中考数学压轴题100题精选-中考数学压轴题100题及答案
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中考数学压轴题100题精选
【001
】如图,已知抛物线2
(1)y a x =-+a≠0)经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过
O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC .
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为
()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.
【002】如图16,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB -BC -CP 于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与
t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)
(3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成
为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由; (4)当DE 经过点C 时,请直接..
写出t 的值.
【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)、D (8,8).抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.
(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P 从点A 出发.沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发,沿线段CD
向终点D 运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,①过点E 作EF ⊥AD 于点F ,交抛物线于点G.当t 为何值时,线段EG 最长?
图16
②连接EQ .在点P 、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
【004】如图,已知直线128
:33
l y x =
+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与
点B 重合.
(1)求ABC △的面积;
(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;
(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移, 设移动时间为(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关
t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围.
A D
B E O
C F x
y
1
l 2l
(G ) (第26题)
【005】如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 是AB 的中点,过点E 作EF BC ∥交CD 于点F .46AB BC ==,,60B =︒∠. (1)求点E 到BC 的距离;
(2)点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ,过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时(如图2),PMN △的形状是否发生改变?若不变,求出PMN △的周长;若改变,请说明理由;
②当点N 在线段DC 上时(如图3),是否存在点P ,使PMN △为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由.
A D E B
F C
C
A D E B
F C
图1 A D
E
B
F C P
N
M
3 A D E
B
F
C
P
N
M (第
【006】如图13,二次函数)0(2
<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为
4
5。
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴的垂线,若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点,求m
的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形?若存在,求出点D
的坐标;若不存在,请说明理由。
【007】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1)求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
【009】一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ,与反比例函数k
y x
=
的图象相交于点,A B .过点A 分别作AC x ⊥轴,AE y ⊥轴,垂足分别为,C E ;过点B 分别作BF x ⊥轴,
BD y ⊥轴,垂足分别为F D ,,AC 与BD 交于点K ,连接CD .
(1)若点A B ,在反比例函数k
y x
=的图象的同一分支上,如图1,试证明: ①AEDK CFBK S S =四边形四边形; ②AN BM =.
(2)若点A B ,分别在反比例函数k
y x
=的图象的不同分支上,如图2,则AN 与BM 还相等吗?试证明你的结论.
【010】如图,抛物线2
3y ax bx =+-与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于C 点,且经过点(23)a -,
,对称轴是直线1x =,顶点是M .
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点P
,使以点
)
P A C N ,,,为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理
由;
(3)设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ,在线段BD 上任取一点E (不与B D ,重合),经过
A B E ,,三点的圆交直线BC 于点F ,试判断AEF △的形状,并说明理由;
(4)当E 是直线3y x =-+上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).
【011】已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .
(1)求证:EG =CG ;
(2)将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
【012】如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为1的圆的圆心O
在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点.抛物线2
y ax bx c =++与y 轴交于点D ,与直线y x =交于点M N 、,且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C . (1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长. (3)过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P 是否在抛物线上,说明理由.
D 第24题图①
D E
第24题图②
第24题图③
【013】如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;
(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,使得DCA △的面积最大,求出点D 的坐标.
【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上,点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转,当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交直线y x =于点M ,BC 边交x 轴于点N (如图). (1)求边OA 在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN 和AC 平行时,求正方形 OABC 旋转的度数;
(3)设MBN ∆的周长为p ,在旋转正方形OABC 的过程中,p 值是否有变化?请证明你的结论.
(第26题)
x
7),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得【015】如图,二次函数的图象经过点D(0,3
9
的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【016】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ,. (1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ,,求m 的值和这个一次函数的解析式;
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E
形O ABD 的面积S 满足:12
3
S S ?若存在,求点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.
【017】如图,已知抛物线2
y x bx c =++经过(10)A ,,(02)B ,两点,顶点为D . (1)求抛物线的解析式;
(2)将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后,点B 落到点C 的位置,将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y 轴的交点为1B ,顶点为1D ,若点N 在平移后的抛物线上,且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍,求点N 的坐标.
【018】如图,抛物线2
4y ax bx a =+-经过(10)A -,、(04)C ,两点,与x 轴交于另一点B . (1)求抛物线的解析式;
(2)已知点(1)D m m +,在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标;
(第26题)
(3)在(2)的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点,且45DBP ∠=°,求点P 的坐标.
