不定积分计算方法的归纳小结

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㊀不定积分计算方法的归纳小结不定积分计算方法的归纳小结Һ栾金凤㊀（内蒙古体育职业学院，内蒙古呼和浩特㊀０１００００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ不定积分的计算是积分学内容常用的基本工具．除了多做题以外，如何方便快捷地提升学生计算不定积分的能力呢？这是一线教师，教材编写工作者，以及各类参考书编写工作者一直思考的问题．为此，本文提出了计算不定积分的结论１㊁结论２㊁结论３㊁结论４和结论５．这些结论不仅通俗易懂，而且方便记忆，并且每个结论对应一个典型的例子．笔者希望本文对学生解题水平能力的提升和一线教师的教学工作有所帮助．
ʌ关键词ɔ高等数学；不定积分；被积函数；原函数
以函数作为主要研究对象的高等数学课程是大部分高等院校的必修基础课程之一，也是多数报考理工科专业的考研学生必考的学科．高等数学建立在初等数学的基础上，首先研究函数的极限，计算极限的方法，然后应用极限先后分别给函数的连续性㊁间断点㊁函数的导数㊁微分和积分下了定义和推导出了它们的性质㊁计算公式和定理．在某区间上定义的连续函数一定存在原函数，不定积分只是积分学中寻找原函数的一种常用的主要工具．计算不定积分最简便快捷的方法是使用计算机的数学软件，如ＭＡＴＬＡＢ数学软件㊁ｍａｐｌｅ数学软件㊁ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ数学软件等，学生只需懂得数学软件的命令程序，便能很快且准确地计算出被积函数所对应的原函数．然而，从实际情况出发，一方面学生往往面临的是考试，另一方面一线教师往往面临的是板书（或ＰＰＴ）教学，他们只能用手算．另外，学生只有很好地掌握了不定积分的计算技巧和方法才能计算出原函数，才能掌握后续应用牛顿 莱布尼茨公式求定积分㊁二重积分㊁三重积分㊁两类曲线积分和两类曲面积分的方法．可见，不定积分是积分学的常用的基本工具．然而，不定积分的被积函数的表达式多种多样，课本上通常会介绍第一类换元法，第二类换元法，分部积分法，有理函数积分法，积分表的使用等．总之，由于被积函数种类多，计算不定积分的方法不确定，因此，初学者做不定积分题时往往会出现以下的问题：当看到被积函数时，不知用什么方法，无从下手；计算不定积分时，起初方法不对，这样不仅导致运算烦琐，计算量增大，而且还得不出原函数．解决这些问题，只靠盲目做题显然是行不通的，目前归纳总结是最有效的办法．笔者根据多年的教学经验，以结论的形式提出五个通俗易懂㊁简明扼要的求解不定积分题的归纳小结方法，与同行分享．
结论１㊀当被积函数表达式中含有ｘ，３ｘ等无理式时，通常首先进行变量代换，把无理式变成有理式，然后进行积分运算
例１㊀计算不定积分ʏｄｘ（ｘ＋３ｘ）ｘ．
解题分析㊀被积函数中不仅含有ｘ，而且含有３ｘ，令ｘ＝ｔ３，则３ｘ＝ｔ２，此时可以把两个无理式变成有理式．
解㊀令ｘ＝ｔ６（ｔ＞０），则ｄｘ＝６ｔ５ｄｔ．
ʏｄｘ（ｘ＋３ｘ）ｘ
＝ʏ６ｔ５ｄｔ（ｔ３＋ｔ２）ｔ３
＝６ʏｄｔｔ＋１＝６ｌｎ（ｔ＋１）＋Ｃ
（由于ｘ＝ｔ６，因此把ｔ＝６ｘ代入上式）
＝６ｌｎ（６ｘ＋１）＋Ｃ．
除此之外，如果被积函数中含有ａ２－ｘ２，那么可作变量代换ｘ＝ａｓｉｎｔ去掉根号；如果被积函数中含有ｘ２＋ａ２，那么可作变量代换ｘ＝ａｔａｎｔ去掉根号；如果被积函数中含有ｘ２－ａ２，那么可作变量代换ｘ＝ａｓｅｃｔ去掉根号．这些总结在多数高等数学课本中出现过，这里就不再赘述．结论２㊀当被积函数表达式为基本初等函数乘积时用分部积分法
例２㊀计算不定积分ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ（ａʂ０）．
解题分析㊀被积函数是指数函数ｅａｘ和正弦函数ｓｉｎｂｘ的乘积，因此用分部积分法．
解㊀ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ
＝１ａʏｓｉｎｂｘｄｅａｘ
（首先，用一次分部积分法）
＝１ａｅａｘｓｉｎｂｘ－ｂａʏｅａｘｃｏｓｂｘｄｘ
＝１ａｅａｘｓｉｎｂｘ－ｂａ２ʏｃｏｓｂｘｄｅａｘ
（然后，再用一次分部积分法）
