数值分析期末考试复习题及其答案

数值分析期末考试复习题及其答案
1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）
解:
由已知可知,n=6
2分
2分
2.已知求（6分）
解：
1分
1分
1分
= 2分
1分
3.设（6分）
①写出f(x)=0解的Newton迭代格式
②当a为何值时，（k=0,1……)产生的序列收敛于
解:
①Newton迭代格式为： 3分
② 3分
4.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，
可使迭代收敛（8分)
解：
所给迭代公式的迭代矩阵为2分
其特征方程为2分
即，解得2分
要使其满足题意，须使,当且仅当2分
5.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—
Seidel迭代格式（9分）
解：
3分
2分
即，由此可知Jacobi迭代收敛1分
Gauss-Seidel迭代格式：
（k=0,1,2，3 (3)
6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:(i=1，2,3)其中
，（12分)
解：
①
A= =LU 3分
由Ly=b1，即y= 得y= 1分
由Ux1=y，即x1= 得x1= 2分
②
x2=
由Ly=b2=x1,即y= 得y= 1分
由Ux2=y，即x2= 得x2= 2分
③
x3=
由Ly=b3=x2，即y= 得y= 1分
由Ux3=y，即x3= 得x3= 2分
7.已知函数y=f（x)有关数据如下:
要求一次数不超过3的H插值多项式,使（6分）
解：
作重点的差分表，如下:
3分
=-1+（x+1)-x(x+1）+2x。

x（x+1)
= 3分
8.有如下函数表：
试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）
解：
由已知条件可作差分表，
3分
（i=0,1,2，3）为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:
=4+5x+x（x—1)
= 4分
9.求f(x)=x在[—1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分)
解：
令2分
取m=1，n=x，k=,计算得:
（m，m）==0 （m，n)= =1 （m，k)= =0
（n,k）= =0。

5 （k,k)= =0 （m，y)= =1
（n，y)= =0 （k,y）= =0.5
得方程组：3分
解之得（c为任意实数,且不为零）
即二次最佳平方逼近多项式1分
平方误差：2分
10.已知如下数据：用复合梯形公式,复合Simpson公式计算的近似值（保留小数点后三位）
（8分）
解：
用复合梯形公式：
=3。

139 4分用复合Simpson公式:
=3.142 4分11.计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为多少等分?若改用复合
梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分？（10分)
解：①由Simpson公式余项及得
2分
即,取n=6 2分
即区间分为12等分可使误差不超过 1分
②对梯形公式同样，由余项公式得
2分
即 2分
即区间分为510等分可使误差不超过 1分
12.用改进Euler格式求解初值问题：要求取步长h为0。

1，计算y（1。

1）的近似值（保
留小数点后三位）[提示：sin1=0。

84,sin1。

1=0.89] （6分）
解：
改进Euler格式为：
2分
于是有
（n=0，1，2 (2)
由y（1)==1,计算得
2分
即y(1.1）的近似值为0。

838
13.（4分）
证明:
4分
14.证明：设，为任意矩阵范数，则（6分）
证明：
设为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=x 1分
且,若是实数，则x也是实数，得1分
而2分
由于1分
故1分
当是复数时，一般来说x也是复数,上述结论依旧成立。