高等数学第九章第七节 方向导数与梯度

| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
故（1）当 时， 4
方向导数达到最大值
2;
（2）当 5 时， 方向导数达到最小值 2;
4
（3）当 3 和 7 时， 方向导数等于 0.
4
4
3、推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u f ( x, y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义为
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）沿
与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并问
在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
f x (1,1)cos
f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin ,
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例 3 设n是曲面2x2 3 y2 z2 6 在点
P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数
u
1
(6
x
2
8
y2
1
)2 在此处沿方向
n 的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx P 4 x P 4, Fy P 6 y P 6, Fz P 2z P 2,
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l 0
（ 其中 (x)2 (y)2 (z)2 ）
设方向 L 的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
gradf
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z
z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
y f (x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f (x, y) c 等高线
f (x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f (x, y) 在点 P(x, y) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f (x, y) c 在这点的法 线的一个方向相同，且从数 值较低的等高线指向数值较 高的等高线，而梯度的模等 于函数在这个法线方向的方 向导数．
3、梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有
故 n Fx, Fy, Fz 4, 6, 2 ,
n 42 62 22 2 14, 方向余弦为
cos
2, 14
cos
3, 14
cos
1. 14
u x P z
6x 6x2 8y2 P
6; 14
u
8y
8;
y P z 6 x2 8 y2 P 14
u z P
6x2 8 y2 14. z2
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
• P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
••
x
P
设 x 轴正向到射线l 的转角
为 ,并设 P( x x, y y) o
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
P
故 u (ucos ucos ucos ) 11.
n P x
y
z
7
P
二、梯度
问题 :函数在点 P 沿哪一方向增加的速度最快?
1、定义 设函数z f ( x, y)在平面区域 D 内具
有一阶连续偏导数，则对于每一点 P( x, y) D，
都可定出一个向量 f
i
f
j ，这向量称为函数
{1,0}、y
y；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
2、定理 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)是可
微分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向
导数都存在，且有
f f cos f sin ，
l x
y
其中 为 x轴到方向 L 的转角．
例 1 求函数z xe2 y在点 P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.
其中
( gradf ( x,
y), e )
当
cos(
gradf
(
x,
y),
e)
f 1时， l
有最大值.
2、结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模
为方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
gradf P
一阶连续偏导数，则对于每一点P( x, y, z) G ，
都可定义一个向量(梯度)
gradf ( x, y, z) f
i
f
j
f
k.
x y z
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例 4 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) f
i
f
j.
x y
设e
cosi
sinj 是方向
l
上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
l x
y
x y
gradf
(
x,
y)
e
| gradf ( x, y) | cos ,
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点 P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
注： 函数 f 轴正向e2
( x, y)在点P 沿着 x轴正向e1 {0,1}的方向导数分别为 f x , f