九年级数学 第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解求解一元二次方程

解 :x 2 方 2 x 3 0 得 程 x 1 3 ,x 2 1 ;而 x22x3(x3)x(1 );
解 方 程 ： 4 x 2 1 2 x 9 0 得 x 1 3 2 ,x 2 3 2 ;
而 4x21x294(x3)x(3); 22
解 方 程 ： 3 x 2 7 x 4 0 得 x 1 4 3 ,x 2 1 ; 而 3x27x43(x3 4)x(1);
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忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的． ——卢梭
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第47页习题2.7第1，2题
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4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0,或x-5=0 ∴x1= -5,x2=5.
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1.因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键是什么？ 2.在应用因式分解法时应注意什么问题？ 3.因式分解法体现了怎样的数学思想?
3. 解 方 程 : ( 1 ) x 2 2 x 2 0
(2)2x2 7x4
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解 方 程 : ( 1 ) x2 2 x 2 0
【解】 x 2 2 x 2 x2 2x 1 2 1 (x 1)2 3 x1 3 x 31 x1 3 1, x2 3 1
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第二章
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
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1.会用因式分解法解一些一元二次方程； 2.能根据一元二次方程的特点，灵活选择解法．
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1.用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 __(_x_+_m_)_2_=_n_（__n_≥__0_）___的形式； 2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为 __一__般__形__式___；
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例题
1.用因式分解法解方程:(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2).
【 解 】 15x24x0, 2.(x2 )xx20 ,
x5x40.
x21x0.
x0,或 5x40.
x1
0;
x2
4. 5
x20,或 1x0.
x12;x21.
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(3) (x+1)2-25=0 【解析】原方程可变形为 [(x+1)+5][(x+1)-5]=0
归纳 二次三项式ax2+bx+c的因式分解 一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0), 只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就 可以了. 即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
b2 4ac ( 3)2 4 1 0 90
x 3 9 33 21 2
x1 3, x2 0
解方程：x2 － 3x=0．
小亮是这样想的 :
小亮是这样解的 :
如果ab0,
【解】 x23x0.
那 么 a0或 b0 xx30.
即,如果两个因式的积 等于0, 那么这两个数 至少有一个为0.
看出了点?有 什没 么有规 ? 律
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【解析】通过观察上述的式子，可得以下两个结论： （1）对于一元二次方程（x-p）（x-q）=0，那么它的两个 实数根分别为p、q； （2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p、q，那么这 个一元二次方程可以写成（x-p）(x-q)=0的形式.
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(2)2x2 7x4
【解】 2 x 2 7 x 4 0 a=2,b=7,c=-4
b 2 4 a c 7 2 4 2 ( 4 ) 8 1 ＞0
x 7 81 7 9
22
4
1 x1 2 , x2 4
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一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这 个数是几？你是怎样求出来的？ 【解】设这个数为x，根据题意，
∴ (x+6)(x-4)=0 ∴ x+6=0或x-4=0 ∴ x1=-6， x2=4
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【规律方法】用因式分解法解一元二次方程的步骤是: 1. 方程的右边为0，左边可因式分解； 2. 把左边因式分解； 3. 根据“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个 因式等于零.”转化为两个一元一次方程； 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的 根.
2. x2( 35)x1 50 2.x1 5;x2 3.
3.x2(32)x1 80 3.x1 3;x2 2.
4. (4x2)2x(2x1)
5 .3 x(x 2 ) 5 (x 2 )
1
4
4.x1
2;x2
. 7
5.x1
2; x2
5. 3
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3.观察下列各式,也许你能发现些什么?
解 :x 2 方 7 x 6 0 得 程 x 1 1 ,x 2 6 ;而 x27x6(x 1 )x(6);
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1.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
【解析】设这个数为x,根据题意,得
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0或2x-7=0.
7
x1
0,
x2
. 2
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2.用分解因式法解下列方程
参考答案：
1. x2(52)x520 1.x15;x2 2.
x0,或 x30.
x10,x23.
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归纳：
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次 因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法求解.这种解 一元二次方程的方法称为因式分解法. 提示:（1）用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而 右边等于零; （2）关键是熟练掌握因式分解的知识; （3）理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有 一个因式等于零.”
可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0
你能自己解方程吗？
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配方法
【 解 析 】 x2 3x 0 x2 3x 9 9 44 x 3 3 22 x 3 3 22 x1 3, x2 0
12/10/202 3x 0 a=1,b=-3,c=0
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跟踪训练
你能用因式分解法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
(2)(x+1)2-25=0.
【解】(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
【解】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.