2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．6x2y＝6x•xy
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．
3．（3分）将分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值（）
A．扩大2倍B．缩小到原来的
C．保持不变D．无法确定
4．（3分）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（）A．x≥4.5B．x＞4.5C．x≤4.5D．0＜x≤4.5
5．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
6．（3分）直线l1：y1＝k1x与直线l2：y2＝k2x+b在同一平面直角坐标系中的位置关系如图
所示，则关于x的不等式k1x＞k2x+b的解集为（）
A．x＞2B．x＜2C．x＞3D．x＜3
7．（3分）在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小赵和小刘同学先画出了∠MB'N＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是（）
A．小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长
C．小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是ASA
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长
8．（3分）如图，设计一张折叠型方桌子，若AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面CD的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB为（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
9．（3分）下列命题是真命题的是（）
A．若a＞b，则1﹣2a＞1﹣2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
10．（3分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AB＝DC＝4，AD＝9，∠BCD＝30°，点E是线段DC的中点，点F在线段BC上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF，连接AC'，则AC'长度的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣2x＝．
12．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足．
13．（3分）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个如图所示的大图案（图2），经过测量，AB＝60cm，BC＝100cm，A，C两点间的距离为80cm，阴影部分的面积为cm2．
14．（3分）如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为1m宽的弯曲小路，则这块草地的面积为m2．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，点D是△ABC外一点，若CD＝3，BD＝5，∠BDC＝75°，则线段AD的长为．
三、解答题（共7小题，共55分，其中16题8分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（8分）（1）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解方程：．
17．（6分）先化简，再求值﹣x+1，其中x＝﹣1
18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
20．（8分）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．
（1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；
（2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
21．（9分）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＝0，则x＝y；若x﹣y＜0，则x＜y．
例：已知M＝a2﹣ab，N＝ab﹣b2，其中a≠b，求证：M＞N．
证明：M﹣N＝a2﹣ab﹣ab+b2＝（a﹣b）2，
∵a≠b，
∴（a﹣b）2＞0，故M＞N，
【新知理解】
（1）比较大小：x﹣32+x．（填“＞”，“＝”，“＜”）
【问题解决】
（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为S1，S2．请
比较S1，S2的大小关系．
【拓展应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？
22．（10分）【探究发现】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．AH⊥BC，垂足为H，点D在AH上，连接BD，CD，则有下列命题：①△ABD≌△ACD；②△BDH≌△CDH．
请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．
【类比迁移】
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在三角形的内部，过点D作BD⊥CD，且BD＝CD，连接AD．求证：AD＝BD＝CD．
【拓展提升】
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝5，把线段AB绕点A顺时针方向旋转90°到AM，把线段AC绕点A逆时针旋转90°到AN，分别连接MB，NC，MN，请直接写出△AMN面积的最大值．
2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2．【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A．x（x﹣2）＝x2﹣2x，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．6x2y＝6x•xy，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．x+2＝x（1+），等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．【分析】根据已知得出＝，求出后判断即可．
【解答】解：将分式中的x、y的值同时扩大2倍为＝，
即分式的值保持不变，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．4．【分析】根据不等式的定义解决此题．
【解答】解：由题意可得，0＜x≤4.5．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
