(人教版)九年级数学上册课件：24.2.3直线和圆的位置关
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1、圆和直线的位置关系
r o d l
r o d l
r o d
l
（1）直线l 和⊙O相 离 （2）直线l 和⊙O相切
（3）直线l 和⊙O相交 2、圆的切线判定与性质
d>r d=r d<r
经过半径的外端并且垂直于 切线的判定定理：
这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径
24.2.2 直线和圆的位置关系 （第3课时）
B F O D E C
A
练习 ``
1.如图， △ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=75°，点O是内心， 求∠BOC的度数.
1 解 ：∠BOC=180°－ （∠ABC + ∠ACB） 2
1 =180°－ （50°+75°） 2
=117.5°
B
A
O
·
C
2.△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的 面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
A
N
I r
M
B
D
C
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. 三角形的内心到三角形的三边距离相等
例题
活 动 四
例1: 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、 F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设 AF=x cm，则 AE=xcm， CD=CE=AC－AE=13－x， BD=BF=AB－AF=9－x，
A A
l
B C B
·
C
假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相 切，这个圆的圆心到三角形各边的距离都等于半径，如何找到圆心？
A
B
C
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相 等，因此，如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设它们相交 于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到 BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.
解：
设AB = c，BC = a，AC = b.
则
1 S AOB cr S 2
ABC
1 BOC ar S 2
BOC
1 AOC br. 2
AOC
M r A
S
S
AOB
S
S
1 r (a b c) 2 1 lr. 2
O
r B
·
D
r
N
C
填空题： 1．如图⑴，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C、D在⊙O上. ⑴若∠C=50°，则∠ AOB=__,∠D =__,∠ P___. ⑵若∠ AOB=130°，则∠ C=___ ，∠D =_____,∠ P___. 2．如图⑵，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点。 ⑴若∠A=70°，则∠EDF的度数是________； ⑵若∠EDF=50°，则∠A的度数是___。 3．如图⑶，点O是△ABC的内心。 (1)若∠A=70°，则∠BOC的度数是________； ⑵若∠BOC=130°，则∠A的度数是_____。 4．如图⑷，在△ABC，若∠C=90°，点O是内心，则∠AOB的度 数是_________。
（二）解答题： 1．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点， ⊙O的半径r=4，AB=10，BC=14，AC=12。 求△ABC的面积
2．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点， ∠C=90°，若AB=12，BC=5， 求⊙O的半径
3．如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC 是⊙O的直径∠BAC=20° 求：∠APB的度数
活 动 一
切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
A P
O
·
B
经过⊙O外一点P能否做 出⊙O的另外一条切线？
经过圆外一点可以画出圆的两条切线
探究
活动二
如图纸上有一⊙O，PA为⊙O的切线，沿着直线PO将纸对折 ，设圆 上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？ 利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO的关系？
PA，PB是⊙O的两条切线,
∴OA⊥AP ，OB⊥BP. 又 OA=OB， OP=OP, ∴ Rt△AOP≌Rt△BOP.
P A
O· B
∴ PA=PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
4．如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径。 求证：OP∥BC
5．已知△ABC。 求作：⊙O，使⊙O和△ABC的各边都相切。（保留作图痕迹）
1、学习收获 （1）切线长： （2）切线长定理： （3）内切圆： （4）内心： 2、学习中的困惑
由BD+CD=BC可得
（9－x） +（13－x）=14.
解得 x=4. 因此 AF=4cm，
BD=5 cm， CE=9 cm. B F
A E Oຫໍສະໝຸດ Baidu
·
D C
例2：如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6． 求内切圆的半径r． 解： ∵ ⊙O是△ABC的内切圆 ∴AE=AF,BF=BD,CE=CD OE=OD=OF ∵ AE=1，CD=2，BF=3 ∴AB=4，BC=5，AC=3
基础题：
1.⊙O为边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____
2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径1cm 22cm 则此三角形的周长是_______.
