎处处收敛以概率1收敛于几乎处处收敛于记为定义53依分布收敛弱收敛于fx记为fn依分布收敛于记为定理52几种收敛之间的关系定义54独立随机变量序列为独立随机变量序列简称定理53切比雪夫大数定律教材p144定理54辛钦大数定律教材p147这两个大数定律实质上是指出
P { 0 . 74 n X 0 . 76 n } P {| X EX | 0 . 01 n }
在切比雪夫不等式中取 0 . 01 n ,
P { 0 . 74 X / n 0 . 76 }
P {| X EX | 0 . 01 n )
例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞 数平均是 7300, 均方差是 700. 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的 概率. 解 设每毫升白细胞数为 X , 依题意,
7300 ,
2
700 ,
2
所求概率为
P { 5200 X 9400 } P { 5200 7300 X 7300 9400 7300 } P { 2100 X 2100 } P {| X | 2100 }.
即他们的寿命之和超过350小时的概率为0.1814
例2 一加法器同时收到20个噪声电器Vk(k=1,2,…,20), 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布。记 解
V
20
V 求P{V>105}的近似值
k k 1
E(Vk) = 5 , D(Vk) = 100/12
( k=1,2,…,20 ).
由莱维中心极限定理
V
Z
k 1
20
k
20 5 20
V 20 5 100 / 12 20
100 / 12
近似服从正态分布N(0,1),
V 20 5 100 / 12 20

~ N ( 0 ,1 )
P V 105

P
若P( lim n )=1，则称{ n } 以概率1收敛于，或称 n 几乎处处收敛于，记为 n a.s. 。
P P 定理5.1 设 n a ， n b ， g(x，y)在(a，b)处连续，则 P g ( n， n ) g ( a ， b ). 定义5.3(依分布收敛) 设{ n }和的分布函数分别为{ F n ( x )} 和F(x)，若
).
(A) 有相同的数学期望
(C ) 服从同一指数分布
(B) 有相同的方差
(D) 服从同一离散型分布
例3 (2001年数学四考研试题十一题) 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的， 假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量 为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. ( (2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数)
所以 P V 105
0 . 3483
例3 对敌人的防御地段进行100次炮击, 在每次 炮击中, 炮弹命中颗数的数学期望为2, 均方差为1.5, 求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的 概率.
解 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数

X 200 P 1 . 33 1 . 33 15
2 ( 1 . 33 ) 1 2 0 . 9082 － 1
0 . 8164
1 15

( X 200 ) ~ N ( 0 ,1 )
X ~ N ( 0 ,1 ) , P {| X | x } 2 ( x ) 1
X

100
Xk
k 1
Xk相互独立，且E(Xk)=2,
由莱维中心极限定理
D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
X
k

100
100 2

k 1
1 15
100 1 . 5
( X 200 )
~ N ( 0 ,1 )
有180颗到220颗炮弹命中目标的概率
P 180 X 220
第五章
第一节 大数定律
大数定律和中心极限定理(简介)
定义5.1 (依概率收敛)（教材p145）
设 1， 2， ， n， ( 或记 { n }) 是一个随机变量序列，是 随机变量或常数。若对任何 >0，都有
lim P ( n ) 1，
n
P 就称{ n } 依概率收敛于，记为 n 。 定义5.2 (以概率1收敛、几乎处处收敛)
2
1 0 . 1875 n / 0 . 0001 n 1 1875 / n
依题意, 取 n 使 1 1875 / n 0 . 9 ,
n 1875 /( 1 0 . 9 ) 18750 ,
解得
即 n 取 18750 时, 可以使得在 n 次独立重复试验 中, 事件 A 出现的频率在 0 . 74 ~ 0 . 76 之间的概率 至少为 0.90.
350 300 T 300 P 3000 3000
350 300 T 300 1 P 3000 3000 350 300 1 1 ( 0 . 91 ) 3000
1 0 . 8186 0 . 1814
例1
设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为0.1 的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互独立, 求他们的寿命之和超过350小时的概率.
设 T i 为第 i 个元件的寿命 , i 1 , 2 , , 30 , T 为寿命之和
30
解
显然 T1 , T 2 , , T 30 相互独立 且 T i ~ E ( 0 . 1 ), i 1 , 2 , . 30
器的台数， 则 X ~ B(200,0.75) .
由棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理, 有 X ~ N ( 150 , 37 . 5 )

(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.
160 150 144 150 p 144 X 160 37 . 5 37 . 5
由切比雪夫不等式
P {| X | 2100 } 1
2
/( 2100 )
2
2
1 ( 700 / 2100 ) 1 1 / 9 8 / 9 ,
即每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率不
小于 8/9.
例2 在每次试验中, 事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求: 独立试验次数 n 最小取 何值时,事件 A 出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的 概率至少为 0.90? 解 设 X 为 n 次试验中, 事件 A 出现的次数, 则
n
定义5.4 (独立随机变量序列)
{ 设 n }是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随 机变量 1， 2， ， n 都相互独立，则称{ n } 为独立随机变 量序列(简称{ n } 相互独立)。
定理5.3 (切比雪夫大数定律)（教材p144）
2 设 { n } 相互独立，且 E ( i ) ， D ( i ) ， i 1，， ，
2. 这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独 立随机变量的算术平均近似于一个常数。 定理5.5 (贝努利大数定律)（教材p146） 设A在n重贝努利试验中发生 n A 次，p=P(A)，则对任何 >0，有 nA lim P ( p ) 1. n n nA P p ) 1， 说明：贝努利大数定律是说，当n很大时， ( n 故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。 例1(2003年数学三考研试题填空题)

lim F n ( x ) lim P (
n n i 1
i
n x)
x
n


1 2

t
2
e
2
dt .
说明：当n很大时，

i 1
n
i
n
n
～N (0， 1).
.
推论( 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)（教材p150 ）
设 n ～B(n，p) (0<p<1)，则对任何x，有
X 设总体X服从参数为2的指数分布， 1， X 2， ， X n 为来自 1 n 总体X的简单随机样本，则当n时， 2 Yn X i n i 1 依概率收敛于 。
第二节 中心极限定理 定理5.6 (列维-林德贝格中心极限定理 Levy-Lindeberg) ( 独立同分布中心极限定理) （教材p147）
例4 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需
要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实
际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互 独立的,求: (1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率. (2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作 的概率不少于0.99. 解 (1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机
X ~ B ( n , 0 . 75 )
EX 0 . 75 n ,
DX 0 . 75 0 . 25 n 0 . 1875 n ,
P { 0 . 74 n X 0 . 76 n } P { 0 . 01 n X 0 . 75 n 0 . 01 n }
P {| X EX | 0 . 01 n }
ET i
T
100
T
i1
i
1

10
DT i
1

2
由莱维中心极限定理
T ET DT T 30 10 30 100

~
N ( 0 ,1 )
他们的寿命之和超过350小时
P T 350
T 30 10 30 100

~ N (0, 标准正态分布表1 )