高二数学空间向量运算的坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
M
B
3 ∴点 M的坐标是 2 , , 3 . 2
1 1 3 O OM (OA OB ) (3 , 3 ,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 4 4
15 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
d A, B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
（2）到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解：点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等，则
( x 3)2 ( y 3)2 ( z 1)2 ( x 1)2 ( y 0)2 ( z 5)2 ,
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
Homework:
P107：1
； / 奇迹私发网 ； 2019.1 ；
电量耗尽,原本183师有好几台发电机,奈何在惨烈的战争中纷纷丢失,或者干脆被炸烂烧毁. 二战中,无线电已经广泛用于战争.战争中的苏德双方,其中以德国人的应用技术更为先进,尤其是坦克部队,装甲团团长可以用无线电指挥全部的151辆坦克. 苏军在那方面做的就比较差,库兹涅佐夫离开 后,他们并没有留下电池.在和沼泽南部的苏军联络成功后,他们紧急转移,留给留在沼泽地的仅仅是三部电台. 那个时代蓄电池的技术并不高,电量储备也十分有限. 没有了无线电,大家仿佛是被抛弃了似的,耶夫洛夫没有办法,只能寄希望于别列科夫想点新点子. 李小克想了想,忽然灵机一动： "耶夫洛夫,沼泽外面的它些卡车,都是电打火的吗?" "当然是的,它些ZIS-5卡车性能优良.你是说用卡车的电池代替电台的?" "或许是可以的."李小克冷静的说道,"我估计两种电池的规格必然不同,因此为了调节成电台可以用的电压,我们除非制作出一台变压器." 制作变压器?耶夫洛夫对那个 不太懂?"或许我们应该请来专业的电子专家来?难道你自己可以完成?还是说你就是一名专家?" 李小克只是笑笑,会议结束后他将电池拿走了,并命令拆卸汽车,尽快将汽车的电池抠出来送进沼泽. 实际上,用汽车电池凑合实在是无奈之举.李小克不知道,那个年代在中国的土八路是怎么解决电台 能源问题的,估计是汽油发电机或者是人力的手摇发电机. 如果说采取人力为电台发电,理论上就鲶鱼村的现状,或许是可行的.他注意到了村民的自行车,那个或许进行一次大规模的改装,便能制作出靠谱的人力发电机. 借了村民的铁锅,它一家表示不必归还了. 傍晚,李桃就用那个熬煮一锅鱼 汤.捕捞的鲶鱼切成段,搭配洋白菜,撒上盐巴就足够了.香气吸引了不少人,那些战士只是闻闻,他们断不会抢长官的美餐.[看本书最新章节请到见到长官归来,一个个敬礼. "你们都回去吧."李小克摆摆手. 李桃察觉到丈夫似乎有心事,他皱着眉头手里还拿着一块白乎乎的东西. "来来,喝点鱼汤 吧,我做的很美味." 李小克一直想着电池的事,坐在充当凳子的木桩上,手里抱着电池,食物的美味甚至引不起注意,只要李桃吭吭两声. "哦！刚刚你说啥?" "你还真是的,抱着白疙瘩,茶不思饭不想."李桃嘟嘟嘴. 她就像是家庭主妇它般,上午的训练结束后,回到住处就和几个战士继续把搭建好 的木屋继续修善.现在起码作为"林间小屋"非常合适.