新人教版九年级上册 第21章 21.3一元二次方程的根与系数的关系 教案

一元二次方程的根与系数的关系
1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．
一、情境导入
一般地，对于关于x 的方程x 2
＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？ 二、合作探究
探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关
系求关于方程根的代数式的值
已知m 、n 是方程2x －x －2＝0的两实数根，则1m ＋1
n
的值为( )
A ．－1 B.12 C ．－1
2
D ．1
解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n
和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代
入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2
－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1
m ＋
1n ＝n ＋m mn ＝1
2－1＝－12
.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0. 【类型二】
根据方程的根确定一元二次方程
已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )
A ．x 2－6x ＋8＝0
B ．x 2
＋9x －1＝0
C ．x 2－x －6＝0
D ．x 2
＋x －20＝0
解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.
如果令方程ax 2
＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.
方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系
确定一元二次方程一次项系数和常数项． 【类型三】根据根与系数的关系确定方程的
解
(2014·云南曲靖)已知x ＝4是一元二
次方程x 2
－3x ＋c ＝0的一个根，则另一个根为________．
解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1. 方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决． 【类型四】利用一元二次方程根与系数的关
系确定字母系数
(2014·山东烟台)关于x 的方程x 2
－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )
A ．－1或5
B ．1
C ．5
D ．－1
解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x 1，x 2，由题意，
得x 21＋x 22＝5.∴(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝5.∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2a ，∴a 2－2×2a ＝5.解得a 1
＝5，a 2＝－1.又∵Δ＝a 2
－8a ，当a ＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a ＝5.当a ＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D. 方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面． 【类型五】一元二次方程根与系数的关系和
根的情况的综合应用
已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．
解：(1)根据题意，得Δ＝(2a )2
－4×a (a －6)＝24a ≥0.解得a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－
2a a －6
，
x 1x 2＝a
a －6
.由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋
4＝x 1x 2，∴－
2a a －6＋4＝a a －6
，解得a ＝24.经检验a ＝24是方程－
2a a －6＋4＝a
a －6
的解．即存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成
立．
(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－
2a a －6＋
a a －6
＋1＝6
6－a 为负整数，则6－a 为－1或－2，
－3，－6.解得a ＝7或8，9，12. 三、板书设计
教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.。