四川省射洪县射洪中学高中数学必修4第三章章节教案3.2.1倍角公式2
高二数学(人教A版)必修4精品教案—3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式三维目标1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导领悟寻找数学规律的方法，培养的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程(问题导入) 1、 若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。
2、①请试着用sin α 或cos α,表示sin2α，cos2α。
②请试着用tan α表示tan 2α。
（新知讲解）这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.公式说明：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去； (Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数； (Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.（Ⅴ）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. （应用示例）例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值.练习1、已知cos 8α=54-,8π<α<12π,求sin 4a ,cos 4a ,tan 4a 的值。
新人教B版高中数学(必修4)3.2.1《倍角公式》word教案
§3.2.1倍角公式
(一)教学目标：
1.知识目标：
(1)掌握2,2,2S C T ααα公式的推导，明确α的取值范围；
(2) 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。
2.能力目标：
(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力； (2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：
引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.
(二)教学重点、难点
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。
难点：理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前
学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。
(三)教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，进行教学活动。
通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的。
对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。
(四)教学过程
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tan2α = 119120-。
高中数学必修四教案：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
这时教师适时地向学生指出， 我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦， 余弦， 正切公
式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的
“倍角 sin2α +co2sα =1思考 ,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右
表中的公式 .
这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）
展开新课 .
思路 2.(问题导入 )出示问题，让学生计算，若
3
sin α＝, α∈ ( , π求), sin2 α， cos2 α的值 .
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学生会很容易看出： sin2 α=sin( α+α)=sin αcosα+cosαsin α=2的sin，α以c此os展α开新课，并由
此展开联想推出其他公式 .
.倍角公式给出了 α的三角
函数与 2α的三角函数之间的关系 .
问题④ ,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首 先公式左边角是右边角的 2 倍；左边是 2α的三角函数的一次式，右边是 α的三角函数的二
次式，即左到右 → 升幂缩角，右到左 → 降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，
正切是分式 .
问题⑤ ,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观 察思考并初步感性认识到： (Ⅰ )这里的 “倍角 ”专指 “二倍角 ”遇，到 “三倍角 ”等名词时 , “三 ”字等
不可省去； (Ⅱ )通过二倍角公式 ,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；
( Ⅲ)二倍角
2
44
44
2
2 tan 40 1 tan2 40
=tan80 °， cos22α-sin22α =cos4，αtan2 α =2tan α-ta(n12α）等等 .
数学人教B版必修4示范教案：3.2.1 倍角公式 含解析 精
示范教案整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究提出问题(1)还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)(2)你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？(3)在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？(4)细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？(5)能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？(6)让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin ( )＝2sin ( )cos ( )，cos ( )＝cos 2( )－sin 2( ).(7)思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？(8)请思考以下问题：sin2α＝2sinα吗？cos2α＝2cosα吗？tan2α＝2tanα吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ⇒sin2α＝2sinαcosα(S 2α)；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ ⇒tan2α＝2tanα1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sinαcosα(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tanα1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12kπ＋π4和α≠kπ＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋π2，k ∈Z 时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tanα(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k ∈Z )． 