2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：解答题滚动练2

解答题滚动练2
1.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.
附：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
.
解(1)由题意可得列联表如下：
假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，
则K 2
＝100×(20×30－45×5)2
65×35×25×75
≈3.297＞2.706.
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关. (2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2， P (ξ＝0)＝C 220C 225＝19
30
，
P (ξ＝1)＝C 120C 1
5C 225＝1
3
，
P (ξ＝2)＝C 25
C 225＝130，
所以ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0×1930＋1×13＋2×130＝2
5
.
2.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).
(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；
(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
(1)证明 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz .
由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，N (1，0，2)，M (2，1，2)，
则BC 1＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)，NM →＝(1，1，0)，NP →
＝(－1，0，λ－2).
当λ＝1时，FP →
＝(－1，0，1)，
因为BC 1＝(－2，0，2)，所以BC 1＝2FP →
， 即BC 1∥FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，
且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 由⎩⎪⎨⎪⎧
FE →·n ＝0，FP →·
n ＝0，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1). 设平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
NM →·m ＝0，NP →·
m ＝0，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＋y ′＝0，－x ′＋(λ－2)z ′＝0， 于是可取m ＝(λ－2，2－λ，1).
若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2
2，显然满足0＜λ＜2.
故存在λ＝1±2
2，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.
3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2). (1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋λn －1，
∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1，由a 3＝5λ－1＝9，得λ＝2，
于是a n ＝a n －1＋2n －1，即a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －3， a n －2－a n －3＝2n －5，…，a 2－a 1＝3，n ＞3. 以上各式累加得a n ＝1＋(n －1)(2n ＋2)2＝n 2，n ＞3.
经验证知，a 1，a 2，a 3也满足a n ＝n 2，故a n ＝n 2(n ∈N *).
(2)由(1)得b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )＝(－1)n ·n (n ＋1)，故S 2n ＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n －1)·2n ＋2n ·(2n ＋1)
＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n (－2n ＋1＋2n ＋1)
＝2(2＋4＋6＋…＋2n )＝2·n (2n ＋2)
2
＝2n 2＋2n .
4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F 1(－3，0)，M (1，
y )(y ＞0)为椭圆上的一点，△MOF 1的面积为3
4.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点T 在圆x 2＋y 2＝1上，是否存在过点A (2，0)的直线l 交椭圆C 于点B ，使OT →
＝55(OA
→＋OB →
)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的一个焦点为F 1(－3，0)知c ＝3， 即a 2－b 2＝3.
①
又因为△MOF 1的面积为34，即12×3×y ＝34，求得y ＝32，则M ⎝⎛⎭⎫1，3
2，
代入椭圆方程，得1a 2＋3
4b 2＝1.
②
由①②解得a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)假设存在过点A (2，0)的直线l 符合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在， 于是可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －2)，
得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0. (*)
解得x B ＝8k 2－21＋4k 2
，
所以y B ＝－4k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2.
所以OA →＋OB →＝⎝⎛⎭
⎫16k 2
1＋4k 2
，－4k 1＋4k 2，
即OT →
＝55⎝⎛⎭⎫16k 2
1＋4k
2，－4k 1＋4k 2. 因为点T 在圆x 2＋y 2＝1上，
所以15⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫16k 2
1＋4k 22＋⎝⎛
⎭⎫－4k 1＋4k 22＝1，
化简得176k 4－24k 2－5＝0，解得k 2＝14，所以k ＝±12.
经检验知，此时(*)对应的判别式Δ＞0，满足题意. 故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±1
2(x －2).。