(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习(含答案解析)

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）
A ．4﹣2
B ．2﹣4
C ．1
D 2A
解析：A
【分析】 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED ，从而得到∠DAE ＝∠AED ，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE ，然后求出正方形的对角线BD ，再求出BE ，最后根据等腰直角三角形的直角边等于2 【详解】
解：在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°，
∵∠BAE ＝22.5°，
∴∠DAE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE 中，∠AED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE ＝∠AED ，
∴AD ＝DE ＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD ＝2
∴BE ＝BD ﹣DE ＝2﹣4，
∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF ＝22BE ＝22
×（2﹣4）＝4﹣2． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD 是解题的关键，也是本题的难点．
2．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，
DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（ ）
A ．8
B ．10
C ．12.5
D ．15C
解析：C
【分析】 根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．
【详解】
,DE BC DF AB ⊥⊥，
90DEB DFB ∴∠=∠=︒，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∴四边形DEBF 为矩形，
∴BF=DE=2.5，DF=EB ，
设DF=3x ，则EB=3x ，
∵53DF AF =，
∴AF=5x ，AB=5x+2.5，
∵3CE DE =，
∴CE=7.5，
∴CB=7.5+3x ，
∵AB=CB ，
∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,
∴512.5AF x ==，
故选：C ．
【点睛】
本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．
3．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
2
BC=6，
∵DE=3DF，
∴EF=4，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴AC=2EF=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）
A．96 B．48 C．24 D．6C
解析：C
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】
解：∵BD＝4，AC＝3BD，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积为1
2AC×BD＝
1
124
2
⨯⨯＝24．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要
熟练掌握．
5．如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确
．．的是（）
A．若AB AD
=，则平行四边形ABCD是矩形
B．若AB AD
=，则平行四边形ABCD是正方形
C．若AB BC
⊥，则平行四边形ABCD是矩形
D．若AC BD
⊥，则平行四边形ABCD是正方形C
解析：C
【分析】
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【详解】
解：A、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
B、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；
D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
6．菱形的一个内角是60︒，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）
A．3
cm
2
B
3
3cm
2
C．3cm D．33cm C
解析：C
【分析】
根据菱形的四边相等和一个内角是60°，可判断较短对角线与两边组成等边三角形，根据等边三角形的性质可求较短的对角线长．
【详解】
解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．
∵菱形的边长是3cm，
∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定，解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形．
7．下列命题中，正确的命题是（）
A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是
C ．矩形的对角线互相垂直平分
D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是
正方形B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；
C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．
8．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）
A ．BAD BDA ∠=∠
B ．AB DE =
C ．DF EF =
D ．D
E 平分ADB ∠D
解析：D
【分析】 先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠DAB=∠EBA ，
∵点F 是AB 的中点，
∴AF=BF ，
∵∠AFD=∠BFE ，
∴△ADF ≌△BEF ，
∴AD=BE ，
∵AD ∥BE ，
∴四边形AEBD 是平行四边形，
A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
D、当DE平分ADB
故选：D．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（）
A．8 B．83C．16 D．163A
解析：A
【分析】
由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC 时，三角形有最大面积．
【详解】
解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4
又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，
∴FC=CD=4
由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当
FC⊥BC时，三角形有最大面积
∴△BCF面积的最大值是11448
BC FC=⨯⨯=
22
故选：A．
【点睛】
本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．
10．矩形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分B．是轴对称图形C．对角线相等D．对角线互相垂直
