大学物理简谐运动PPT课件

(3)振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初 相为_________．
(4)振子在位移为--A/2处，且向正方向运动，则 初相为_________．
(5) 写出以上四种情况的运动方程
6.2
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1)
A
ox
x Acos( 2 t )
T
1 ) 2 ) 或 3 3） 4）4 或 - 2
处时的速度；
2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于
零，而是具有向右的初速度 v0 0.30 m s1，
求其运动方程.
x/m
o 0.05
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解 （1）
x Acos(t )
k 0.72 6.0s1
m 0.02
A
x02
v02
2
x0
0.05m
oAx
由旋转矢量图可知 0
从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为
［
］
1s 6
1s 4
1s 3
1s 1s
8
2
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例，两个弹簧振子的周期都是0.4 s， 设开始时 第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动， 则这两振动的相位差为____________．
x Acos(t )
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y
t
0
A
x
x Acos(t )
例题
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例.一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T， 其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时，
(1) 振子在负的最大位移处，则初相为 ______________________；
(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为 ________________；
运动状态；
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的
运动状态.
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四 常数 A和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos
A
x02
v02
2
v0 Asin
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性 质决定，振幅和初相由初始条件决定.
(t 2 ) (t 1) 2 1
超前
0同步 π 反相 为其它 落后
x
x
x
o
o
o
t
t
t
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精析6.8 已知两个简谐振动曲线如图所 示．x1的相位比x2的相位超前_______．
x x1 x2
O
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π/2
t
例，两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、 周期相同．第一个质点的振动方程为
2 233
3
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例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，振幅
为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在
x 0.04m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.
试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力
（2）由起始位置运动到x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
m 2
x 0.707cm 第43页/共56页
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例1、底面积为 S 的长方形木块，浮于水面，水 下部分高度为 a，用手按下 b 后释放， 1）证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动 2）求振动周期。
a
分析：如何判断一个物 体是否做简谐振动？
b
一个物体的运动形式是由它的受力决定 的，关键是看它的受力是否是简谐振动的特征
振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界 的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波， 在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波， 光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观粒 子都具有波动性
——尽管在物质不同的运动形式中，振 动与波动的具体内容不同，本质不同，但在形 式上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律， 都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振 动与波动之间具有共同的特性。
23
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m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x (0.08)cos[π t π] 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
F kx m 2x
(0.01)( π )2 (0.069) 1.70103 N
2 第26页/共56页
（2）由起始位置运动到x 0.04m 处所需要
2π T
注意
周期和频率仅与振动 系统本身的物理性质
有关
“固有周期” “固有频率”
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三 相位 t
x
A
x Acos(t ) o
v A sin(t ) A
v v
T 2
xt 图
v T t
1）t (x, v) 存在一一对应的关系; t ——相位一定，振动状态唯一确定
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的
0.26m s（1 负号表示速度沿 Ox 轴负方向） 第31页/共56页
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于
零，而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1，求 其运动方程.
解
A＇
x02
v02
2
0.0707m
o π 4 x A＇
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x1 = Acos(t + a)．当第一个质点从正位移处回
到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移 处．求第二个质点的振动方程
1
x2
A c os (t
a
1π) 2
2
--A
O
A
精析6.1
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精析 6.6一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为
x 4 102 cos(2t 1 ) (SI)． 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m
(
0.08
)cos[
π
t
π
]
t
arccos( 1) 2
π 3
s
2s
23
0.667s
π2
3
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解法二，由旋转矢量判断
t时
刻 t π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
am 2 A
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x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
t
T
A
v vt 图
v A sin(t ) A
A cos(t π )
2
o
A
a
T
a t图
t
a A 2 cos(t ) A 2 o
A 2 cos(t π ) A 2
Tt
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3-1-2 简谐运动的特征量
一 振幅
A xmax
二 周期、频率
x xt图
A
o
Tt
T
x Acos(t )
A
2
Acos[(t T ) ]
x Acos(t )
Acos(t 2 ) T 2
周期 T 2π
2 k
m
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弹簧振子周期
T 2π m k
频率
1
T 2π
圆频率
2π
0.08 0.04 o 0.04
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x/m
0.08
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，振幅
为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在
x 0.04m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.