若cos2α＝2cosα，则2cos 2α－2cosα－1＝0，即cosα＝1－32(cosα＝1＋32舍去)． 若tan2α＝2tanα，则2tanα1－tan 2α＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k ∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1已知si nα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：因为s inα＝513，α∈(π2，π)，所以cosα＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sinαcosα＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.例 2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋co s2θ)＝2sinθcosθ＋(1＋1－2cos 2θ)2sinθcosθ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sinθcosθ＋1－cos 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθcosθ＋sin 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθ(cosθ＋sinθ)cosθ(sinθ＋cosθ)＝tanθ＝右， 所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sinθ(sinθ＋cosθ)2cosθ(sinθ＋cosθ)＝tanθ＝右． 方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθ·cosθ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθ·cosθ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sinθ＋cosθ)2－(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ) (sinθ＋cosθ)2＋(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ)(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ)＝(sinθ＋cosθ)·2sinθ(sinθ＋cosθ)·2cosθ＝tanθ＝右．点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116.例 2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A<π，0<B<π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34， tan2A ＝2tanA 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B 1－tan2Atan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34. 又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝2tan (A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117.课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．备课资料一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°. 2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cosαcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1. 4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0.(1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域．6．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值． 7．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sinx 的值；(2)求sin(2x ＋π3)的值． 参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2(12cos10°－32sin10°)sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin (30°－10°)sin20°＝4. 2．解：原式＝2sin36°cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14. 3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，则原式＝sin2α2n sin α2n －1. 4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 5．解：(1)由题意，得m·n ＝sinA －2cosA ＝0，因为cosA ≠0，所以tanA ＝2.(2)由(1)知tanA ＝2，得f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32， 因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．当sinx ＝12时，f(x)有最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3， 所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]． 6．∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2， ∴π2<α－β2<π. ∴sin(α－β2)＝459. ∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53. ∵cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7275， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729. 7．解：(1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)． 于是sin(x －π4)＝1－cos 2(x －π4)＝7210， sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)，故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－(45)2＝－35， sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. 所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.。
高中数学必修4 同步导学案：第3章 3.2.1 倍角公式 Word版含答案
