2012年高考文科数学四川卷及答案

数学试卷 第1页（共18页）
数学试卷 第2页（共18页）
数学试卷 第3页（共18页）
绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学（文史类）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥,那么
球的表面积公式
(+)()()P A B P A P B =+
24πS R =
如果事件A 、B 相互独立,那么
其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 34
π3
V R =
在n 次重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k k
n k n n P k C p p k n -=-=…
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1. 设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则A B =
（ ）
A . {}b
B . {,,}b c d
C . {,,}a c d
D . {,,,}a b c d 2. 7
(1)x +的展开式中2
x 的系数是
（ ）
A . 21
B . 28
C . 35
D . 42
3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为
（ ）
A . 101
B . 808
C . 1 212
D . 2 012
4. 函数(0,1)x
y a a a a =->≠且的图象可能是 （ ）
A .
B .
C .
D .
5. 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连结EC 、ED ,则sin CED ∠=
（ ）
A .
B .
C .
D .
6. 下列命题正确的是
（ ）
A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B . 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C . 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D . 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
7. 设a 、b 都是非零向量.下列四个条件中,使||||=
a b
a b 成立的充分条件是 （ ）
A . ||||=a b 且∥a b
B . =-a b
C . ∥a b
D . 2=a b
8. 若变量,x y 满足约束条件3,
212,212,0,0,
x y x y x y x y --⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪⎪⎩≥≤≤≥≥则34z x y =+的最大值是
（ ）
A . 12
B . 26
C . 28
D . 33 9. 已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点
M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM =
（ ）
A .
B .
C . 4
D . 10. 如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于
点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P
两点间的球面距离为
（ ）
A .
R B . π4
R C . R D . π3
R
11. 方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,且,,a b c 互不相同.在所有这些方程所表
示的曲线中,不同的抛物线共有
（ ）
A . 28条
B . 32条
C . 36条
D . 48条 12. 设函数3()(3)1f x x x =-+-,{}n a 是公差不为0的等差数列,12()()f a f a ++⋅⋅⋅+
7()14f a =,则127a a a ++⋅⋅⋅+=
（ ）
A . 0
B . 7
C . 14
D . 21
--------在
--------------------此
--------------------卷
--------------------
上
--------------------答
--------------------题
--------------------无
--------------------
效--------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共18页）
数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.
函数()f x =的定义域是_________.（用区间表示）
14. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是棱CD 、1CC 的中点,则异面直线
1A M 与DN 所成的角的大小是_________.
15. 椭圆22
215
x y a +=（a 为定值,
且a >）
的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,FAB ∆的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_________. 16. 设,a b 为正实数.现有下列命题：
①若221a b -=,则1a b -<；
②若11
1
-=
,则1a b -<；
③若1=,则||1a b -<；
④若3
3
||1a b -=,则||1a b -<.
其中的真命题有_________.（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为
1
10
和p . （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49
50
,求p 的值；
（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
18.（本小题满分12分）
已知函数2
1
()cos sin cos 2222
x x x f x
=--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若()f α=,求sin2α的值.
19.（本小题满分12分）
如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,点P 在平面
ABC 内的射影O 在AB 上.
（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小.
20.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,常数0λ>,且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设10a >,100λ=.当n 为何值时,数列1
{lg
}n
a 的前n 项和最大？
21.（本小题满分12分）
如图,动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成MAB ∆,且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q 、R ,且
||||PQ PR <,求
||
||
PR PQ 的取值范围.
22.（本小题满分14分）
已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线2
2
n
a y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()
f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.
（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；
（Ⅱ）求对所有n 都有()1()11f n n
f n n -++≥
成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a ＜＜时,比较
111
(1)(2)(2)(4)()(2)
f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+
---与(1)(1)
6(0)(1)
f f n f f -+⋅
-的大小,并说明理由.
数学试卷 第7页（共18页）
数学试卷 第8页（共18页）
数学试卷 第9页（共18页）
2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文史类）
答案解析
{A
B a b =，【提示】由题意，集合{A = 【解析】||1AE =，正方形的边长也为2|||AE +||||ED CED ED E
C =用余弦定理在CE
D △中用正弦定理直接求正弦。

||||
a b
a b =成立，则a 与b 方向相同，选项中只有【提示】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的M 在抛物线上，M
∴到焦p 解得：以O 为原点22
4
A O P O R =2R ⎫⎪⎪⎭，12P R ⎛ ⎝2arccos 4
R 【提示】由题意建立直角坐标系，然后求出。