【019】如图所示,将矩形OABC 沿AE 折叠,使点O 恰好落在BC 上F 处,以CF 为边作正方形
CFGH ,延长BC 至M ,使CM =|CF —EO |,再以CM 、CO 为边作矩形CMNO (1)试比较EO 、EC 的大小,并说明理由 (2)令;四边形四边形CNMN CFGH
S S m =
,请问m 是否为定值?若是,请求出m 的值;若不是,请说明理由
(3)在(2)的条件下,若CO =1,CE =
31,Q 为AE 上一点且QF =3
2
,抛物线y =mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点,请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下,若抛物线y =mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ,试问在直线BC 上是否存在点K ,
使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在,请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在,请说明理由。
【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。
(画图不写作法)
(3)若AC=42,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。
【021】如图,点P 是双曲线11(00)k y k x x
=
<<,上一动点,过点P 作x 轴、y 轴的垂线,分别
交x 轴、y 轴于A 、B 两点,交双曲线y =
x
k 2
(0<k 2<|k 1|)于E 、F 两点. (1)图1中,四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示); (2)图2中,设P 点坐标为(-4,3).
①判断EF 与AB 的位置关系,并证明你的结论;
②记2PEF OEF S S S ∆∆=-,S 2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。
【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【023】如图,在梯形ABCD 中,24AD BC AD BC ==∥,,,点M 是AD 的中点,MBC △是等边三角形.
(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形;
(2)动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且60MPQ =︒∠保持不变.设PC x MQ y ==,,
求y 与x 的函数关系式;
(3)在(2)中:①当动点P 、Q 运动到何处时,以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;②当y 取最小值时,判断
PQC △的形状,并说明理由.
A
D
C
B P M
Q
60°
【024】如图,已知ABC ∆为直角三角形,90ACB ∠=︒,AC BC =,点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )(0m >),线段AB 与y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶点的抛物线过点B 、D .
(1)求点A 的坐标(用m 表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结 BQ 并延长交AC 于点F ,试证明:()FC AC EC +为定值.
【025】如图12,直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点,点M 是线段AB 上任意一点(A 、B 两点除外),过M 分别作MC ⊥OA 于点C ,MD ⊥OB 于D .
(1)当点M 在AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由;
(2)当点M 运动到什么位置时,四边形OCMD 的面积有最大值?最大值是多少?
(3)当四边形OCMD 为正方形时,将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动,设平移的距离为)40<<a a (,正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S .试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象.
【026】如图11,在△ABC 中,∠C =90°,BC =8,AC =6,另有一直角梯形
DEFH
图12(1)
图12(2)
图12(3)
(HF ∥DE ,∠HDE =90°)的底边DE 落在CB 上,腰DH
落在CA 上,且DE =4,∠DEF =∠CBA ,AH ∶AC =2∶3
(1)延长HF 交AB 于G ,求△AHG 的面积.
(2)操作:固定△ABC ,将直角梯形DEFH 以每秒1个
单位的速度沿CB 方向向右移动,直到点D 与点B
重合时停止,设运动的时间为t 秒,运动后的直角梯
形为DEFH ′(如图12).
探究1:在运动中,四边形CDH′H 能否为正方形?若能,
请求出此时t 的值;若不能,请说明理由.
探究2:在运动过程中,△ABC 与直角梯形DEFH′重叠
部分的面积为y ,求y 与t 的函数关系.
【027】阅读材料:
如图12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间
的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ah S ABC 2
1=
∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .
(1)求抛物线和直线AB 的解析式;
(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ;
(3)是否存在一点P ,使S △P AB =8
9S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
【028】如图,已知抛物线与x 交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y 轴交于点B(0,3)。
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积;
(3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
图12-2
x C O
y A B D 1 1
【029】已知二次函数22-++=a ax x y 。
(1)求证:不论a 为何实数,此函数图象与x 轴总有两个交点。
(2)设a<0,当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时,求出此二次函数的解析式。
(3)若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点,在函数图象上是否存在点P ,使得△PAB 的面积为
2
133,若存在求出P 点坐标,若不存在请说明理由。
【030】如图,已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ,和点(04)E ,.动点C 从点(50)M ,出发,以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动,与此同时,动点P 从点D 出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动.设运动时间为t 秒.