餐桌和灶台都在屋外,还得继续搭建房子造一处厨房才行,如今就先凑合着. 李桃递给丈夫一块面包."吃吧,你要研究也得吃饱肚子不是." 李小克笑了笑,电池放在桌子上. 两人共进晚餐,说实话,那丫头做的饭还真不错.到底也是农家女孩,比 起下个世纪的姑娘,她真的很贤惠."呐,小桃,你的肩膀现在还酸痛不." "没事儿,酸一点而已.如果真的受不了了,我估计它时候是连做饭的功夫都没有." "好吧,你也要照顾自己,以后还会有射击训练." 吃罢了饭,李小克还在为电池的事发愁,夜里士兵点燃了一些篝火.鲶鱼村附近没有发电站,那 个时代,苏力绝大部分乡村是不通电的.农民还是沿用那日出而作日入而息的习惯生活,但是夜里,蜡烛和油灯道非常的普及. 村里的铁匠老伊万,自从军队进入沼泽地之后,他的工作异常繁忙.很多枪械需要修理,他的手艺用得上. 那天晚上,一位不速之客前来拜访.次日一张异域的脸,待人接物很 客气,彼此也是是朋友了."别列科夫,你那么晚过来了,是不是还想问我子弹壳的事?" 他的老婆拿来半瓶酒,她知道男人之间的聊天少不了喝一杯. "喀娅大妈,不必了,我那次来待不长."李小克摆摆手.他看到那个老家伙在修理DP机枪的弹盘,部分地方变形,老伊万只好用暴力的方法,把变形部位 敲回去.啪啪之声在屋里回响. "所以说,你那次来是问火药的事?"老伊万有些心不在焉的问道. "不,伊万大叔,我只是想问你,你那里有没有铜丝,还有硅钢片." 老伊万捋捋自己的大胡子,"你说你要啥?铜丝我有.硅钢片?硅钢?！" 说的太专业了,那个家伙恐怕也听不懂,李小克简单的表示,自己 要制作一台发电机,磁铁、线圈、硅钢片必须要有. 老伊万放下手头的活儿,"你跟着我去仓库看看吧,或许那个机器你能用一下." 仓库是一间木棚子,老伊万所言的机器,是一台报废了的柴油发电机.一看到那个,李小克大吃一惊,"你那么还有那个东西！" 老伊万端着烟斗,回忆起了多年前的事. 当初他把机器搬进村,只是单纯的想解决自家的电力问题而已.后来因为购买柴油太费钱,机器也就荒废了,时间一长干脆彻底报废掉. "我最后一次使用的时候柴油泄露,结果着火了.当我灭火后机器已经不能使用,听说你需要一台马达,它里面就有一个."老伊万指着机器,一边的李小克满脸笑颜. "好的,我们把它彻底拆掉就行了." 当天夜里李小克就在老伊万家里,所谓的坐一会儿就走也不可能了.他怕妻子独守家门寂寞,命士兵把李桃喊过来.妻子还是个孩子,教育她五花八门的知识非常有必要,同时她打个下手也不错. 最终,发电机被从整个机器中分离出来,李小克将转子拆了下来. " 磁生电,电生磁,我们现在就改变一下它的发电功率."李小克对着李桃如是说,那个她怎么听得懂,但是觉得丈夫好厉害. 李小克确实有那个能力,借助油灯昏暗的光芒,他在进行一堆物理计算,终究算出来应该缠绕的线圈长度.剩下的事就比较简单了,去除一部分硅钢片,那些硅钢用以制造变压器 的"铁芯".硅钢非常宝贵,所以必须物尽其用. 整个夜里,在老伊万家几个人忙乎着制造机器.那样的场景李桃想起了好几个月前,它时候丈夫就是研究武器到很晚. 经过一夜的奋战,李小克已经疲惫不堪,他和老伊万都有着匠人精神,研究起机器兴奋无比.李桃根本忍受不住,被女主人安排去休息, 新一天的军事训练也省却了. 付出了很大的心血,李小克觉得自己的计算没有问题.电动机和老伊万的自行车连在一起,自行车的后胎被拆掉,取而代之的是一根皮带套在轮毂上,皮带也连接了发动机.那样一个人骑着车子,就能转动转子,机器顺利发电. 至于变压器,硅钢片被老伊万加工了一下. 锰电池的铭文写的非常清楚,电台需要的工作电压不是它么的变态,目前只做的简易版变压器完全用得上. 是啊,机器非常的简易,变压器就是一堆线圈缠绕,铜丝没有附着绝缘体,只好简单粗暴的用布包裹铜丝.