精选题库2017年北京市海淀区高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

5．（5 分）已知函数 y=ax， y=xb，y=logcx 的图象如图所示，则（
）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【解答】 解：根据函数的图象知， 函数 y=ax 是指数函数，且 x=1 时， y=a∈（ 1， 2）； 函数 y=xb 是幂函数，且 x=2 时， y=2b∈（ 1， 2），∴ b∈（ 0，1）； 函数 y=logcx 是对数函数，且 x=2 时， y=logc2∈（ 0，1），∴ c＞2； 综上， a、b、c 的大小是 c＞a＞b． 故选： C．
8．（5 分）如图所示， A 是函数 f（x）=2x 的图象上的动点，过点 A 作直线平行
于 x 轴，交函数 g（x） =2x+2 的图象于点 B，若函数 f（ x）=2x 的图象上存在点 C
使得△ ABC为等边三角形，则称 A 为函数 f （x）=2x 上的好位置点．函数 f （x）
=2x 上的好位置点的个数为（
即
，
化简得
，
解得 a=13，b=﹣ 18； ∴ y=13﹣18sin（ x+ ）， 当 x=8 时， y=13﹣ 18sin（ × 8+ ）=31．
=2 ，当且仅当 x= 时，等号成立．
故选： C．
4．（5 分）已知命题 p：? c＞0，方程 x2﹣x+c=0 有解，则￢ p 为（ ）
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A．? c＞ 0，方程 x2﹣ x+c=0 无解 B．? c≤0，方程 x2﹣x+c=0 有解 C．? c＞0，方程 x2﹣ x+c=0 无解 D．? c＜0，方程 x2﹣x+c=0 有解 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p： ? c＞ 0，方程 x2 ﹣ x+c=0 有解，则￢ p 为? c＞0，方程 x2﹣ x+c=0 无解． 故选： A．
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2016-2017 学年北京市海淀区高三 （上）期中数学试卷 （理 科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1．（5 分）若集合 A={ x| x＞2} ， B={ x| （x﹣1）（ x﹣ 3）＜ 0} ，则 A∩ B=（ ） A．{ x| x＞2} B．{ x| 2＜x＜3} C． { x| x＞3} D．{ x| 1＜x＜ 3} 【解答】 解：由 B 中不等式解得： 1＜x＜3，即 B={ x| 1＜ x＜ 3} ， ∵ A={ x| x＞ 2} ， ∴ A∩ B={ x| 2＜x＜ 3} ， 故选： B．
2016-2017 学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1．（5 分）若集合 A={ x| x＞2} ， B={ x| （x﹣1）（ x﹣ 3）＜ 0} ，则 A∩ B=（ ） A．{ x| x＞2} B．{ x| 2＜x＜3} C． { x| x＞3} D．{ x| 1＜x＜ 3}
即 4 ? ＞0，则 ? ＞0 成立， 反之，也成立， 即 “| + | ＞| ﹣ | ”是“ ? ＞0”的充要条件，
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故选： C．
7．（5 分）已知函数 f（ x） =cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（
）
A．f （x）是偶函数 B．函 f （x）最小值为
C． 是函 f（ x）的一个周期 D．函 f （x）在（ 0， ）内是减函数
C．? c＞0，方程 x2﹣ x+c=0 无解 D．? c＜0，方程 x2﹣x+c=0 有解
5．（5 分）已知函数 y=ax， y=xb，y=logcx 的图象如图所示，则（
）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
6．（5 分）设 ， 是两个向量，则 “| + | ＞| ﹣ | ”是 “ ? ＞ 0”的（ ）
19．（ 14 分）已知函数 f （x）=ex（x2+ax+a）． （Ⅰ）求 f（ x）的单调区间；
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（Ⅱ）求证：当 a≥ 4 时，函数 f（x）存在最小值． 20．（14 分）已知数列 { an} 是无穷数列， 满足 lgan+1=| lgan﹣ lgan﹣1|（n=2，3，4，…）． （Ⅰ）若 a1=2， a2=3，求 a3，a4， a5 的值； （Ⅱ）求证： “数列 { an} 中存在 ak（k∈ N*）使得 lgak=0”是“数列 { an} 中有无数多项 是 1”的充要条件； （Ⅲ）求证：在数列 { an} 中? ak（k∈N* ），使得 1≤ ak＜2．
①若 a= ，则函数 f（x）的值域为
；
②若 f （x）在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是
．
14．（ 5 分）已知函数 f（ x）的定义域为 R． ? a， b∈ R，若此函数同时满足：
①当 a+b=0 时，有 f （a） +f （b）=0；
②当 a+b＞ 0 时，有 f（ a）+f（ b）＞ 0，
6．（5 分）设 ， 是两个向量，则 “| + | ＞| ﹣ | ”是 “ ? ＞ 0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】 解：若 | + | ＞| ﹣ | ，则等价为 | + | 2＞ | ﹣ | 2， 即 | | 2+| | 2+2 ? ＞| | 2+| | 2﹣2 ? ，
∴ log2（m﹣ ）=log2m﹣1=log2 ，
∴ m﹣ = ，
解得 m=2 ， ∴ x=log2（m﹣ ）=log2 ， 函数 f （x） =2x 上的好位置点的个数为 1 个， 故选： B．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．（5 分）已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn=3n+1，则 a2+a3= 24 ． 【解答】 解：数列 { an} 的前 n 项和 Sn=3n+1， S1=31+1=4，S3=33+1=28， a2+a3=28﹣4=24． 故答案为： 24．