3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 倍角公式阅读教材P 143内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：记法 公式S 2α sin 2α＝2sin_αcos_α C 2α cos 2α＝cos 2α－sin 2α T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α2.余弦的二倍角公式的变形：3.正弦的二倍角公式的变形：(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos _α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】 由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 －79[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4α2－sin 4α2；(2)sin π24·c os π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24cos π12＝12sin π12cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝14sin π6＝18， ∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12，∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33，∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°； (3)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题A.2B.－2C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79B.13C.－79D.－13(3)(2016·天津高一检测)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值. 【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α求值；(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin α(或cos α)―――――――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)―――――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α) ―――――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α) ―――――――→同角三角函数的关系⎩⎪⎨⎪⎧cos α或sin α，tan α――――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值.【导学号：72010084】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】 －45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；(2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】(1)左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【证明】 左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α ＝sin α＋cos α22cos αsin α＋cos α ＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边. 所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝ 12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 在化简1＋sin α＋cos α＋1－cos α＋sin α时，如何灵活使用倍角公式？【提示】 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，原式＝2sin α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＝sin α2cosα2＋cosα2sin α2＝1sin α2cosα2＝2sin α.探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π. 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】 化简f (x )的解析式→f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B →ωx ＋φ的范围 →求最小值，单调减区间 【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]， 所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.[构建·体系]1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】 原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】 因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2 x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( )A.－32B.－12 C.12 D.32【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【导学号：72010085】【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcosα－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.【答案】 －565.求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8.【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(二十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( ) A.2B.3C.4D.6 【解析】 sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6. 【答案】 D2.(2016·铁岭高一检测)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( ) A.－53 B.－19C.19D.53 【解析】 因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 【答案】 B3.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A.－34 B.34C.－43 D.43 【解析】 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×－31－－32＝34.【答案】 B4.(2016·沈阳高一检测)若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于() A.2cos x B.－2cos xC.2sin xD.－2sin x 【解析】 因为sin x ·tan x <0，所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0，所以1＋cos 2x ＝2cos 2 x ＝2|cos x |＝－2cos x .【答案】 B5.已知cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A.－2425 B.－45C.2425D.255【解析】 ∵cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2xcos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125， ∴sin 2x ＝－2425. 