整体来看,机器一股傻大白粗的样子,但根据计算,它已经可以给电池充电. 李小克自 己是受不了了,大清早妻子倒是先睡醒. "小桃,给你个任务,骑在车子上用力蹬."李小克以为妻子是会骑车子的,那纯属想当然,李桃对自行车一头雾水,甚至有些害怕.她还是听从丈夫的命令,好在此刻的自行车已经被固定,她断然不会掉下来. 李小克打算先看看情况,电线全部链接上了,一边的 李桃已经努力踩脚踏板,电能正源源不断的输入进蓄电池. 耶夫洛夫和耶莲京娜,两人打着哈欠,他们没有在别列科夫的住处找到他,士兵告知长官,他们夫妻二人去铁匠它里了. 所以当那两位来到老伊万那儿,直接看到了他们的奇怪举动. 李小克带着白眼圈,精神非常不好,他做着象征胜利的手 势."耶夫洛夫,我想我已经成功了.那个是咱们的发电机和变压器,一会儿你把电池安装到电台尝试一下.我先去睡觉了." 耶莲京娜懂的更多,她自己不会造机器,却也看得出那个应该是一种充电装置."那个别列科夫,他真的是机械和电力的专家?耶夫洛夫,你知道他的过去么?" 耶夫洛夫耸耸肩： "谁知道呢?那个阿穆尔河它边的中国人,你与其问我,还不如问贝茜卡.你看,那姑娘还在奋力骑车子,估计你只有等她累了再问." Ps.追更的童鞋们,免费的赞赏票和起点币还有没有啊~515红包榜倒计时了,我来拉个票,求加码和赞赏票,最后冲一把！ ------------ 第五十六章 妹子们分拣子弹 壳 【最新播报】明天就是515,起点周年庆,福利最多的一天.除了礼包书包,那次的『515红包狂翻』肯定要看,红包哪有不抢的道理,定好闹钟昂~ 李桃也不知自己应该踩踏板到什么时候,直到她被耶夫洛夫抱下来. "贝茜卡,你已经够了,剩下的事由士兵来做." 李桃被耶莲京娜带走,作为内务人 民委员部的人,职业习惯,她决定好好"审问"一下那个中国姑娘. 关于李小克其人,李桃知道的也并不多. "你都不知道他从哪里来?你就稀里糊涂的嫁给他了?"耶莲京娜非常吃惊. 李桃一直没有多想,她只是觉得丈夫人很好罢了.自己从河畔发现了他,真心待他做同志,至于他的过往,知道和不知 道都没什么意义."他并不是间谍,也不是坏人.耶莲京娜即使你问我,我确实答不上来.总之他和我一样都是正直的中国人罢了." 问了等于白问,耶莲京娜耸耸肩,自个离开了. 李小克一觉醒来已经是下午,耶夫洛夫告诉了他振奋人心的消息,电台的指示灯亮了.那意味着,理论上部队可以和遥远地 方的友军联络上. 之前库兹涅佐夫令人做的大天线,那个无可厚非,铁匠老伊万可以轻松的重新做一个巨大天线,但是真的联络上很远地方的友军,电台必须增加功率. 切诺比在鲶鱼村东南方向大约五十公里处,它里有苏军驻扎,要联络到它里,电台必须提高功率.如果它样,电池的能量将迅速耗尽. 库兹涅佐夫离开有短时日了,但是苏军似乎把沼泽地的留守部队遗忘掉. 李小克估摸着："我们确实可以提高功率,那样电能将迅速耗尽,最好的办法还是派出侦查部队,直接向东南方向前进去报告我们的境况." "行,你只要肯定我们能用无线电联络就行了.电量耗尽,多让士兵充电即可." 比起那 个,另一件事,李小克觉得必须提上日程――即建立鲶鱼村自己的兵工厂.求书网 制造军火本来就是李小克的老本行,那里没有任何现代化的设备,有的只有一些简陋的工具,和有着知识技能的一些专业人士.耶夫洛夫什么也不反对,如果真的能自己制造武器,那样部队将能更好过. 李小克是一个 实干家,他发动村子里的妇女,一个个拿起工具奔向各家的厕所. 村里人有制作农家肥的习惯,肥料正是人畜的粪便,同时硝化细菌也是存在的.在厕所的墙壁,还有粪坑的底部,有着非常多的结晶体,那个便是李小克所希望的. 制硝,来自明斯克的化学家伊万诺夫,他的知识正好用于那化学工业,制 作出硝酸钾,其人声称没问题. 