人教新课标版数学高一-必修一1.3.1函数 的单调性(第1课时)

§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数的单调性
一般地，设函数f (x )的定义域为I ：
(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__________．
(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__________．
(3)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是________或________，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有________________，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．
2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________．
3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数．
4．函数y ＝1x
的单调递减区间为__________________．
一、选择题
1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题：
①f (0)＝1；
②f (－1)＝1；
③若x >0，则f (x )<0；
④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是( )
A ．②③
B ．①④
C ．②④
D ．①③
2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则有( )
A ．f (x 1)<f (x 2)
B ．f (x 1)＝f (x 2)
C ．f (x 1)>f (x 2)
D ．以上都可能
3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )
A ．至少有一个根
B ．至多有一个根
C ．无实根
D ．必有唯一的实根
4．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )
A ．递减函数
B ．递增函数
C ．先递减再递增
D ．先递增再递减
5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )
A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0
C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )
D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)
>0 6．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( )
A ．(－∞，－3]
B ．(－∞，－1]
C ．[1，＋∞)
D ．[－3，－1]
二、填空题
7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是______________．
8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.
三、解答题
9．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，
求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.
(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f (x )＝1x
在(－∞，0)和(0， ＋∞)上都是减函数，但不能说函数f (x )＝1x
在定义域上是减函数． 3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f (x )>0，则判断f (x )的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
知识梳理
1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．B
2．A [由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，对应的f (x 2)>f (x 1)．]
3．D [∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，
∴①当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0，
②当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，
由①②知f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．]
4．C [如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]
5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可能有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．]
6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]
7．m >0
解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0.
8．－3
解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 2
8
， 由题意m 4
＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0). 函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明设a<x1<x2<b，
∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)<g(x2)，
且a<g(x1)<g(x2)<b，又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))<f(g(x2))，
∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
11．解函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1
＝
x22－x21
x22－1＋x21－1
＝
(x2－x1)(x2＋x1)
x22－1＋x21－1
.
∵1≤x1<x2，
∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x21－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．12．解(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1<x2.
在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1. 在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，
令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1.
当x >0时，0<f (x )< 1，所以f (－x )＝1f (x )
>1>0， 又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， 即f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )在R 上单调递减．
13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.
(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2≥2m －2>0
，解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。