北师大版必修4高中数学第2章平面向量22.2向量的减法

4．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？ [提示] 在▱OACB 中，O→A＝a，O→B＝b，则：
(1)若|a|＝|b|，则▱OACB 为菱形．
(2)若|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为矩形． (3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为正方形．
【例 3】 如图所示，在▱ABCD 中，A→B＝ a，A→D＝b，用向量 a，b 表示A→C、D→B，并回答 下面几个问题．
a 的终点的向量
思考：向量减法的三角形法则是什么？ [提示] (1)两个向量 a，b 的始点移到同一点； (2)连接两个向量(a 与 b)的终点； (3)差向量 a－b 的方向是指向被减向量的终点． 这种求差向量 a－b 的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为 “移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这 个向量的相反向量．如 a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量 的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分 a－b 与 b－a.
3．以向量A→B＝a，A→D＝b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对 角线的向量为A→C＝a＋b，B→D＝b－a.
＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
向量加减法的混合运算
【例 2】 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C. [解] (1)法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M＋ M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 5，则|a－b|＝________. 5 [根据平行四边形法则，∵( 5)2＝12＋22，
∴平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝ 5.]
合作探究 提素养
向量减法法则的应用 【例 1】 如图所示，已知向量 a、b、c、d，求作向量 a－b、c －d.
3．若向量 a 与 b 满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________， |a－b|的最大值为________．
7 17 [由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得．]
4.如图，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设A→B＝a，D→A＝b，O→C＝c， 用 a，b，c 表示O→A.
(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出 a －b.如图②所示，作O→A＝a，O→B＝b，A→C＝－b，则O→C＝a＋(－b)， 即B→A＝a－b.
1．如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量
a＋b－c. [解] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B
(1)当 a、b 满足什么条件时，AC⊥BD? (2)当▱ABCD 满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? [思路探究] 解答本题首先要弄清四边形与向量条件的对A→B＝a，A→D＝b，∴A→C＝a＋b，D→B＝a－b. (1)当|a|＝|b|时，▱ABCD 为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故 此时有 AC⊥BD. (2)当▱ABCD 为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b| ＝|a－b|.
∴四边形 ABCD 为平行四边形． 又|a－b|＝|a－d|，从而|O→A－O→B|＝|O→A－O→D|， ∴|B→A|＝|D→A|，∴四边形 ABCD 为菱形．
1．关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过 作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运 算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察 向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步， 利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．
法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M ＝A→B＋0＝A→B. (2)法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
化简向量的和差的方法 1如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算 的去掉括号. 2可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化 简. 3化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向 量的终点. 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
[探究问题] 1．向量减法的实质是什么？ [提示] 加法的逆运算． 2．|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？
[提示] |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
3．怎样求两个向量的差？ [提示] 两个向量的差也可用平行四边形法 则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两 个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向 量点，和向量是对角线所对应的向量A→C，而差向 量是另一条对角线所对应的向量D→B，方向是从减向量指向被减向量； 用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从 减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量 a，b 的差向量 a －b，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．
的差向量.
自主预习 探新知
向量的减法 (1)相反向量
把与 a 长度_相__等__、方向_相__反__的向量，叫作 a 的相反向量， 定
记作_－__a__； 义
规定：零向量的相反向量仍是零向量
(1)零向量的相反向量仍是__零__向__量__，于是－0＝0；
性 (2)互为相反向量的两个向量的和为_0_，即 a＋(－a)＝(－a)
[解] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d.
则 a－b＝B→A，c－d＝D→C.
利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量 a，b，如图①所示，作O→A＝a，O→B＝b，利用向量减 法的三角形法则可得 a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放 在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终 点为终点的向量．
第二章 平面向量
§2 从位移的合成到向量的加法 2.2 向量的减法
学习目标
核心素养
1.知道向量减法的定义，理 1.通过学习向量减法的定义及相反向
解相反向量的意义． 量，体会数学抽象素养．
2．掌握向量减法的运算及 2．通过向量减法的运算及几何意义作
几何意义，能作出两个向量 出向量的差，体会数学直观素养.
1．将例 3 中的条件变为“▱ABCD 中∠ABC＝60°，A→B＝a，A→D＝ b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．
[解] 依题意，|A→C|＝|a＋b|＝2，如图所示． 而|A→B|＝|a|＝2. 因为∠ABC＝60°， 所以△ABC 是等边三角形， 所以 BC＝AB.
所以▱ABCD 为菱形，AC⊥BD， 所以|a|2＝12|a＋b|2＋12|a－b|2， 即 4＝1＋|a－4b|2， 所以|a－b|＝2 3.
质 ＋a＝0；
(3)若 a＋b＝0，则 a＝_－__b_，b＝_－__a_
定义
向量 a 加上 b 的_相__反__向__量__，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝a ＋_(_－__b_) ，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何 如图，设O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b， 意义 即 a－b 表示为从向量 b 的终点指向向量
2．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．b－a C [B→C＝A→C－A→B＝b－a.]
D．－a－b
3．设正方形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋A→D－C→D|＝________. 4 2 [如图，原式＝|(A→B＋A→D)－(C→B＋C→D)|＝|A→C－ C→A|＝|A→C＋A→C|＝2|A→C|， ∵正方形边长为 2.∴2|A→C|＝4 2.]
1．下列等式中，正确的个数是( )
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由向量的加法及几何意义，可得：①a＋b＝b＋a，正确；由 向量的减法及其几何意义，得 a－b＝－(b－a)，即②错误；0－a＝－ a，③正确；根据相反向量的定义及性质得－(－a)＝a，④正确；而 a ＋(－a)＝0≠0，⑤错误．]
2．化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． [解] (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
向量加减法的综合应用
[解] O→A＝O→B＋B→A＝O→C＋C→B＋B→A ＝O→C＋D→A－A→B＝c＋b－a.
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．( ) (2)B→A＝O→A－O→B.( ) (3)a－b 的相反向量是 b－a.( ) (4)|a－b|＜|a＋b|.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋C→D|＝________. 2 [|A→B－C→B＋C→D|＝|A→B＋B→C＋C→D|＝|A→C＋C→D|＝|A→D|＝2.]
2．若将例 3 中的条件变为“设平面内四边形 ABCD 及任一点 O， O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d，若 a＋c＝b＋d 且|a－b|＝|a－d|”．试 判断四边形 ABCD 的形状．
[解] 由 a＋c＝b＋d 得 a－b＝d－c， 即O→A－O→B＝O→D－O→C， ∴B→A＝C→D，于是 AB 綊 CD，