于 x 轴，交函数 g（x） =2x+2 的图象于点 B，若函数 f（ x）=2x 的图象上存在点 C
使得△ ABC为等边三角形，则称 A 为函数 f （x）=2x 上的好位置点．函数 f （x）
=2x 上的好位置点的个数为（
）
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A．0 B．1 C．2 D．大于 2 【解答】 解：根据题意，设 A，B 的纵坐标为 m， 则 A（log2m，m ），B（log2m﹣2，m）， ∴ AB=log2m﹣log2m+2=2， 设 C（x， 2x）， ∵△ ABC是等边三角形， ∴点 C 到直线 AB的距离为 ， ∴ m﹣2x= ， ∴ x=log2（m﹣ ）， ∴ x= （log2m+log2m﹣2）=log2m﹣1，
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10．（ 5 分）若角 θ的终边过点 P（3，﹣ 4），则 sin（θ﹣π）=
．
【解答】 解：∵角 θ的终边过点 P（ 3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=| OP| =5，∴ sin θ＝ ﹣，
则 sin（ θ﹣ π） =﹣ sin θ＝，
故答案为： ．
11．（ 5 分）已知正方形 ABCD边长为 1，E 是线段 CD的中点，则 ? =
当 cosx= 时 f （x）取得最小值 ，故 B 正确；
对于 C，f（x）=
+
=
+
=
+
=
+
=
+，
它的最小正周期为 T= = ，故 C 正确；
对于 D，f （x）= cos4x+ ，当 x∈（ 0， ）时， 4x∈（ 0，2π）， f（x）先单调递减后单调递增，故 D 错误． 故选： D．
8．（5 分）如图所示， A 是函数 f（x）=2x 的图象上的动点，过点 A 作直线平行
【解答】 解：对于 A，函数 f （x） =cos4x+sin2x，其定义域为 R， 对任意的 x∈ R，有 f （﹣ x）=cos4（﹣ x） +sin2（﹣ x） =cos4x+sin2x=f（ x），
所以 f （x）是偶函数，故 A 正确；
对于 B，f（x）=cos4x﹣ cos2x+1=
+，
则称函数 f（ x）为 Ω函数．
在下列函数中：
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① y=x+sinx； ② y=3x﹣（ ）x；
③ y= 是 Ω函数的为
．（填出所有符合要求的函数序号）
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（13 分）已知数列 { an} 是公差为 2 的等差数列，数列 { bn 满足 bn+1﹣bn=an，且 b2=﹣18，b3=﹣24． （Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式； （Ⅱ）求 bn 取得最小值时 n 的值． 16．（ 13 分）已知函数 f （x）=cos（ 2x﹣ ）﹣ cos2x．
．
12．（5 分）去年某地的月平均气温 y（℃）与月份 x（月）近似地满足函数 y=a+bsin （ x+ ）（a，b 为常数）．若 6 月份的月平均气温约为 22℃， 12 月份的月平
均气温约为 4℃，则该地 8 月份的月平均气温约为
℃．Βιβλιοθήκη 13．（ 5 分）设函数 f （x）=
（ a＞ 0，且 a≠1）．
2．（5 分）已知向量 =（﹣ 1，2）， =（2，﹣ 4）．若 与 （ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 【解答】 解：向量 =（﹣ 1，2）， =（2，﹣ 4）． =﹣2 ，所以两个向量共线， 反向． 故选： D．
3．（5 分）函数 y=2x+ 的最小值为（
）
A．1 B．2 C．2 D．4 【解答】 解：函数 y=2x+ ≥2
（Ⅰ）求 f（ ）的值；
（Ⅱ）求函数 f （x）的最小正周期和单调递增区间． 17．（ 13 分）已知函数 f （x）=x3﹣9x，函数 g（x）=3x2+a． （Ⅰ）已知直线 l 是曲线 y=f（x）在点（ 0，f（ 0））处的切线，且 l 与曲线 y=g （ x）相切，求 a 的值； （Ⅱ）若方程 f （x）=g（ x）有三个不同实数解，求实数 a 的取值范围． 18．（13 分）如图， △ ABC是等边三角形， 点 D 在边 BC的延长线上， 且 BC=2CD， AD= ． （Ⅰ）求 CD的长； （Ⅱ）求 sin∠ BAD的值．
）
A．0 B．1 C．2 D．大于 2
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．（5 分）已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn=3n+1，则 a2+a3=
．
10．（ 5 分）若角 θ的终边过点 P（3，﹣ 4），则 sin（θ﹣π）=
．
11．（5 分）已知正方形 ABCD边长为 1，E 是线段 CD的中点，则 ? =
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）已知函数 f（ x） =cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（
）
A．f （x）是偶函数 B．函 f （x）最小值为
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C． 是函 f（ x）的一个周期 D．函 f （x）在（ 0， ）内是减函数
2．（5 分）已知向量 =（﹣ 1，2）， =（2，﹣ 4）．若 与 （ ）
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
3．（5 分）函数 y=2x+ 的最小值为（
）
A．1 B．2 C．2 D．4
4．（5 分）已知命题 p：? c＞0，方程 x2﹣x+c=0 有解，则￢ p 为（ ）
A．? c＞ 0，方程 x2﹣ x+c=0 无解 B．? c≤0，方程 x2﹣x+c=0 有解
．
【解答】 解：由题意可得
=0，AD=AB=1，∴ ? =（ + ）?（ ﹣ ）
=﹣
﹣ =1﹣ 0﹣ = ，
故答案为： ．
12．（5 分）去年某地的月平均气温 y（℃）与月份 x（月）近似地满足函数 y=a+bsin （ x+ ）（a，b 为常数）．若 6 月份的月平均气温约为 22℃， 12 月份的月平 均气温约为 4℃，则该地 8 月份的月平均气温约为 31 ℃． 【解答】 解：函数 y=a+bsin（ x+ ）（ a， b 为常数）， 当 x=6 时 y=22；当 x=12 时 y=4；