＝１ａｅａｘｓｉｎｂｘ－ｂａ２ｅａｘｃｏｓｂｘ－ｂ２ａ２ʏｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ，
㊀㊀㊀㊀㊀１２４㊀上述等式左㊁右两端都出现ʏ
ｅａｘｓｉｎｂｘｄｘ，移项整理，得
ʏｅ
ａｘ
ｓｉｎｂｘｄｘ＝
ａｓｉｎｂｘ－ｂｃｏｓｂｘａ２＋ｂ２
ｅａｘ
＋Ｃ．
除此之外，一些不定积分题的被积函数需要首先通过变量代换后把被积函数化简为基本初等函数的乘积，然后再用分部积分法，如ʏａｒｃｔａｎｘｄｘ，ʏ
ｅ３ｘ＋１
ｄｘ等．
结论３㊀被积函数为分式结构，分母复杂，通过变量代
换后变得简单些
例３㊀计算不定积分ʏ
ｄｘ
ｘ（ｘ＋１）３（ｘ＞０）．
解题分析㊀被积函数
１
ｘ（ｘ＋１）３
的分母
ｘ（ｘ＋１）３比
较复杂，为此，令ｘ＝ｔａｎ２ｔ０＜ｔ＜π
２
(
)
，代入被积函数表达式，可以把复杂的分母去掉．
解㊀令ｘ＝ｔａｎ２ｔ，则ｄｘ＝２ｔａｎｔｓｅｃ２ｔｄｔ，
ʏ
ｄｘ
ｘ（ｘ＋１）３
＝２ʏｔａｎｔｓｅｃ２ｔ
ｔａｎｔｓｅｃ３ｔｄｔ
＝２ʏ
ｃｏｓｔｄｔ＝２ｓｉｎｔ＋Ｃ．
由于ｘ＝ｔａｎ２ｔ，因此把ｓｉｎｔ＝
ｘ
１＋ｘ
代入上式，得原式＝２
ｘ
１＋ｘ
＋Ｃ．除此之外，多数不定积分的被积函数经过化简分母后，分母同样会保留，如
ʏｄｘｅ
ｘ
＋ｅ－ｘ
，ʏ
ｘ
２（ｘ＋２）３
ｄｘ等．结论４㊀被积函数为幂函数ｘｎ
（ｘɪＺ＋
）和正弦函数㊁余弦函数或指数函数乘积时，以降低幂函数次数的方式采用分部积分法
例４㊀计算不定积分ʏ
ｘ２ｅｘｄｘ．
解题分析㊀被积函数是幂函数ｘ２和指数函数ｅｘ的乘积，用分部积分法只能采用降低幂函数次数的方式．
解㊀
ʏｘ２
ｅｘ
ｄｘ＝ʏｘ
２
ｄｅｘ
（首先，用一次分部积分法）
＝ｘ２ｅｘ－２ʏｘｅｘｄｘ
（上述被积函数由ｘ２ｅｘ变为ｘｅｘ，幂函数的次数降低一次）＝ｘ２ｅｘ－２ʏ
ｘｄｅｘ（然后，再用一次分部积分法）
＝ｘ２ｅｘ－２ｘｅｘ－ʏｅｘｄｘ()
（上述被积函数由ｘｅｘ变为ｘ０ｅｘ，幂函数的次数又降低一次）
＝ｅｘ（ｘ２－２ｘ＋２）＋Ｃ．
除此之外，如ʏｘｎｓｉｎｘｄｘ，ʏ
ｘｎｃｏｓｘｄｘ等形式的不定积分只能以降低幂函数次数的方式采用分部积分法．
结论５㊀被积函数为幂函数ｘｎ（ｘɪＺ＋）和对数函数㊁反三角函数乘积时，以增加幂函数次数的方式采用分部积分法
例５㊀计算不定积分ʏ
ｘ２ｌｎｘｄｘ．
解题分析㊀被积函数是幂函数ｘ２和对数函数ｌｎｘ的乘积，用分部积分法只能采用增加幂函数次数的方式．
解㊀
ʏｘ２
ｌｎｘｄｘ＝１
３ʏｌｎｘｄｘ
３
(ｘ２
ｌｎｘｄｘ＝１
３
ｌｎｘｄｘ３
，幂函数的次数升高，应用分部积分法)
＝１３ｘ３ｌｎｘ－１３
ʏ
ｘ２
ｄｘ＝
１３ｘ３ｌｎｘ－１
９
ｘ３＋Ｃ．除此之外，如ʏｘｎａｒｃｓｉｎｘｄｘ，ʏ
ｘｎａｒｃｔａｎｘｄｘ等形式的不定积分只能以增加幂函数次数的方式采用分部积分法．
数学题本身具有灵活性㊁多样性的特点，有些题需用综合上述五个结论中的若干个才能计算出原函数．这就需要学生通过做题来灵活体验．
结束语
本文建立在高等数学教材的基础上．本文给出了五个结论及与其相应的典型例子，以归类的形式介绍了解不定积分题的若干容易掌握的方法．学生在记住基本积分表，掌握两类换元积分法，分部积分法和有理函数积分法的基础上，继续掌握本文的五个结论，并通过勤练，很容易就能达到求解中等难度或者偏难的不定积分题的水平．对于大学生或者考研的学生来说，他们掌握了本文就在积分学中获得了寻找原函数的有力工具．学无止境，本文作者将在以后的工作中继续探究求解不定积分的方法．
ʌ参考文献ɔ
［１］同济大学数学系．高等数学（第七版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．
［２］刘海军．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：中国农业出版社，２０１９．
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［４］徐英杰，范海宁．一类有理函数不定积分的求解［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０２０（１０）：６－７．。