5．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．【分析】观察函数图象得到当x＞2时，函数y＝k1x的图象都在y＝k2x+b的图象上方．【解答】解：当x＞2时，k1x＞k2x+b，即关于x的不等式k1x＞k2x+b的解集为x＞2．故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
7．【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确，本选项符合题意；
B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长，错误，应该是AC的长，
不相信不符合题意；
C、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是ASA，错误，应该是SAS，本选项
不符合题意；
D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长，错误，应该是AB的长，
本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．【分析】作DE⊥AB于E，根据题意，得在Rt△ADE中，AD＝50+30＝80cm，DE＝40cm，由此可以推出∠A＝30°，接着可以求出∠B＝∠A＝30°，再根据三角形的内角和即可
求出∠AOB的度数．
【解答】解：作DE⊥AB于E．
∵AD＝50+30＝80cm，DE＝40cm，
∴∠A＝30°，
∵AO＝BO，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故选：B．
【点评】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到∠A＝30°是解题的关键．
9．【分析】根据不等式性质，等腰三角形性质，平行四边形判定，多边形内角和与外角和逐项判断．
【解答】解：若a＞b，则1﹣2a＜1﹣2b，故A是假命题，不符合题意；
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故B是假命题，不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C是假命题，不符合题意；
一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形有6条边，它的一个外角等于360°÷6＝60°，故D是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．10．【分析】连接AE，过点E作EM⊥AD的延长线于点M，由翻折可知EC＝EC'，根据两点之间，线段最短可知AE≥AC'﹣EC'，故只有当点A、C'、E在一条直线上时，AC'的值最小，根据勾股定理求出EM、MD、AE的长，即可得出AC'长度的最小值．
【解答】解：连接AE，过点E作EM⊥AD的延长线于点M，
∵AE≥AC'﹣EC'，
当点A、C'、E在一条直线上时，AC'的值最小，
由翻折可知EC＝EC'，
∵，点E是线段DC的中点，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDE＝∠BCD＝30°，
在Rt△MDE中，∠MDE＝30°，，
∴，
由勾股定理得，
∵AD＝9，
∴AM＝AD+MD＝12，
在Rt△AME中，由勾股定理得，
∴，
即AC'长度的最小值是，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，翻折的性质，根据两点之间，线段最短得出A、C'、E在一条直线上时，AC'的值最小是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】提取公因式x，整理即可．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
12．【分析】分析题意，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，解不等式即可得到x的取值范围，至此问题得解．
【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．
故答案是：x≠2．
【点评】本题主要考查分式的相关知识，解答本题需熟练掌握分式有意义的条件．
13．【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理证出∠BAC＝90°，根据阴影部分的面积＝
▱ABCD的面积，即可得出答案
【解答】解：如图，连接AC，这四个平面图形都可以拼成平行四边形，
∵AB2+AC2＝602+802＝10000
BC2＝1002＝10000，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴阴影部分的面积
＝▱ABCD的面积
＝×60×80
＝1200（cm2），
故答案为：1200．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），两点间的距离，掌握这四个平面图形都可以拼成平行四边形是解题的关键．
14．【分析】根据平移的性质可得：草坪可看作长为（a﹣1）m，宽为bm的矩形，然后进行计算即可解答．
【解答】解：平移的性质可得：草坪可看作长为（a﹣1）m，宽为bm的矩形，
∴这块草地的面积为b（a﹣1）．
故答案为：b（a﹣1）．
【点评】本题主要考查了生活中的平移现象，利用矩形的面积公式进行计算是解题的关键．
15．【分析】以CD为边在CD的右侧作等边△CDE，连接BE，过点B作BF⊥ED，交ED 的延长线于点F，根据垂直定义可得∠BFD＝90°，再根据已知易得△ABC是等边三角形，从而可得AC＝BC，∠ACB＝60°，然后根据等边三角形的性质可得CD＝CE＝DE ＝3，∠DCE＝∠CDE＝60°，从而利用等式的性质可得∠ACD＝∠BCE，进而利用SAS 可证△ACD≌△BCE，再利用全等三角形的性质可得AD＝BE，最后根据平角定义可得∠BDF＝45°，从而可得∠DBF＝∠BDF＝45°，进而可得BF＝DF＝5，再在Rt△BFE中，利用勾股定理可求出BE的长，即可解答．
【解答】解：以CD为边在CD的右侧作等边△CDE，连接BE，过点B作BF⊥ED，交
ED的延长线于点F，
∴∠BFD＝90°，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵△CDE都是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝3，∠DCE＝∠CDE＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵∠BDC＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BDC﹣∠CDE＝45°，
∴∠DBF＝90°﹣∠BDF＝45°，
∴∠DBF＝∠BDF＝45°，
∴BF＝DF＝＝＝5，
在Rt△BFE中，EF＝DF+DE＝5+3＝8，
∴BE＝＝＝，