【答案】 A 二、填空题 6.(2016·广州高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________. 【解析】 法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725. 【答案】 7257.已知sin 2α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________. 【导学号：72010086】【解析】 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin α>cos α即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有 cos α－sin α＝－cos α－sin α2 ＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32. 【答案】 －32三、解答题8.化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1).【解】 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin －10°cos 20° ＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.9.求证：(1)1sin 10°－3cos 10°＝4； (2)3tan 12°－3sin 12°4cos 212°－2＝－4 3. 【证明】 (1)左边＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°12sin 20° ＝4sin 30°－10°sin 20°＝4＝右边. 所以原等式成立.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°2cos 212°－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin 12°－60°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边. 所以原等式成立.[能力提升]1.(2016·牡丹江一中期末)已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( )A.π3 B.π2 C.2π3 D.π【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79， 由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427， ∴tan 2β＝－427， ∴tan(α＋2β)＝0，又α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32π， ∴α＋2β＝π.故选D.【答案】 D2.(2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值. 【解】 (1)由题意知cos α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55 ＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45， cos 2α＝2cos 2 α－1＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α ＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－33＋410.。
最新人教版高中数学必修4第三章《倍角公式》
3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式点、易错点名师点拨(1)T 2α只有当α≠k π＋2(k ∈Z )及α≠2＋4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2n m α)＝2sin(2n －1m α)cos(2n －1m α)；cos(2n m α)＝cos 2(2n －1m α)－sin 2(2n －1m α)；tan(2nm α)＝2tan 2n －1m α 1－tan 2 2n －1m α. 【自主测试1】已知tan α＝2，则tan 2α等于( )A ．4B ．45C ．－43D ．43答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 答案：D【自主测试3】已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案：B关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×2sin 30°＋10°cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二 给值求值问题【例题2】若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三 给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：tan α＝13→tan 2α→tan 2α－β →确定2α－β的范围→在确定范围中找出角解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答． 证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β) ⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝ sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.题型六 易错辨析【例题6】已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α所在的 象限为________．错解：由sin α2＝45＞0，cos α2＝－35＜0，可知α2为第二象限的角，即2k π＋π2＜α2＜2k π＋π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜α＜4k π＋2π(k ∈Z )，∴α为第三或第四象限的角．错因分析：仅根据α2的正弦、余弦的正负来判断α2的范围是比较粗浅的，尤其由α2的范围通过不等式的性质得α的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出α的正弦值、余弦值来确定．正解：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725＜0，∴α是第三象限的角．1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案：D2．(2012·山东曲阜期末)函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 答案：D3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－459答案：C4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________. 解析：cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32；tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 答案：14 32 365．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 答案：1201696．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。
[教案精品]新课标高中数学人教a版必修四全册教案313二倍角的正弦、余弦、正切公式(2).doc