土法制硝,土八路的兵工厂无法制作无烟火药,制作白火药倒一点问题都没有.发动群众制作硝图,利用存在的硝化细菌大量制硝.那个过程需要大量堆硝土,那群村中的大妈很有爱国热情,仅仅是发布了号召,她们就行动起来. 伊万诺夫拍着胸脯表示："制造火药的 事包在我身上,你们大可放心.就是也得做好心理准备,用白火药代替无烟火药,子弹性能将受到极大影响." 那些李小克都懂得,一切都是特殊情况下的无奈之举.白火药的残留物多,枪膛内温度也是问题,枪管很容易过热.用白火药复装子弹,膛压较低,对敌人的远距离杀伤效果不好. 但子弹有比 没有强,那个伊万诺夫不仅仅声称自己可以利用现有资源制作白火药,包括底火的****也能制作,甚至苦味酸也能造出来. 一听还有苦味酸,李小克非常吃惊："硫酸、硝酸和苯酚你都能造?" 伊万诺夫没有更多的保证,苦味酸制作麻烦一些但不是造不出,还要有足够的时间就能慢慢制造,积少成多 罢了.为此,他强烈要求把自己的学生从民兵部队里拉回来,"我的孩子们已经在我身边学了不少.他们不应该拿起钢枪在第一线奋战,那样对于知识分子是一种催促.比起其他人,我的学生是我最好的助手,你想要的子弹复装没有他们万万不可." 李小克听懂了,次日,它些大难不死的年轻人从"明斯 克民兵营"分出来.部队在李小克的要求下紧急的成立了"兵工厂",在子弹复装开始之前,枪械的修善和抱养是兵工厂的工作.伊万诺夫就是那个部分的主任,他在少年营里挑选了几个男孩亲自教导,力求把他们培养成靠谱的工人. 子弹复装的问题,硫磺和硝石的问题都有解决的门路,木炭的制作, 村民大部分人自学成才. 火药的问题可以解决,接下来是检查子弹的状况. 并不是所有打完的子弹都能复装的,在复装子弹项目李小克要做全权负责人.士兵们调侃着,他们的长官又可以胜任"厂长"那个昵称了. 实际也确实如此,它些少年兵中的女兵统统被安排新的工作,甚至李桃也是如此. 新 的一天,村中的妇女们在制作硝土,那个由伊万诺夫监督.至于小女孩那边,李小克把她们集中在自家门口,十个姑娘一个个盘腿坐在草地上,在她们面前是好几麻袋的子弹弹壳. "那些都是莫辛纳甘的子弹,前日你们打靶使用过,现在我要你们把那些弹壳进行区分,所有有缺陷破损的弹壳一律挑出 来." 那些步枪弹清一色的铜质弹壳,苏力那边不缺铜,因此子弹复装是没有任何问题的.铜的延展性非常好,将破损弹壳分离出来,再把合格品的火帽拆下来,那便是女孩们的工作. 女性工人往往心思缜密,李小克实在担忧它群人高马大的士兵,他们恐怕不能胜任精细的活儿. 在工作之前,耶莲京 娜还为她们进行了一些动员."你们做的不仅仅是处理子弹壳,你们的工作正是支持部队打仗.我们的战士需要大量子弹,很快,你们参与制作的复装子弹将投入战场,你们现在的工作就是打击侵略者." 事情并没有她想的它么高大上,李小克耸耸肩,许诺道："你们好好工作,中午我会亲自做饭款待 你们." 说话间,李小克注意到娜塔莎那个姑娘,看起来她是颇为沉着的.那个姑娘确实看着顺眼孺子可教,所以她被分到和李桃一组."你们两个猎户家的女儿应该有些共同语言吧."李小克估摸着,女孩们的工作也迅速开始. 兵工厂虽土,制作武器确实没有问题.李小克个彻底没有利用价值的弹壳 想到了很好的归宿,它们可以制作一些土手榴弹,亦或者沾在现有武器上成为大量的破片杀伤敌人. 与此同时,老伊万的土高炉开火了,他在烧铁水,之后将铸造一些农具,还有一些子弹弹头. 条件所限,他无法生产铍铜的钢壳弹头,只能生产一些圆头铸铁弹.在1805年之前,沙皇军队的士兵大量使 用圆头弹,或许是因为日俄战争惨败的教训,帝国战争部开始研发尖头弹,成果一直延续到现在. 圆头铸铁弹穿透性非常糟糕,只能用于射击步兵,但也能造成