8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第2课时课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性(

3 1921 3.26 10.40
4 1930 3.56 10.30
5 1936 3.71 10.20
6 1956 4.11 10.10
7 1960 4.17 10.00
8 1968 4.29 9.95
学习目标
新课讲授
得到散点图如下：
课堂总结
由表中的数据得到经验回归方程为：
yˆ2 0.4264398x 11.8012653
8.2.2 一元线性回归模 型参数的最小二乘估计
第2课时
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题 转化为线性回归问题并加以解决. 3.通过具体实例，了解决定系数R2的意义和作用.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点一：线性回归分析
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结提升
常见非线性模型及其线性化的方法
(1)指数函数y=αeβx(α>0)
β>0
β<0
处理方法：两边取自然对数，得lny=lnα+βx，令y´=lny，x´=lnx，则y´=lnα+βx´
学习目标
新课讲授
(2)幂函数y=αxβ(α>0)
β>1
0<β<1
课堂总结
β<-1 -1<β<0
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
一元线性回归模型解决问题的过程： 1.分析实际问题确定响应变量，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关， 进而选择合适的统计模型；
2.通过统计软件得到模型参数的估计； 3.通过经验回归方程得到预测值、残差，分析残差图的特点，确定是否需要 改进模型等； 4.根据经验回归方程，可以预测结果.
这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围， 而是围绕着经验回 归直线有一定的变化规律， 即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题：你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？
散点更趋向于落在中间下凸且 递减的某条曲线附近.
函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征. 注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年， 因此可以认为散点是集 中在曲线y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周围，其中c1、c2为未知参数，且c2<0.
根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为：
yˆ1 0.02033743t 49.76913031 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图：
从图中可以看到，经验回 归方程较好地刻画了散点的变 化趋势，请再仔细观察图形， 你能看出其中存在的问题吗
学习目标
新课讲授
课堂总结
第一个世界纪录所对应的散点远 离经验回归直线， 并且前后两时间段 中的散点都在经验回归直线的上方， 中间时间段的散点都在经验回归直线 的下方.
①和②的R2分别为0.7325和0.9983.因此经验回归方程②的刻画效果比①好.
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
1.建立非线性经验回归模型的基本步骤： (1)确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； (2)由经验确定非线性经验回归方程的模型； (3)通过变换，将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型； (4)按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； (5)消去新元，得到非线性经验回归方程； (6)得出结果后分析残差图是否有异常 ．
学习目标
新课讲授
课堂总结
2.在使用经验回归方程进行预测时，需注意的问题： (1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； (2)我们所建立的回归方程一般都有时间性； (3)样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； (4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上，它是 预报变量的可取值的平均值.
学习目标
新课讲授
课堂总结
(2)残差分析：残差平方和越小，模型拟合效果越好.
n
2
Q ( yi yi )
i1
Q1 0.669,
Q2 0.004
Q2明显小于Q1，说明非线性回归方程的拟合效果要优于线性回归方程.
学习目标
新课讲授
课堂总结
(3)利用决定系数R2刻画回归效果.
由于
令
n
n
n
( yi y)2 ( yˆ y)2 ( yi yˆi )2,
以及相应的残差，如下表所示.
编号
胸径/cm
树高观测值/m 树高预测值/m
残差/m
1
18.1
18.8
19.4
-0.6
2
20.1
19.2
19.9
-0.7
3
22.2
21.0
20.4
0.6
4
24.4
21.0
20.9
0.1
5
26.0
22.1
21.3
0.8
6
28.3
22.1
21.9
0.2
7
29.6
22.4
22.2
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点二：非线性回归分析
问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了 1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成 对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.
编号 年份 记录/s
1 1896 11.80
2 1912 10.60
3 1921 10.40
4 1930 10.30
5 1936 10.20
6 1956 10.10
7 1960 10.00
8 1968 9.95
以世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得下图：
散点看上去大致分 布在一条直线附近
学习目标
新课讲授
课堂总结
用Y表示男子短跑100m的世界纪录，t表示纪录产生的年份利用一元线性 回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系
例1 经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大， 树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高. 在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表所 示，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
编号
1
2
3
4
5
6
胸径/cm 18.1
处理方法：两边取自然对数，得lny=lnα+βlnx，令y´=lny，x´=lnx，则y´=lnα+βx´.
(3)对数函数y=α+βlogax
β>0
β<0
处理方法：令x´=logax，则y´=α+βx´.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题： 1.使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？ 2.如何将一些非线性回归问题转化为线性回归问题？ 3.在回归分析中，分析残差能帮助我们解决哪些问题？ 4.如何判断回归模型的有效性？
课堂总结
思考：对于通过创纪录时间预报世界纪录的问题，我们建立了两个回归 模型，得到了两个回归方程，你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？
(1)直接观察法 yˆ2 0.4264398t 11.8012653 yˆ2 0.4264398ln(t 1895) 11.8012653
① ②
① ②
散点图中各散点都非常靠近②的图象， 表明非线性经验回归方程②对于原始 数据的拟合效果远远好于经验回归方 程①.
i 1
Hale Waihona Puke Baidu
i 1
i 1
n
n
( yˆ y)2
( yi yˆi )2
R2
i 1 n
1
i 1 n
( yi y)2
( yi y)2
i 1
i 1
剔除量纲的影响
R2越大，表示
，即模型的拟合效果越好；
R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
显然0≤R2≤1，R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好.在一元线性回归模型 中 R2=r2，即决定系数R2等于响应变量与解释变量的样本相关系数r的平方.
h 0.2493d 14.84
散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相 关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.
用d表示胸径，h表示树高，根据据最小二乘法，计算可得经验回归方程为 h 0.2493d 14.84.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
树高/m 18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
编号
7
8
9
10
11
12
胸径/cm 29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
树高/m 22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7
学习目标
新课讲授
课堂总结
解: 以胸径为横坐标，树高为纵坐标作散点图如下：
(*)
学习目标
新课讲授
课堂总结
将经验回归直线叠加到散点图，得到下图：
上图表明，经验回归方程对于成对数据具有非常好的拟合精度. 将x=ln(t-1895)代入 yˆ2 0.4264398x 11.8012653 得
yˆ2 0.4264398ln( t 1895) 11.8012653
学习目标
新课讲授
学习目标
新课讲授
课堂总结
y=f(t)=c1+c2ln(t-1895) 这是一个非线性经验回归函数，如何利用成对数据估计参数c1、c2
令x=ln(t-1895)，则Y=c2x+c1 对数据进行变化可得下表：
编号 年份/t
x 记录/s
1 1896 0.00 11.80
2 1912 2.83 10.60
0.2
8
32.4
22.6
22.9
-0.3
9
33.7
23.0
23.2
-0.2
10
35.7
24.3
23.7
0.6
11
38.3
23.9
24.4
-0.5
12
40.2
24.7
24.9
-0.2
学习目标
新课讲授
课堂总结
以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，如图：
观察残差表和残差图，可得残差的绝对值最大是 0.8，所有残差分布在 以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内 .可见经验回归方程较好地刻画了 树高与胸径的关系，可以根据经验回归方程由胸径预测树高.