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3. 1. 3 二倍角的正弦、余弦和正切公式•一、教学目标•以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用..二、教学重、难点教学重点：以两角和的正眩、余眩和正切公式为基础，推导二倍角正眩、余弦和正切公式;教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.•三、教学设想：（-）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,. sin(a - 0) = sin a cos 0 - cos a sin 0sin(a + 0) = sin a cos 0 + cos a sin 0cos(a - 0) = cos a cos 0 + sin a sin 0cos(a + 0) = cos a cos 0 - sin a sin 0/ c、 tan a — tan 0 / 门、tan a + tan 0 tan(6r -/?) = ---------------- -- tan(<7 + #)= ----------------------------------- —•I + tan• tan p 1 - tan 6if • tan 0.练习：(1)在AABC 中，sin A sin B < cos A cos B ,则AABC 为( )A. 直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形(2) V3cos—-sin兰的值为（）12 12A. 0B. 2 C- V2 D. -V2jr19 3思考：已知3<0<°<百，cos(o-0)=乜，sin(6r + /3)=,求sin2a我们由此能否得到sin2%cos26Man2o的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中0看成a即可），（二）公式推导:sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin acosa；cos 2a = cos (a + a) = cosa cos a-sina sin a - cos2 cif-sin2a；思考：把上述关于cos2a 的式子能否变成只含有sina 或cos©形式的式子呢?cos 2a = cos 2 <7-sin 2 cr = 1-sin 2 6r-sin 2(7 = l-2sin 2 a ； cos 2a = cos 2 a-sin 2 a = cos 2(7-(1-cos 2 a) =2cos 2 a-l.tan 2cr = tan (6Z + 6Z )= 9 1 一 tan a tan a 1-tan" a2Q 丰—F k 兀3a H —F k 兀(kw z) 2 2 、丿tan cr + tan or 2 tan a 注意: （三） 例题讲解己知<a< —，求sin4a,cos4o,tan4G 的值.13 4 27T 兀 兀解：由「X 亍得空＜205.于是 sin46r = 2sin 2a cos 2cr = 2x —x134例 2.在厶ABC 中,cosA =— , tan B = 2,求tan(2A + 2B)的值。
【北师大版】高中数学必修4第三章：3.1二倍角的三角函数 教学设计
【北师大版】高中数学必修四§3.1二倍角的三角函数教学设计【教学目标】1.知识与技能（1）能够由两角和公式推导出二倍角公式；（2）能较熟练地运用二倍角公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
2.过程与方法通过两角和公式推导二倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，培养和发展学生获取数学知识的能力。
3.情感态度与价值观通过推导二倍角公式，养成寻找规律、探索新知的习惯，体会数学公式所蕴涵的和谐美。
【教学重难点】教学重点：二倍角公式推导及其应用；教学难点：灵活应用二倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式。
【教材分析】高中数学必修4第三章第3节《二倍角的三角函数》需要安排两个课时，本节课是第一课时，它是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具。
另外，通过对二倍角公式的推导，让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想。
因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义。
【教学过程】一、复习导入请学生回忆上两节共同探讨的和差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式。
教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的。
当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题。
二、新知探究问题1：两角和的正弦、余弦、正切公式是什么？教学设想：请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写。
学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，鼓励学生大胆想象α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题。
问题2：如果公式中角α、β满足α=β，公式会变成什么形式？教学设想：每个学生尝试独立化简，找一名学生到黑板化简，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，进而得出以下式子。
人教A版高中数学必修四四川省射洪县射洪第三章章节教案倍角公式(1)(1)
系统地总结回顾本节课所学的内容有助于学生形成清晰的知识网络
布置作业
层次一：
教材练习B，1,2
层次二：
教材练习B，1,2，3,4；教材习题3-2A，4(2)
作业分三个层次，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一层次要求所有学生都要完成；
第二层次要求学有余力的学生完成；
通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为有余力的学生的发展提供更加广阔的空间
归纳小结
(1)说明二倍角的三角函数公式是两角和与差的三角函数公式的特例
(2) 中角 没有限制条件，而 中， 有限制条件
(3)要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键
(4) cos2 有三种形式，要依据条件，灵活选用公式。另外，逆用此公式时，更要注意结构形式。
提出对于cos2 =cos2 -sin2 ，还有没有其他的形式？
学生板演
教师板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为 ，对二倍角公式大家要注意以下问题：(1)用单角的三角函数表示复角的三角函数；(2) 有三种形式， 是有条件的
使学生掌握二倍角的余弦公式的不同表示形式，并掌握二倍有正切公式的适用范围，以加深对公式的认识和理解，培养严谨的数学思维品质
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
公式的应用
例1．
已知 ，
求sin2 ,cos2 ,tan2 的值
巩固练习一：
练习A，1,2，3。
例2．证明恒等式：
巩固练习二：
习题3-2A,3(1) (2) (3)
可让学生自己解决，本题也可按其程它的程序来做，并让学生比较方法之优劣。
师：证明恒等式有哪些途径？
人教A版高中数学必修四四川省射洪县射洪第三章章节教案半角的正弦余弦和正切
例2：求证
例3：等腰三角形顶角的余弦值为 ，求它的底角的正弦、余弦和正切
巩固练习
①P146A组1
②P146B组1
③P147A组2
④P147B组3(3)
师生共同分析解决：