G E
F H
活 动 三
下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的 用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
r o d l
r o d l
r o d
l
（1）直线l 和⊙O相 离 （2）直线l 和⊙O相切
（3）直线l 和⊙O相交 2、圆的切线判定与性质
d>r d=r d<r
经过半径的外端并且垂直于 切线的判定定理：
这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径
24.2.2 直线和圆的位置关系 （第3课时）
B F O D E C
A
练习 ``
1.如图， △ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=75°，点O是内心， 求∠BOC的度数.
1 解 ：∠BOC=180°－ （∠ABC + ∠ACB） 2
1 =180°－ （50°+75°） 2
=117.5°
B
A
O
·
C
2.△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的 面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
A
N
I r
M
B
D
C
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. 三角形的内心到三角形的三边距离相等
例题
活 动 四
例1: 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、 F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设 AF=x cm，则 AE=xcm， CD=CE=AC－AE=13－x， BD=BF=AB－AF=9－x，
A A
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B C B
·
C
假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相 切，这个圆的圆心到三角形各边的距离都等于半径，如何找到圆心？
A
B
C
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相 等，因此，如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设它们相交 于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到 BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.
解：
设AB = c，BC = a，AC = b.
则
1 S AOB cr S 2
ABC
1 BOC ar S 2
BOC
1 AOC br. 2
AOC
M r A
S
S
AOB
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S
1 r (a b c) 2 1 lr. 2
O
r B
·
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N
C
填空题： 1．如图⑴，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C、D在⊙O上. ⑴若∠C=50°，则∠ AOB=__,∠D =__,∠ P___. ⑵若∠ AOB=130°，则∠ C=___ ，∠D =_____,∠ P___. 2．如图⑵，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点。 ⑴若∠A=70°，则∠EDF的度数是________； ⑵若∠EDF=50°，则∠A的度数是___。 3．如图⑶，点O是△ABC的内心。 (1)若∠A=70°，则∠BOC的度数是________； ⑵若∠BOC=130°，则∠A的度数是_____。 4．如图⑷，在△ABC，若∠C=90°，点O是内心，则∠AOB的度 数是_________。
（二）解答题： 1．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点， ⊙O的半径r=4，AB=10，BC=14，AC=12。 求△ABC的面积
2．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点， ∠C=90°，若AB=12，BC=5， 求⊙O的半径
3．如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC 是⊙O的直径∠BAC=20° 求：∠APB的度数
活 动 一
切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
A P
O
·
B
经过⊙O外一点P能否做 出⊙O的另外一条切线？
经过圆外一点可以画出圆的两条切线
探究
活动二
如图纸上有一⊙O，PA为⊙O的切线，沿着直线PO将纸对折 ，设圆 上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？ 利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO的关系？
PA，PB是⊙O的两条切线,
∴OA⊥AP ，OB⊥BP. 又 OA=OB， OP=OP, ∴ Rt△AOP≌Rt△BOP.
P A
O· B
∴ PA=PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
4．如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径。 求证：OP∥BC
5．已知△ABC。 求作：⊙O，使⊙O和△ABC的各边都相切。（保留作图痕迹）
1、学习收获 （1）切线长： （2）切线长定理： （3）内切圆： （4）内心： 2、学习中的困惑
由BD+CD=BC可得
（9－x） +（13－x）=14.
解得 x=4. 因此 AF=4cm，
BD=5 cm， CE=9 cm. B F
A E Oຫໍສະໝຸດ Baidu
·
D C
例2：如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6． 求内切圆的半径r． 解： ∵ ⊙O是△ABC的内切圆 ∴AE=AF,BF=BD,CE=CD OE=OD=OF ∵ AE=1，CD=2，BF=3 ∴AB=4，BC=5，AC=3
基础题：
1.⊙O为边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____
2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径1cm 22cm 则此三角形的周长是_______.
G E
F H
活 动 三
下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的 用料，并且使圆的面积尽可能大呢？