参考答案D
解析：D
【分析】
根据矩形的性质即可判断．
【详解】
解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，
∴选项A、B、C正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．
二、填空题
11．如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的OE ，则四边形EFCD的周长为_____．
周长为19， 2.5
145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进
而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=
解析：14.5
【分析】
根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长
=AD+CD+EF，根据已知求解即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分
∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF，OF=OE=2.5
∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF
=AE+DE+CD+EF
=AD+CD+EF
=
19 2.52
+×2 =14.5． 故答案为：14.5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．
12．己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC
的值是______．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是 解析：
23或43
【分析】 首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
【详解】
解：∵菱形ABCD 的边长是3，
∴AD=BC=3，AD ∥BC ，
如图①：当E 在线段AD 上时，
∴AE=AD －DE=3－1=2，
∴△MAE ∽△MCB ， ∴23
MA AE MC BC ==； 如图②，当E 在AD 的延长线上时，
∴AE=AD+DE=3+1=4，
∴△MAE ∽△MCB ， ∴
43MA AE MC BC ==． ∴MA MC 的值是23或43． 故答案为
23或43．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解．
13．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．
3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线
于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF
【详解】解：过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB= 解析：3
【分析】
过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF ．
【详解】
解：过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，
∵150ABC ∠=︒，
∴∠ABM=30°，
∴AM=12AB=12
×6=3， ∵AM ⊥CB ，EF BC ⊥，
∴AM ∥EF ，
∵//AE BC ，
∴四边形AMFE 是平行四边形，
∵AM ⊥CB ，
∴四边形AMFE 是矩形，
∴EF=AM=3，
故答案为：3．
．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．
14．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38
CDF
∠=︒，则EFD
∠的度数是_________．
64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求
出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴
解析：64°
【分析】
先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出
∠EFD=∠BFE=1
2
∠BFD，即可得出结论．
【详解】
解：∵ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，
∵∠CDF=38°，
∴∠CFD=52°，
∴∠BFD=180°-52°=128°，
∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，
∴∠EFD=∠BFE=1
2∠BFD=1
2
×128°=64°．
故答案为：64°．
【点睛】
本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．
15．如图，B，E，F，D四点在一条直线上，菱形ABCD的面积为2
120cm，正方形
AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．
13【分析】根据正方形的面积可用对角线
进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD 交于点O ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDAO=COBO=DO ∵正方形AECF 的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1 解析：13
【分析】
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】
解：连接AC ，BD 交于点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，
∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12
AC 2=50， ∴AC=10cm ，
∴AO=CO=5cm ，
∵菱形ABCD 的面积为120cm 2， ∴12
×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，
∴BO=DO=12cm ， ∴22AB AO BO +25144+， 故答案为13． 【点睛】
本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 16．如图，矩形ABCD 中，10AD =，14AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为_____．
5或【分析】连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点MCD
于点N作D′P⊥BC交BC于点P先利用勾股定理求出MD′再分两种情况利用勾股定理求出DE【详解】解：如图连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点
解析：5或10 3
【分析】
连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【详解】
解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=14-x，
又折叠图形可得AD=AD′=10，
∴x2+（14-x）2=100，解得x=6或8，
即MD′=6或8．
在Rt△END′中，设ED′=a，
①当MD′=6时，AM=14-6=8，D′N=10-6=4，EN=8-a，
∴a2=42+（8-a）2，
解得a=5，即DE=5，
②当MD′=8时，AM=14-8=6，D′N=10-8=2，EN=6-a，
∴a2=22+（6-a）2，
解得
10
3
a=，即
10
3
DE=.
故答案为：5或10 3
.
