首都经济贸易大学2011年11月高数I_B卷

首 都 经 济 贸 易 大 学
2011 －2012 学年第一 学期期末考试试题 B 卷
考试科目：高等数学I 考试时间： 120 分钟 试卷总分: 100 分
考试方式： 闭卷 考生院系： 安工学院 信息学院
一、填空题（本大题共9小题，每小题2分，总计18分）
1.若函数)(x f y =的定义域为[0，1]，则 )2
1()(++=x f x f y 的定义域为__________.
2.极限 21lim 1x
x x →∞⎛
⎫-= ⎪
⎝
⎭
___________.
3.设)(x f 可导，则=--→h
h x f x f h )
5()(lim
000
___________.
4.设)(xy f y =，)(u f 可微，则
=dx
dy
_________. 5.直线31y x =+在点(0,1)的曲率半径为 . 6.若
()cos ln sin f x xdx x c =+⎰，则()f x dx =⎰
.
7. 已知sin ()cos x
t x
f x e tdt =⎰
，则()f x '=___________ .
8.
1
21arcsin 1
1x dx x -+=+⎰___________.
9.820
cos ()2
x dx ππ
+=⎰
___________.
二、选择题（本大题共6小题，每小题2分，总计12分）
1.“,0,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有ε3
1
<
-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的（ ）. A. 充要条件 B. 充要非必要条件 C. 必要非充要条件 D. 即非充分也非必要条件
2.下列说法正确的是（ ）.
A.若()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x x =可导
B. 若()f x 在0x x =不可导，则()f x 在0x x =不连续
C. 若()f x 在0x x =不可微，则()f x 在0x x =极限不存在
D. 若()f x 在0x x =不连续，则()f x 在0x x =不可导
3.设2
10()00
x e x f x x
x -⎧-⎪
≠=⎨⎪=⎩
，则(0)f '=（ ）.
A. 1
B. 0
C. -1
D. 2 4. 下列函数在区间[1,1]-上不满足罗尔定理的是（ ）. A.2
1()1f x x
=
+
B. ()f x =
C. 2()ln(1)f x x =+
D. 2
()1x f x e =- 5.若()f x 在0x 点的某邻域内有连续的三阶导数，且0()0f x ''=，0()0f x '''<，则（ ）. A. 0()f x 是()f x 的极大值 B. 0()f x 是()f x 的极小值 C.00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 D. 00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点 6. 曲线)2)(1(x x x y --=与x 轴所围图形的面积可表示成（ ）. A. ⎰
---2
0)2)(1(dx x x x B.
⎰⎰
-----2
1
1
)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x
C. ⎰
⎰--+---
21
1
)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x D.
⎰
--2
)2)(1(dx
x x x
三、计算题（每小题6分，共42分）
1．求极限
1
sin 0
lim(sin)x x x
x x
+
→
-.
2．设
2
ln(1)
arctan
x t
y t t
⎧=+
⎨
=-
⎩
（t为参数），求
dy
dx
，
2
2
d y
dx
.
3．设)(x y y =是由方程e 2y y -=--x e x 确定的函数，求y '和)(x y y =在)1,1(处的切线方程.
4．讨论曲线2
()1x
f x x =
+的凹凸区间、拐点及渐近线.
5．求积分 dx x
x
⎰
+sin cos 1
6. 利用定积分的定义求极限1
12lim
(0)p p
p n n p n +→∞+++>
7．求反常积分
20
x xe dx +∞
-⎰
四、计算题（18分）
1.（12分）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.
0,
0,0,
1sin )(2
x x x
x x f 在
处的连续性与可导性.
2．（6分）设10
1
()10
1x
x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨
⎪<⎪+⎩，计算定积分
2
(1)f x dx -⎰
.
五、证明题（10分） 1.（5分）设0>>b a ，证明
b b
a b a a b a -<<-ln .
2.（5分）证明：当0x >时，arctan ln(1)1x
x x
+>+.。