试求（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
力即线性恢复力。 F k x
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⑴对物体进行受力分析，若符合线性恢复力的形式，则物体一定做简谐振动 ⑵以物体的平衡位置为坐标原点，沿运动方向建立坐标 ⑶列出动力学方程，求出通解 x
原点旋转矢
量 的端点 在A轴上的
o
x x x0
投影点的运 动为简谐运 动.
x Acos(t )
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t t 时
o
A
t
以o为
原点旋转矢
量 的端点 在A轴上的
x x 投影点的运 动为简谐运 动.
x Acos(t )
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矢端量点在A旋的转
x 轴上的投
影点的运 动为简谐 运动.
本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是 其它振动与波动的基础
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振动和波动——物质的基本运动形式
振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近 作周期性的变化。
机械振动：物体在一定 的位置附近做来回往复 的运动。
波动：振动状态在空间 的传播。
机械振动和机械波 电磁振荡和电磁波 声（机械波） 光（电磁波） 微观粒子的波动性
T 2π 0.314s
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amax 20s1 A
（2） Ek ,m a x
1 2
mvm2 ax
1 2
m 2 A2
2.0103 J
（3） E Ek,max 2.0103 J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103 J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2 2Ep 0.5104 m2
解（1）先求运动方程 设 x Acos(t )
A 0.08m 2π π s1
T2
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A 0.08m 2π π s1
T2
t 0, x 0.04m
v0 0
π
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
ππ x ( 0.08 )cos[ t ]
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讨论
已知 t 0, x 0, v 0 求
0 Acos
x Acos(t )
π
2
v0 A sin 0
v
x
o
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
Tt
T
2
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3-1-3 旋转矢量法
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以 o为
当t 0 时
A
3-1-1 简谐运动 一、何为简谐运动？ 如果一个物体的运动方程的形式为
x Acos(t )
二、简谐运动的分析 最典型的简谐运动——弹簧振子的振动
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弹簧振子的振动
l0 k
A
m x0 F 0
x
o
A
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Fm
ox
x
1、受力特征
F kx ma ——线性恢复力，谐振特征力
π
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3-1-4 简谐运动的能量
以弹簧振子为例
F kx
x A cos(t )
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E
Ek
Ep
1 2
k A2
A2
（振幅的动力学意义）
2、动力学方程
a k x m
d2x dt 2
k m
x
令 2 k
m
d2 x 2 x
dt 2
x Acos(t )
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3、运动方程 x Acos(t )
4、速度
v dx A sin(t )
dt
5、加速度
vm A
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
2x
6、运动图线
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
2
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t 2 s 0.667s 3
例1 如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲
度系数 k 0.72N m，1 物体的质量 m 20g.
（1）把物体从平衡位置拉到
处停
下再释放，求简谐运动方程； x 0.05m
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 A
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任一物理量在某一定值附近往复变化 ——振动.
机械振动： 物体围绕一固定位置往复运动.

例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震 以及晶体中原子的振动等.
简谐运动： 简谐运动
最简单、最基本的振动.
合成 分解
复杂振动
本章研究：简谐运动
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§3-1 简谐运动
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x Ac对os给(定t振动系)统(0，.0周70期7由)co系s[统6.本0t身 性π] (SI)
质决定，振幅和初相由初始条件决定. 4
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➢ 相位差：两个简谐运动的相位之差 .
对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们步 调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能 守恒
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x, v
简谐运动能量图
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
能量
E 1 kA2
2
Ep
1 2
k A2
cos2
t
o T T T 3T 42 4
t Ek
1 2
m 2 A2
s in 2
t
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E 1 kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变
简谐运动势能曲线
Ep
CE
B
Ek
Ep
A O x A x
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例 质量为 0.10kg 的物体，以振幅1.0102 m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s2 ，
求： （1）振动的周期；
（2）通过平衡位置的动能；
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
解 （1） amax A 2
x Acos(t )
0.05cos( 6.0t )( m )
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（2）求物体从初位置运动到第一次经过 A 处时
的速度；
2
解 x Acos(t ) Acos(t)
x A 2
由旋转矢量图可知 t π
3
v dx A sin(t )
dt
A
o A Ax
2
v A sint