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．
17．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH 分别是各边中点过点G 作EH 的垂线垂足 解析：122 【分析】 画出图形，证明四边形EFGH 是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG ，得到四边形EFGH 的面积，从而得到结果．
【详解】
解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，
过点G 作EH 的垂线，垂足为M ，AC=6，BD=8，
可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12
BD=4，EF ∥HG ∥AC ，EH ∥FG ∥BD ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，
∵AC 和BD 夹角为45°，
可得∠EHG=45°，
∴△HGM 为等腰直角三角形，又∵HG=3，
∴MG=233222
=， ∴四边形EFGH 的面积=MG EH ⋅=62，
∴平行四边形ABCD 的面积为122，
故答案为：122．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．
18．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．
【分析】过D作DF⊥AC于F得到AB∥DF求得AF＝CF根
据三角形中位线定理得到DF=AB＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D作DF⊥AC于F∴∠DFC＝∠A＝90°∴AB∥DF
解析：2
【分析】
过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=1
2
AB＝
1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过D作DF⊥AC于F，
∴∠DFC＝∠A＝90°，
∴AB∥DF，
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC，
∴AF＝CF，
∴DF=1
2
AB＝1，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=2DF=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为__________．
15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出
∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A
解析：15
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=8，
同理可证：DE=DC=8，
∵EF=AF+DE-AD=1，
即8+8-AD=1，
解得：AD=15；
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．
20．在长方形ABCD中，
5
2
AB=，4
BC=，CE CF
=，CF平分ECD
∠，则
BE=_________．
【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F
作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=
解析：7 6
【分析】
延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得
CM=CD=52
，由勾股定理可得BG=3，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，最后利用勾股定理可求解． 【详解】
解：延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =
∴BC=AD ，52
AB DC ==
，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，
∵CF 平分∠ECD ，
∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，
∴∠G=∠ECF ，
∴EC=EG ，
∴△ECG 是等腰三角形，
∴CM=MG ，
∵CE=CF ，
∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线， ∴FH=EM=DF ，
∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ），
∴52
CM DC ==
， ∴CG=5，
∴在Rt △CBG 中，223BG CG CB -=，
设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，
在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，
∴()22243x x +=+， 解得：76
x =，
∴76BE =； 故答案为
76． 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
三、解答题
21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．
（1）如图
①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．
②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．
（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．
解析：（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=
+︒或1452
βα=-+︒，见解析 【分析】 （1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；
②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；
（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．
【详解】
（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，
∴90A ABC ∠+∠=︒，
∵点D 是AB 的中点，
∴AD DC BD ==，
∴DCB ABC ∠=∠．
∵90CDE ∠=︒，
∴90E DCB ∠+∠=︒，
∴A E ∠=∠；
②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，
∵BD 平分CDE ∠，
∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．
∵DB DC =，
∴DCB DBC x ∠=∠=︒，
∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，
∴906822A ∠=︒-︒=︒；
（2）①如图，当CD CE =时，
∴CDE CED β∠=∠=．
∵A α∠=，AD DC =，
∴ACD α∠=，
∴90DCB α∠=︒-，
∴290180βα+︒-=︒，得1452
βα=+︒；
②如图，当CD CE =时
∴CDE E β∠=∠=，
∴290βα=︒-，得1
452
βα=-+︒．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．
22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．
（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．
解析：（1）5秒或
373秒；（2）存在，163秒或72秒或685
秒 【分析】 （1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．
【详解】
解：（1）设运动时间为t 秒．
∵四边形MNCB 是平行四边形，
∴MB=NC ，
当N 从D 运动到C 时，
∵BC=13cm ，CD=21cm ，
∴BM=AB-AM=16-t ，CN=21-2t ，
∴16-t=21-2t ，
解得t=5，
当N 从C 运动到D 时，
∵BM=AB-AM=16-t ，
CN=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=37
3
，
∴当t=5秒或37
3
秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，
Ⅰ．当NM=NB时，
作NH⊥AB于H，则HM=HB，
当N从D运动到C时，
∵MH=HB=1
2BM=
1
2
（16-t），
由AH=DN得2t＝1
2
(16−t)+t，
解得t＝16
3
秒；