例1：15º角在第一象限，直接用公式；若 所在象限已知，你会判断 所在象限吗？（教会判断方法，并记住结论）
若 为第一象限的角，则 =2k + 1,k Z,且
半角公式的深化
“倍”与“半”是相对的，公式不仅仅适用于具有“ ”与“ ”特征的角，而且更广泛地适用于具有倍半关系的角。
思考①
②
③若 是 的一半，试尽可能多地写出联系 与 的三角恒等式（倍角，半角公式）
通过对公式深挖掘，显示其强大作用，培养学生分析、联想能力，优化思维品质
半角公式的运用
会用半角公式解决实际问题
例3、注意判断三角形的角以及这些角的一半的范围，
让学生初步学会应用公式。
通过组织学生讨论探究，逐步培养学生发现新知识的能力。
发掘例题的功能，把知识引向深入
归纳小结
从知识、方法两个方面来对本节课进行归纳总结。
学生接力式总结，老师补充
让学生明确本节课的重点,并判断自己达到的要求。布置作业P来自46A组2P147A组1
思考讨论：
①公式是如何推导出来的？有何限制条件？
②公式有何特点？如何记忆？
③公式如何变形？有何用处？
先有学生回答问题，然后老师明确，结论如下：
①由
得
所以
两式相除得
( (2k+1) )
② 与 结构相同，一号之差， 是由 与 推出的
③平方后是降幂公式，用于变形、求值、证明
培养学生运用已有知识获得新知识的能力和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式的来源。通过讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活应用打下基础，逐步培养自学能力。
人教版高中必修4(B版)3.2.1倍角公式教学设计
人教版高中必修4(B版)3.2.1倍角公式教学设计一、授课目标本教学设计旨在帮助学生：1.掌握倍角公式的概念，能够运用倍角公式解决与三角函数相关的问题；2.培养学生的观察能力和分析问题的能力；3.培养学生的团队合作精神。
二、授课内容1.倍角公式的概念；2.倍角公式的推导；3.倍角公式的应用。
三、授课重难点1.掌握倍角公式的概念，能够正确地列出全部的倍角公式；2.能够熟练运用倍角公式解决相关的问题。
四、教学方法1.讲授法：通过老师讲解、演示、举例等方式，向学生介绍倍角公式的概念、推导和应用；2.组合拼图法：将倍角公式拆成若干部分，让学生分组进行合作，最后将各部分拼接起来，完成倍角公式的推导；3.问题解决法：通过老师提出相关问题，让学生自主思考并尝试解决，从而加深对倍角公式的理解和掌握。
五、教学过程第一步：概念介绍1.老师向学生介绍倍角公式的概念，并让学生列出全部倍角公式；2.学生讨论自己列出的倍角公式，并补充不足之处。
第二步：推导部分拆分1.老师将倍角公式拆分成若干部分，让学生分组进行合作；2.学生同组交流、讨论后完成各自的部分。
第三步：拼接部分1.学生将各自的部分进行汇报和展示；2.全班一起讨论和补充，最终完成倍角公式的推导。
第四步：应用实例1.老师提出一些与三角函数相关的问题，让学生自主思考并尝试解决；2.学生进行小组讨论，寻找最优解；3.各小组派代表进行总结和汇报，让其他小组进行评价和补充。
六、教学反思本教学设计创新性地运用了拼图法，让学生通过分工合作，完成整个倍角公式的推导过程。
同时，通过问题解决法，让学生在主动探究中加深对倍角公式的理解和掌握。
虽然这种教学方法需要较长的时间，但学生的学习热情和团队合作精神得到了充分调动，教学效果明显提高。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.2.1 倍角公式》32
课题：§二倍角公式授课人：李士臣 单位：新宾高中教学目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用；培养学生逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点及良好的思维品质。
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用教学设计：一．复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ 以旧引新，明确学习内容思考：我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），二．公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈公式的变形：co2α=1－2in 2α;co2α=2co 2α－1;co 2α=22cos 1α+;in 2α=22cos 1α- 三．例题讲解试一试：求值：（1）in22°30′co22°30′; 2 2co 28π－1 3in 28π－co 28π4 8in48πco 48πco 24πco 12π例1．已知in α=135,4π＜α＜2π求in2α,co2α,tan2α的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为in α=135 ,．所以 co α=－1312于是in2α=2in αco α=2×135×－1312=－169120；co2α=1－2in 2α=169119； tan2α=－119120例2．证明恒等式θθθθθθtan cos sin 22cos 2sin 2sin 2=+++例3．化简：in50°13tan10° 四．课堂练习： 1．若in αco α=－2,则tan ααtan 1=______________; 2．co5πco 52π=_____________;3．4cos 2sin 22+-的值为___________________; 4．若25π≤α≤27π,则ααsin 1sin 1-++=_________________五．小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用六．作业：教材P135面A 组：2、3、4、5题；B 组：2、3课后思考探究：1．在△ABC 中，54cos =A ，。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.2.1 倍角公式》4
公式
的应用5倍角公式的应用
例1：
5
sin,,,sin2,cos2,tan2
132
π
ααπααα
⎛⎫
=∈ ⎪
⎝⎭
已知求的值。
巩固练习一：练习A，1, 2, 3，4
2
sin2sin
2:tan
2cos22sin cos
θθ
θ
θθθ
+
=
++
例证明恒等式
师:证明恒等式的途径有哪些？
生：一是由左边证到右边，二是由右边证到左边，三是左右两边同时变形为一个式子。
巩固练习二：习题3-2A，3（1），（2），3
让学生掌握
二倍角公式
的变形公式
培养学生的
逻辑思维能
力和严谨的
数学思维品
质。
例1培养学生
灵活运用知
识解决问题
的能力
例2引导学生
运用合理的
途径进行证
明。
小结本节课主要学习了：1倍角公式的推导2对于倍角公式中二倍关系的理解。
3 倍角公式的变形公式。
4倍角公式的应用
作必做题：教材练习B，1,2,3
业选做题：教材练习B，4
板书设计
倍角公式
1倍角公式：22
2
sin22sin cos
cos2cos sin
2tan
tan2
1tan
ααα
ααα
α
α
α
=
=-
=
-
2 对于倍角公式中“二倍关系”的理解：
3倍角公式的变形公式：
4倍角公式的应用
例1: 巩固练习1：例2：巩固练习2：。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.2.1 倍角公式》31
2、能力目标：
（1）通过两角和差公式的复习，推导出倍角公式，了解二者的内在联系；培养逻辑推理能力；
（2）通过倍角公式的推导，以及对公式的综合运用，体会由一般到特殊的数学思想及类比，转化的数学思想，提高运算，分析能力
3情感目标：
通过学习,养成认真参与、积极交流的习惯；增强了善于发现问题的规律和及时解决问题的意识
引导学生回顾公式的推导过程，进一步把握倍角公式的结构特征,记忆公式
作业
层级一、课本P144练习A：2、4，练习B：1、2、3、4
层级二、
1、
2、已知，求的值。
3、在 ABC中， ， 求
层级一是课本的课后习题，主要让学生通过习题进一步巩固公式、记忆公式；
层级二是一组自编习题，主要用来检测学生对本节课的掌握情况；
【评价设计】
目标①：先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式、同角三角函数基本关系式，以达到温故而知新的目的。
