文科数学2010-2019高考真题分类训练专题九解析几何第二十七讲抛物线答案

专题九 解析几何
第二十七讲 抛物线
答案部分 2019年
1.解析：由题意可得：2
32p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，解得8p =．故选D ． 2.（I ）由题意得
12
p
=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为=−1.
（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2
A x t =.
由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为21
12t x y t
-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t
--
-=，
故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B t
t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.
又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =
++=++及重心G 在轴上，故2
20c t y t
-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫
-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 所以，直线AC 方程为()
222y t t x t -=-，得()
21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故2
2t >.从而
422
42212
44
242222211|2|||322
221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t
-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令2
2m t =-，则m >0，
1
2
2
1
2221
3
434
S m
S m m m
m
=-=-=+
++++
…
当m=1
2
S
S
取得最小值1
2
+，此时G（2，0）.
3.解析（1）设()
11
1
,,,
2
D t A x y
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，则2
11
2
x y
=.
由于y'x
=，所以切线DA的斜率为
1
x，故1
1
1
1
2
y
x
x t
+
=
-
，整理得11
2 2 +1=0.
tx y
-
设()
22
,
B x y，同理可得
22
2 2 +1=0
tx y
-.
故直线AB的方程为2210
tx y
-+=.
所以直线AB过定点
1
(0,)
2
.
（2）由（1）得直线AB的方程为
1
2
y tx
=+.
由
2
1
2
2
y tx
x
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，可得2210
x tx
--=.
于是()2
121212
2,121
x x t y y t x x t
+=+=++=+.
设M为线段AB的中点，则2
1
,
2
M t t
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
.
由于EM AB
⊥
u u u u r u u u r
，而()
2
,2
EM t t
=-
u u u u r
，AB
u u u r
与向量(1, )t平行，所以()
220
t t t
+-=.解得t=0或1
t=±.
当t=0时，||
EM
u u u u r
=2，所求圆的方程为
2
2
5
4
2
x y
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
；
当1
t=±
时，||
EM=
u u u u r
，所求圆的方程为
2
2
5
2
2
x y
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
.
2010-2018年
1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=o
，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆
为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，
cos 60FH
NF
=o ，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NF
边上的高，易知为
2
NF =C ．
2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入
抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)k
y k x
=>的2k =，故选D ．
3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为12
p
x =-
=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)． 4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以
05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，
22(,)B x y ，
00(,)M x y ，则120
12022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又211222
44y x y x ⎧=⎨=⎩，
两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，1212120
42
AB y y k x x y y y -=
==-+．
设圆心为(5,0)C ，则0
05
CM y k x =
-，因为直线l 与圆相切， 所以
000215
y y x ⋅=--，解得03x =，于是220
4y r =-，2r >，又2
004y x <，
即2412r -<，所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．
5．C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =u u u r u u u r
，所以||:||3:4PQ PF =，
又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ．
6．D 【解析】易知抛物线中32p =
，焦点3
(,0)4
F ，直线AB 的斜率33k =，故直线AB 的
方程为33()4y x =
-，代入抛物线方程23y x =，整理得2219
0216
x x -+=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221
2
x x +=
，由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028
p d =
=o ， 所以OAB ∆的面积19
||24
S AB d =
⋅=． 7．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线2
2y px =的准线上，∴22
p -
=-．
∴4p =，∴2
8y x =， 设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与2
8y x =联立， 得2
824160y ky k -++=②，则△=2
(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或1
2
k =-
（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ，又(2,0)F ，∴4
3
BF k =，故选D ． 8．C 【解析】∵2OF =
，由抛物线的定义可得P 点的坐标()
32,26±，
∴POF ∆的面积为
11
2262322
P OF y =⨯⨯=． 9．C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为
12
x
y +=代入2=4y 得35y -=， 又|FM |：|MN |=（1-y ）：（1+y ）＝1
．
10．C 【解析】设2
2
2
:(0)C x y a a -=>交x y 162
=的准线:4l x =-
于(4,23)A -(4,23)B --
得：222
(4)3)4224a a a =--=⇔=⇔=
11．D 【解析】∵双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,
所以2.c b a
=⇒=
又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C
0.y ±=
而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p
|
|
28p
p =⇒=.
