高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
函数的驻点及不可导点称为可疑极值点.
定理1(第一充分条件)
设函数 f ( x)在点 x0 处连续,在点 x0 的某去
心邻域
。
U ( x0,
) 内可导
(1) 若 x (x0 , x0 ) , f (x) 0 ; 而 x (x0, x0 ) ,
f (x) 0 ,则 f (x)在点 x0处取得极大值 .
f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
所以,函数 f ( x)在x0 处取得极大值
例3 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
P
则切线PT为
y y0 2 x0( x x0 ),
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2
x0 )(16x0
x02 )
(0 x0 8)
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
x 1时, f ( x) f (0) 0 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
例2 证明 :当 x 1 时, e x 1 . 1 x
证明: 设 f ( x) (1 x)e x ,
则由 f ( x) e x (1 x)e x xex 0 ,
得 x 0为唯一驻点 , 当 x 0 时 , f ( x) 0 , 当 x 0 时 , f ( x) 0 ,
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 即为所求的最大(或最小)值．
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
思考题解答
结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 y f ( x) x x [0,1] 在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
练习题
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2x 3 3x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____；最小值为__________. 3、函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 4、设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力f 的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25，问力f 与
例2 证明 :当 x 1 时, e x 1 . 1 x
证明: 设 f ( x) 1 e x , 1 x
则由
f ( x)
1 (1 x)2 e x (1 x)2
0,Leabharlann 得 x 0为唯一驻点 ,当 x 0 时 , f ( x) 0 , 当 x 0 时 , f ( x) 0 ,
f (0) 0 为极小值 , 即为最小值 .
第十节 函数的极值与 最大、最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大与最小值问题
一、函数的极值及其求法
1.函数极值的定义
y
y f (x)
a x1
x2 x3
x4
o
b x5 x6 x
y
y
x0
o
x
x0
o
x
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内的一个点,
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内 的任何点 x , 除了点 x0 外 , f ( x) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
若是实际应用问题可以不必判别 .
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
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解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
最大收入为R(
x)
(350
20)
68
350 10
10890 (元)
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，
使曲线在该点
处的切线与直
线 y 0及 x 8
所围成的三角
形面积最大．
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解 如图,
y
设所求切点为P( x0 , y0 ),
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是 最值.(最大值或最小值)
2) 设 f ( x) C[a,b] D(a,b) , 且 f ( x) 0 ,则 f (a)为最小值 , f (b)为最大值 . 设 f ( x) C[a,b] D(a,b) , 且 f ( x) 0 ,则 f (a)为最大值 , f (b)为最小值 .
(2) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极小值 . (3) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )可能是也可能不是
f ( x)的极值 . 此时 f ( x)在点x0处是否取极值, 仍用定理1 判定 .
证
(1)
f
( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
1.求 f ( x); 2.求 f ( x) 0的点和 f ( x)不存在的点: x1, x2 ,, xk 3.计算 f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xk ) 及 f (a), f (b) .
4.比较上述值的大小,有:
max
x[ a ,b ]
f
(x)
max{
f
( x1 )
,,
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
2、利用最大、小值证明不等式
例1 证明:当 x 2 时, 3x x3 2 .
证明: 设 f ( x) 3x x3 ,则 f ( x) 3(1 x2 ) ,
由 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1 , x2 1 f (1) 2 , f (1) 2 , f (2) 2 , f (2) 2 ,
min f ( x) 2 , max f ( x) 2 .
x[ 2 , 2 ]
x[ 2 , 2 ]
2 f ( x) 2 . 即当 x 2 时, 3x x3 2 .
y
o
x0
x
y
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤: (1) 求驻点及不可导点 (2) 检查 f ( x)在这些点左右的符号,判断
是否为极值点
(3) 求极值
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
(2) 若 x (x0 , x0) , f (x) 0 ; 而 x (x0, x0 ) ,
f (x) 0 ,则 f (x)在点 x0处取得极小值 .
。
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x)的符号保持不变,
f ( x)在点 x0处不取得极值.
y
y
x0
o
x0
xo
x
(是极值点情形)
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48.
例4 求出函数 f ( x) cos x 1 cos 2x 的极值. 2
解 f ( x) sin x sin 2x sin x(1 2cos x)
令 f ( x) 0，
得驻点 x k , x 2k 2 ,
3 f ( x) cos x 2cos2x ,
驻点和不可导点统称为可疑极值点
函数的极值必在可疑极值点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
二、最大值、最小值问题
1.最值的求法
设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大最小值.
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
设 f (x) C[a,b] ,在 (a,b)内除个别点外可导 , 且 f (x) 0的点是有限个,求最值的方法 :
x 2k 4 .
3
f (k ) (1)k1 2 0 故极大值 f (k ) (1)k 1 .
2
f (2k 2 ) 3 0,
32
故极小值 f (2k 2 ) 3 .
3
4
f (2k 4 )
3
3 0, 2
故极小值
f (2k 4 ) 3 .
34
小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
f (x)
大
值
小 值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
2
例2 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内 的任何点 x , 除了点 x0 外 , f ( x) f ( x0 )均成立, 就称f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值 , 使函数取 得极值的点称为极值点.
2.函数极值的求法
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点. 例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.