(1)请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标;
(2)以点C 为圆心、12
t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),连接P A 、PB . ①当C ⊙与射线DE 有公共点时,求t 的取值范围; ②当PAB △为等腰三角形时,求t 的值.
【031】已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图,C ,D 两点的坐标分别为(4,0),(0,3).
现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发,点P 沿线段AD 向终点D 运动,点Q 沿折线CBA
向终点A 运动,设运动时间为t 秒.
(1)填空:菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE 的长是 ▲ ;
(2)探究下列问题:
①若点P 的速度为每秒1个单位,点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时,求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式,以及S 的最大值;
②若点P 的速度为每秒1个单位,点Q 的速度变为每秒k 个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值,使得△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形,并求出k 的值。
O x
y
A B
C D
E
【032】如图,已知A、B是线段MN上的两点,4
MN,1
=
>
MB.以A为中心顺时针旋
MA,1
=
转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设x
AB=.(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
【033】已知抛物线22y x x a =-+(0a <)与y 轴相交于点A ,顶点为M .直线12
y x a =
-分别与x 轴,y 轴相交于B C ,两点,并且与直线AM 相交于点N .
(1)填空:试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则()()M N , , , ;
(2)如图,将NAC △沿y 轴翻折,若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上,AN ′与x 轴交于点D ,连结CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积;
(3)在抛物线22y x x a =-+(0a <)上是否存在一点P ,使得以P A C N ,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,试说明理由.
【034】若P 为ABC △所在平面上一点,且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°,则点P 叫做ABC △的费马点.
第(2)题
备用图 (第24题)
(1)若点P 为锐角ABC △的费马点,且60ABC PA PC ∠===°,3,4,则PB 的值为________;
(2)如图,在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′.
求证:BB ′过ABC △的费马点P ,且BB ′=PA PB PC ++.
【035】如图①,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为(0,10),(8,4),
点C 在第一象限.动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动, 同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为t 秒.
(1)当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度;
(2)求正方形边长及顶点C 的坐标;
(3)在(1)中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标;
(4)如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相
等,若能,写出所有符合条件的t 的值;若不能,请说明理由.
B ' 第(25)题
【036】已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =2,OC =3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E .
(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为
6
5
,那么EF =2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
26题图
y x
D
B
C
A E
O
【037】已知平行于x 轴的直线)0(≠=a a y 与函数x y =和函数x
y 1
=的图像分别交于点A 和点B ,又有定点P (2,0) . (1)若0>a ,且tan ∠POB=
9
1
,求线段AB 的长; (2)在过A ,B 两点且顶点在直线x y =上的抛物线中,已知线段AB=3
8
,且在它的对称轴左边时,y 随着x 的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式; (3)已知经过A ,B ,P 三点的抛物线,平移后能得到2
5
9x y =的图像,求点P 到直线AB 的距离。
【038】如图1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(-8,0),直线BC 经过点B (-8,6),将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′,此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC 相交于P 、Q . (1)四边形的形状是 ,
当α=90°时,
BP
PQ
的值是 . (2)①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y 轴正半轴上时,求
BP
PQ
的值; ②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC 上时,求ΔOPB′的面积.
(3)在四边形OABC 旋转过程中,当0
0180α<≤时,是否存在这样的点P 和点Q ,使BP=1
2
BQ ?若存在,请直接写出点P 的坐标;基不存在,请说明理由.
【039】如图,已知点A (-4,8)和点B (2,n )在抛物线2y ax =上.
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +QB 最短,求
出点Q 的坐标;
(2) 平移抛物线2y ax =,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,点C (-2,0)和点
D (-4,0)是x 轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C +CB ′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短?若
存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
【040】△ABC 与△C B A '''是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形,M 、N 分别是直角边AC 、BC 的中点。
△ABC 位置固定,△C B A '''按如图叠放,使斜边B A ''在直线MN 上,顶点B '与点M 重合。
等腰直角△C B A '''以1厘米/秒的速度沿直线MN 向右平移,直到点A '与点N 重合。
(第24题)
设x 秒时,△C B A '''与△ABC 重叠部分面积为y 平方厘米。
(1)当△C B A '''与△ABC 重叠部分面积为22
3
平方厘米时,求△C B A '''移动的时间; (2)求y 与x 的函数关系式;
(3)求△C B A '''与△ABC 重叠部分面积的最大值。
备用图
备用图
【041】某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地,出租车比公共汽车多往返一趟,如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y (单位:千米)与所用时间
x (单位:小时)的函数图象.已知公共汽车比出租车晚1小时出发,到达石河子市后休息2小时,
然后按原路原速返回,结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时.