故选D ．
12．C 【解析】设抛物线的方程为2
2y px =，易知||212AB p ==，即6p =，
∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ∆面积为36，故选C ．
13．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于2
4y ax =，当1x =
时，y =±l 被抛
物线2
4y ax =截得的线段长为4
，所以4=，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标
为(1.0)．
14
．2
2y px =的准线方程为2p x =-
，又0p >，所以2
p
x =-必经过双曲线22
1x y -=
的左焦点(
，所以2
p
-
=
，p = 15
．1+BC= CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的
焦点，所以||AD p a ==，D (
,0)2p (,)2
p
F b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22p b p b a ab =+=+，变形得22()10b b
a a --=，
解得1b a =
1b a =
，所以1b a
=
16．2，1x =-【解析】1,22p p ==；准线12
p
x =-=-．
17．62【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），设抛物线的方程为
22x py =-，l 与抛物线的交点为A 、B ，
根据题意知A （–2，–2），B （2，–2） 则有()2
22-⨯=-a ，∴2
1
-
=a ∴抛物线的解析式为22
1x y -
=
水位下降1米，则y=–3，此时有6=x 或6-=x
∴此时水面宽为62米．
18
．
4【解析】由题意可得p 的值为2，B 点坐标为（
14
2
，）所以点B 到抛物线准
19．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．
设1221(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+>，故1222
24
k x k x ++=
． 所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22
44
8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=．
20．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程
2
21014
()422
y x y y ++=⋅即22
10100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．
(2)由(1)可知120
2
1200
28y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以22
21200013||()384
PM y y x y x =
+-=-
，12||y y -= 因此，PAB ∆
的面积3
2212001||||4)2PAB
S PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为2
200
14
y x +
=0(0)x <，所以22
00004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆
面积的取值范围是4
． 21．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2
224
x y =，1+2=4，
于是直线AB 的斜率1212
1214
y y x x k x x -+===-．
（2）由24x y =，得2
x
y'=．
设33(,)M x y ，由题设知312
x
=，解得32x =，于是(2,1)M ．
设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．
将y x m =+代入2
4
x y =得2440x x m --=．
当16(1)0m ∆=+>，即1m >-
时，1,22x =±
从而12||AB x x -=．
由题设知||2||AB MN =
，即2(1)m +，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 22．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，
21
14122x k x x -
=
=-+， 因为13
22
x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。

（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24
930,
42
kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是
22
43
2(1)
Q k k x k -++=+ 因为
||PA
1
)2
x +
1)k +
||PQ
= )Q x x -
=2
，
所以
||||PA PQ =3(1)(1)k k --+
令()f k =3
(1)(1)k k --+， 因为
2()(42)(1)f k k k '=--+，
所以()f k 在区间1(1,)2
-上单调递增，1(,1)2
上单调递减，
因此当12k =时，||||PA PQ 取得最大值27
16
．
23．【解析】（Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2
t p
t P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2
t p t N ，ON 的方程为x t
p y =，
代入px y 22
=整理得022
2
=-x t px ，解得01=x ，p
t x 2
22=，
因此)2,2(2t p t H ．所以N 为OH 的中点，即2|
|||=ON OH ． （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t
p t y 2=
-，即)(2t y p t
x -=.
代入px y 22
=得0442
2=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个
公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.
24．【解析】（Ⅰ）由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且
22111(,),(,),(,),(,),(,)222222
a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
. 所以FQ AR ∥.
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=
∆∆. 由题设可得1112222
a b
b a x -⨯
--=，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为12
-=x y .
25．【解析】(Ⅰ)由题意得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线1x =-的距离．
由抛物线的第一得
12
p
=，即2p =. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为2
4,(1,0)y x F =，可设2(,2),0,1A t t t t ≠≠±.
因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF 1x sy =+,()0s ≠,由241y x
x sy ⎧=⎨=+⎩
消去x 得
2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B t
t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭.
又直线AB 的斜率为212t
t -，故直线FN 的斜率为212t t --，
从而的直线FN ：()2112t y x t -=--，直线BN ：2
y t
=-，
所以22
32,1t N t t ⎛⎫
+- ⎪-⎝
⎭， 设M (m ,0)，由A ，M ，N 三点共线得：222
2
2
2231
t t t t t m t t +
=
+---， 于是2
221
t m t =-，经检验，0m <或2m >满足题意.