当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=1
2
（16-t）+t，
解得t=68
5
秒．
Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t＝7
2
（秒）；
Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，
∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t 2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=163秒或72秒或685
秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
23．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．
（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．
（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．
解析：（1）见解析；（2）PC=2时
【分析】
（1）由“ASA”可证△PCM ≌△QDM ，可得DQ=PC ，即可得结论；
（2）得出P 在B 、C 之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．
【详解】
解：（1）∵AD ∥BC ，
∴∠QDM=∠PCM ，
∵M 是CD 的中点，
∴DM=CM ，
∵∠DMQ=∠CMP ，DM=CM ，∠QDM=∠PCM ，
∴△PCM ≌△QDM （ASA ）．
∴DQ=PC ，
∵AD ∥BC ，
∴四边形PCQD 是平行四边形，
∴不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形；
（2）当四边形ABPQ 是平行四边形时，PB=AQ ，
∵BC-CP=AD+QD ，
∴9-CP=5+CP ，
∴CP=（9-5）÷2=2．
∴当PC=2时，四边形ABPQ 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．
24．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <
求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．
作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；
②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；
③连接EF ．
则四边形ABEF 为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）求证四边形ABEF 为菱形．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．
【详解】
解:解:()1如图所示．
()2证明:AE ∵平分,BAD ∠
13,∴∠=∠
在ABCD 中，//,AD BC
23,∴∠=∠
12,∴∠=∠
,AB BE ∴=
,AF AB =
,AF BE ∴=
又//,AF BE
∴四边形ABEF 为平行四边形．
,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．
（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？
（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？
解析：（1）t =2；（2）t =3或65
t =
． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．
（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．
∵∠A =60°，
∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．
（2）∵△PAQ 是直角三角形，
∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），
当∠APQ =90°时，有∠AQP =30°，即AQ =2AP ，∴6-t =2·2t ，解得65
t =（秒），
∴当t =3或65
t =
时，△PAQ 是直角三角形． 【定睛】 本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．
26．如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AC ，CE ⊥AB ，AF ⊥BC ，
（1）求证：CF =EF ；
（2）求∠EFB 的度数．
解析：（1）证明见解析；（2）EFB 45∠=︒
【分析】
（1）先根据线段垂直平分线的性质及CE ⊥AB 得出△ACE 是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ACB 的度数，由AB=AC ，AF ⊥BC ，可知BF=CF ，CF=EF ； （2）根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
∵DE 垂直平分AC ，
∴AE=CE ，
∵CE ⊥AB ，
∴△ACE 是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
∵AB=AC ，AF ⊥BC ，
∴BF=CF ，即F 是BC 的中点，
∴Rt △BCE 中，EF=12
BC=CF ； （2）由（1）得：△ACE 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ACE=45°，
又∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=
()11804567.52
︒-︒=︒， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°，
∵CF=EF ，
∴∠CEF=∠BCE=22.5°，
∵∠EFB 是△CEF 的外角，
∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．
27．如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF ．
（1）求证：∠HEA ＝∠CGF ；
（2）当AH ＝DG 时，求证：菱形EFGH 为正方形．
解析：（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）连接GE ，根据正方形对边平行，得∠AEG=∠CGE ，根据菱形的对边平行，得∠HEG=∠FGE ，利用两个角的差求解即可；
（2）根据正方形的判定定理，证明∠GHE=90°即可．
【详解】
证明：（1）连接GE ，
∵AB ∥CD ，
∴∠AEG=∠CGE ，
∵GF ∥HE ，
∴∠HEG=∠FGE ，
∴∠HEA=∠CGF ；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH 是菱形，
∴HG=HE ，
在Rt △HAE 和Rt △GDH 中，
AH DG HE HG =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH ，
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形.
【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，平行线的性质，熟记正方形的性质和判定是解题的关键.
28．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点图形．
（1）在图甲中画出一个三角形，使BP平分该三角形的面积．
（2）在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形，使AP平分该四边形的面积．
解析：（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【分析】
△即为所求；
（1）连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，ABD
（2）作EP平行且相等于AB，连接AE，四边形ABPE即为所求．
【详解】
（1）作图如下，连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，
△即为所求，
ABD
=，
AP DP
∴和BDP
ABP
△是等底同高的两个三角形，
∴BP平分ABD
△三角形的面积；
（2）作图如下，作EP平行且相等于AB，连接AE，
四边形ABPE即为所求，
AB平行且相等于EP，
∴四边形ABPE为平行四边形，
∴AP为ABCD的对角线，
∴AP平分ABCD的面积．
【点睛】
本题考查学生的作图能力，涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识，根据题意作出图像是解题的关键．。