(1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y (千米)与所用时间x (小时)的函数图象. (2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)
(3)求两车最后一次相遇时,距乌鲁木齐市的路程.
【042】如图9,在矩形OABC 中,已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ,、
,,D 为OA 的中点.设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点(不与点O 重合).
(1)试证明:无论点P 运动到何处,PC 总与PD 相等;
(2)当点P 运动到与点B 的距离最小时,试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式;
(3)设点E 是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P 运动到何处时,PDE △的周长最小?求出此时点P 的坐标和PDE △的周长;
(4)设点N 是矩形OABC 的对称中心,是否存在点P ,使90CPN ∠=°?若存在,请直接写
y (千米)
x (小时)
150 100 50
-1 1
2
3 4 5 6 7
8
出点P 的坐标.
【043】已知函数2
12y x y x bx c αβ==++,,,为方程120y y -=的两个根,点()1M T ,在函
数2y 的图象上. (Ⅰ)若1
1
32
αβ==
,,求函数2y 的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ,,当ABM △的面积为112
时,求t 的值;
(Ⅲ)若01αβ<<<,当01t <<时,试确定T αβ,,三者之间的大小关系,并说明理由.
C 图9
【044】如图9,已知抛物线y=1
2
x2–2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂
直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,连结O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.
(1) 求直线l的函数解析式;
(2) 求点D的坐标;
(3) 抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC= S△DPB? 若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图9
【045】如图,已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0)。
⑴求该抛物线的解析式;
⑵动点P 在轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标P 。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最大,求出点M 的坐标。
【046】如图,已知直线128
:33
l y x =
+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与
点B 重合.
(1)求ABC △的面积;
(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;
(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时
间为(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围.
A D
B E O
C F x
y
1
l 2l
(G )
【047】如图(1),将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C ,D 重合),压平后得到折痕MN .当
12
CE CD =时,求AM
BN 的值.
类比归纳
在图(1)中,若
13CE CD =,则AM BN 的值等于 ;若14CE CD =,
则AM
BN 的值等于 ;若1CE CD n
=(n 为整数)
,则AM
BN 的值等于 .(用含n 的式子表示) 联系拓广
如图(2),将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C D ,重合),压平后得到折痕MN ,设()111AB CE m BC m CD n
=>=,,
则AM
BN 的值等于 .(用含m n ,的式子表示)
【048】如图11,抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 右侧),过点A 的直线交抛物线于另一点C ,点C 的坐标为(-2,6).
(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式;
方法指导:
为了求得AM BN 的值,可先求BN 、AM 的长,不妨设:AB =2
图(2)
N
A
B
C
D E
F
M
图(1)
A B
C
D
E
F
M
N
(2)P 是线段AC 上一动点,过点P 作y 轴的平行线,交抛物线于点M ,交x 轴于点N. ①求线段PM 长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点M ,使得△CMP 与△APN 相似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由。
【049】已知:抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-,
与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于点C ,其中()30A -,、()02C -,.
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得PBC △的周长最小.请求出点P 的坐标. (3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E .连接PD 、PE .设CD 的长为m ,PDE △的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
【050】如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,6cm AD =,4cm CD =,10cm BC BD ==,点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动,速度为1cm/s ;同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s ,交BD 于Q ,连接PE .若设运动时间为t (s )(05t <<).解答下列问题: (1)当t 为何值时,PE AB ∥?
(2)设PEQ △的面积为y (cm 2),求y 与t 之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t ,使2
25
PEQ BCD S S =△△?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由.
(4)连接PF ,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.
F
2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)
【051】如图14(1),抛物线2
2y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,3-).[图14(2)、图14(3)为解答备用图]
(1)k = ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ; (2)设抛物线2
2y x x k =-+的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积;
(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ,使四边形ABDC 的面积最大?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线22y x x k =-+上求点Q ,使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形.
图14(1) 图14(2) 图14(3)
【052】已知二次函数2
y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过点(10)A ,,(20)B ,,(02)C -,,直线x m =(2m >)与x 轴交于点D . (1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x m =(2m >)上有一点E (点E 在第四象限),使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形?若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.。