华东师大初中数学九年级下册圆的对称性—知识讲解(提高)

圆的对称性—知识讲解（提高）
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【学习目标】
1. 理解圆的定义；理解半径、直径、弦、弧、圆心角的概念；理解圆的对称性，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；
2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；
3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.
【要点梳理】
要点一、圆的基本元素
1.圆的定义
如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.
2.弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
3.弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
4.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
5.圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角.
要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.
要点二、圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点诠释：
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
要点三、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
要点四、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
要点五、弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角与弧的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2. 圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
要点诠释：
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1. （2016•西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD 于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
【思路点拨】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明∠OCE=30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴，
∴．
【总结升华】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．
【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，
∴
1
2
MO HN CN CH CD CH
==-=-
11
()(38)3 2.5
22
CH DH CH
=+-=+-=，
111
()(46)5
222
BM AB BH AH
==+=+=，
∴在Rt△BOM中，OB==
【356965 例2-例3】
【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.
【答案】14cm.
【356965 例2-例3】
2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.
【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，
并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.
∵AB∥CD
∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.
∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，
=8+6
=14(cm)
图1 图2
(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，
同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)
∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.
【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
举一反三：
【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．
【答案】2或8．
类型二、垂径定理的综合应用
3.如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）
【答案与解析】
解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，
∵∠OAB=45°，
∴AD=OD，
∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．
∵∠OCA=30°，
∴=tan30°，即=，
解得x=25﹣25，
∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．
答：人工湖的半径为（25﹣25）米．
【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC 于点E．求、的度数．
【思路点拨】连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数．
【答案与解析】
解：连接CD，
∵△ABC是直角三角形，∠B=36°，
∴∠A=90°﹣36°=54°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠A=54°，
∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣54°﹣54°=72°，
∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣72°=18°，
∵∠ACD、∠BCD分别是，所对的圆心角，
∴的度数为72°，的度数为18°．
【总结升华】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、三角形内角和定理及等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：AC BD
=．
【答案】
证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，
∵OA＝OB，且
1
2
OM OA
=，
1
2
ON OB
=，
∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，
∴∠COM＝∠DON，
∴A C B D
=．
证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．
∵M是AO的中点，且CM⊥AB，
∴AC＝OC，
同理BD＝OD，又OC＝OD．
∴AC＝BD，
．
∴A C B D。