∴AD＝BE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共55分，其中16题8分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．【分析】（1）先分别求各个不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上后，确定该不等式组的解集，
（2）先将该分式方程转化为整式方程，求解，检验后即可得到答案．
【解答】解：（1）解不等式①，得x＞，
解不等式②，得x＜6，
∴该不等式组的解集是＜x＜6，
把该不等式组的解集在数轴上表示如下：
∴该不等式组的解集是＜x＜6，
（2）方程两边都乘以（x﹣2）得：
1+3（x﹣2）＝x﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝2﹣2＝0，
∴x＝2是增根，原方程无解．
【点评】此题考查了不等式组和分式方程的求解方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．【分析】直接利用分式的加减运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣（x﹣1）
＝﹣
＝，
∵，
∴原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的加减运算是解题关键．18．【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查了平移、中心对称、旋转作图，掌握相关的点的变换是解题关键．19．【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；
熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．20．【分析】（1）设桂味荔枝每千克的进货价格x元，则糯米糍荔枝每千克的进货价每千克（x+10）元，根据两种荔枝千克数相同列出方程，解方程即可；
（2）设桂味荔枝进货t千克，总利润为W元，则糯米糍荔枝进货（300﹣t）千克，根据题意得出300﹣t≤2t，得出t≥100，由题意得出W＝﹣3t+2400，由一次函数的性质得出W随t的增大而减小，得出当t＝100时，W的最小值＝2100（元），求出300﹣100＝200即可．
【解答】解：（1）设桂味荔枝每千克的进货价格x元，则糯米糍荔枝每千克的进货价每千克（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是分式方程的解，
∴x+10＝30，
答：桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格分别为20元和30元；
（2）设桂味荔枝进货t千克，总利润为W元，则糯米糍荔枝进货（300﹣t）千克，根据题意得：300﹣t≤2t，
解得：t≥100，
∵W＝（25﹣20）t+（38﹣30）（300﹣t）＝﹣3t+2400，
∵﹣3＜0，
∴W随t的增大而减小，
∴当t＝100时，W最大，W max＝﹣3×100+2400＝2100（元），此时300﹣100＝200，答：桂味、糯米糍荔枝各进货100千克和200千克时获得利润最大，最大利润是2100元．【点评】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关键．
21．【分析】（1）作差即可作出判断；
（2）分别求出S1，S2，然后作差，根据a是正整数即可做出判断；
（3）设原价为a（a＞0）元，游泳x次，分别求出A，B方案的费用，然后作差，分三种情况讨论得出答案．
【解答】解：（1）∵x﹣3﹣2﹣x＝﹣5＜0，
∴x﹣3＜2+x，
故答案为：＜；
（2）S1＝（a+7）（a+1）＝a2+8a+7，
S2＝（a+4）（a+2）＝a2+6a+8，
S1﹣S2
＝a2+8a+7﹣（a2+6a+8）
＝a2+8a+7﹣a2﹣6a﹣8
＝2a﹣1，
∵a为正整数，
∴a≥1，
∴2a≥2，
∴2a﹣1≥1＞0，
∴S1＞S2；
（3）设原价为a（a＞0）元，游泳x次，
则A方案的费用＝ax•90%＝0.9ax；
B方案的费用＝5a+a（x﹣5）•80%＝0.8ax+a；
∵0.9ax﹣（0.8ax+a）＝0.1ax﹣a，
∴当0.1ax﹣a＞0时，即x＞10时，0.9ax＞0.8ax+a；
当0.1ax﹣a＝0时，即x＝10时，0.9ax＝0.8ax+a；
当0.1ax﹣a＜0时，即x＜10时，0.9ax＜0.8ax+a；
∴当游泳次数多于10次时，选择B方案；
当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；
当游泳次数少于10次时，选择A方案．
【点评】本题考查了公式法，整式的加减，一元一次不等式的应用，第三问无法判断0.1ax ﹣a的正负，所以分类讨论得出结果，这是解题的关键．
22．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）先得出△ABD≌△ACD，得出∠BAD＝∠CAD＝22.5°，然后求出∠ABD＝22.5°，
即可得证；
（3）延长NA交BM于E，由旋转得：AB＝AM，AC＝AN，∠BAM＝∠CAN＝90°，从
＝AN•而可得出AE⊥BM，ME＝AE＝BE，由勾股定理，得ME＝AB，所以S
△AMN
AB＝AC•AB，所以当AB＝AC时，S△AMN最大，再过点A作AD⊥BC于D，作
线段BO，交AD于O，使∠ABO＝22.5°，从而求出OD＝BD＝，OA＝OB＝，
AD＝（+1），由勾股定理，得AB2＝AD2+BD2＝（4+2），即可求解．
【解答】（1）解：选择①△ABD≌△ACD，
证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
选择②△BDH≌△CDH，
证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
又∵DH＝DH，
∴△BDH≌△CDH（SAS）．
（2）证明：∵∠BDC＝90°，BD＝BC，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠ABD＝∠ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD＝CD，
（3）解：延长NA交BM于E，如图，由旋转得：AB＝AM，AC＝AN，∠BAM＝∠CAN ＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠MAN＝135°，
∴∠BAE＝∠MAE＝45°，
∴AE⊥BM，ME＝AE＝BE，
由勾股定理，得ME＝AB，
＝AN•AB＝AC•AB，
∴S
△AMN
∵在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝5，
最大，
∴当AB＝AC时，S
△AMN
过点A作AD⊥BC于D，
∴∠BAD＝∠BAC＝22.5°，BD＝BC＝，
作线段BO，交AD于O，使∠ABO＝22.5°，
∴∠BAC＝∠BAO＝22.5°，
∴OA＝OB，∠BOD＝45°，
∴∠OBD＝∠BOD＝45°，
∴OD＝BD＝，
由勾股定理，得OA＝OB＝，
∴AD＝（+1），
由勾股定理，得：AB2＝AD2+BD2＝[]2+（）2＝（4+2），最大＝＝（+1）．
∴S
△AMN
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题，灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键。