目标②：学生在小组讨论的基础上进行展示，能把 看成 。
目标③：引导学生将两角和的正弦、余弦、正切公式中的角 都令 ，让学生独立完成，引导学生观察变化，让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想
回顾知识，做好铺垫
通过复习以下三个问题从而引入课题：
问题1、两角和的公式、同角三角函数基本关系式。
（不需要运算，小组讨论方法，交流）
问题3、如果将两角和的正弦、余弦、正切公式中的角 都令 ，会有什么形式？（学生独立完成，指名交流，订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果）
复习已学公式，学生容易发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 ，领悟到二倍角是两角和的特殊情况, 让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的。
2019-2020年高中数学必修四：3-1-3二倍角的正弦、余弦和正切公式 教案
教具
准备
多媒体课件
课时
安排
1课时
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
练习：（1）在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
（2） （ ）
A． 0 B．2 C． D．
思考：已知，，，求
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？
；．Leabharlann ．注意：（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为 ．
于是 ；
；．
例2．在△ABC中，，
例3．已知求的值．
解：，由此得
解得或．
例4．已知
（四）练习：教材P135面1、2、3、4、5题
（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（六）作业：《习案》作业三十二。
板
书
3.1.3弦、余弦和正切公式
；
．
教学
反思
2019-2020年高中数学必修四：3-1-3二倍角的正弦、余弦和正切公式 教案
课题
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
课型
新授课
教学
目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
重点
难点
重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.2.1 倍角公式》88
教学设计倍角公式教材：人民教育出版社必修四第三章一、教学目标：1知识与技能目标（1）应用三角函数的和角公式推导出倍角公式在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想（2）初步掌握倍角公式公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明（3）通过学习倍角公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学的兴趣2过程与方法目标通过倍角公式的探究过程，体验从已知到未知的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
通过公式的正用、逆用、变形用，以及“学生自主探究、合作探究，师生共究”的教学方式，使学生自觉地利用发展、变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力3情感、态度与价值观目标通过倍角公式的推导过程，使学生获得发现问题、分析问题、解决问题的成就感，同时展现数学中的和谐美和奇异美。
激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。
并逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力。
二、教学重点与难点：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2C 的两种变形；难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用三、教学方法与教学手段：教学方法：波利亚说，教师讲了什么并非不重要，更重要千百倍的是学生想了些什么。
为了达成教学目标，突出重点，突破难点，彰显关键点，本节课采用复习回顾、问题导引、观察、赋值、启发探究式相结合的教学方法，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中或得倍角公式，对于倍角公式采取讲、练结合的方式进行处理，使学生被学变练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆教学手段：使用导学案辅助教学，目标明确，学有所依，借助多媒体辅助教学，直观高效 四、教学设计4sin ,,52sin(),si ,()n αβαπααπββ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭+变式1、已知是第三求象限角的值。
22222(1)2sin 67.5cos67.5 2cos sin 882tan 22.53 1tan 22.55412sin 1252cos 1 12 o o ooππππ=-==--=-=（）（）（）（）探究四：公式的变形用解决问题的注意事项，整理、规范自己的做题过程。
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3.2.1 倍角公式
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），
（二）公式推导：
()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；
()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；
思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；
22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．
()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+=
=--． 注意：2,22k k π
παπαπ≠+≠
+ ()k z ∈ （三）例题讲解
例1、已知5sin 2,,1342ππαα=
<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42π
π
α<<得22π
απ<<．
又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．
于是512120sin 42sin 2cos 221313169
ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-
===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3
ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=
解得tan 2α=-
tan 2α=-．
例3、证明恒等式：2sin 2sin tan 2cos 22sin cos θθθθθθ
+=++ 证明：左边=2222sin cos sin sin (2cos 1)2(cos sin )2sin cos cos (2cos 1)
θθθθθθθθθθθ++=-+++=tan θ=右边 （四）小结： 1、我们是如何得出倍角公式的。
2、22,S C αα中角α有限制条件吗？2T α中呢？
3、cos 2α的三种形式及其如何用cos 2α表示2sin α、2cos α。
4、cos α如何用二倍角表示？cos3α、cos 4α、cos5α
等，又如何用二倍角表示呢？
（五）作业：
课后练习B 2,3,4
（六）板书设计
略。