综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞U .
26．【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为()y k x t =-．
所以()
2
14
y k x t y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y ．整理得：2
440x kx kt -+=． 因为直线PA 与抛物线相切，所以2
Δ16160k kt =-=，解得k t =. 所以2x t =，即点2
(2,)A t t ．设圆2C 的圆心为(0,1)D ， 点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点,B O 关于直线PD 对称，
故有0
00
01220y x t x t y ⎧=-+⎪
⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++．即点222
22(,)11t t B t t ++．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AP =， 直线AP 的方程为2
0tx y t --=， 所以点B 到直线PA
的距离为2d =
．
所以PAB ∆的面积为3
122
t S AP d =⋅=．
27．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得||22
p
AF =+
． 因为||3AF =，即232
p
+
=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为2
4y x =．
（Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 2
4y x =上，
所以m =±
(2,A ．
由(2,A ，()F 1,0可得直线F A
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，
解得2x =
或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()
G 1,0-，
所以()G 0213k A
-=
=--
，()G 01312
k B ==---，
所以G G 0k k A B +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线,GA GB 的距离相等，
故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ． 因为点(2,)A m 在抛物线E ：2
4y x =上，
所以
m =±(
2,A ． 由(2,A ，()F
1,0可得直线F A 的方程为)1y
x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，
解得2x =
或12x =，从而1
(,2
B ．
又(1,0)
G -，故直线G
A 的方程为30y -+=，
从而r =
=
． 又直线
GB 的方程为30y ++=，
所以点F 到直线GB
的距离d r =
=
=． 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 28．【解析】（Ⅰ）由题意知(
,0)2p F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4
p t
+ 因为FA FD =，由抛物线的定义可知322
p p
t +=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去） 由
234
p t
+=，解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知(1,0)F ，设0000(,)(0)A x y x y ≠．(,0)(0)D D D x x > 因为FA FD =，则011D x x -=+，
由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，故直线AB 的斜率0
2
AB y k =- 因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02
y y x b =-
+，代入抛物线的方程得200880b
y y y y +-=，
由题意20064320b y y ∆=
+=，得0
2
b y =- 设(,)E E E x y ，则200
44
,E E y x y y =-
= 当2
04y ≠时，0020044
E AE E y y y
k x x y -=
=--，
可得直线AE 的方程为0002
04()4
y y y x x y -=
--，由2
04y x =， 整理得0
2
04(1)4
y y x y =
--，直线AE 恒过点(1,0)F 当2
04y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F ．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线AE 过定点(1,0)F ， 所以0000
11
(1)(
1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++。

设直线AE 的方程为1x my =+，因为点00(,)A x y 在直线AE 上 故001x m y -=
．设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2
y
y y x x -=-- 由于00y ≠，可得0022x y x y =-
++，代入抛物线的方程得200
8
840y y x y +--= 所以0108y y y +=-
，可求得1008y y y =--，100
4
4x x x =
++
所以点B 到直线AE 的距离为
d =
则ABE ∆
的面积0011
2)162S x x =
⨯++≥， 当且仅当
00
1
x x =即01x =时等号成立， 所以ABE ∆的面积的最小值为16．
29．【解析】（Ⅰ）在1C ，2C 方程中，令0y =，可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆
1C 的左右顶点，
设1C 的半焦距为c
，由
c a =及222
1a c b -==，解得2a =，所以2a =，1b = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆1C 的方程为2
21(0)4
y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2
2
2
2
(4)240k x k x k +-+-= （*）
设点P 的坐标(,)P P x y ，由韦达定理得2
224P B k x x k +=+
又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284
P k
y k -=+
所以点P 的坐标为22
248(,)44
k k
k k --++． 同理，由2
(1)(0)1(0)
y k x k y x y =-≠⎧⎨
=-+≤⎩得点Q 的坐标为2
(1,2)k k k ---- 22(,4)4
k
AP k k ∴=+u u u r ，(1,2)AQ k k =-+u u u r
AP AQ ⊥Q ，0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r ,即2
2
2[4(2)]04
k k k k --+=+
0k ≠Q ，4(2)0k k ∴-+=，解得8
3
k =-
经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8
(1)3
y x =--
30．【解析】
（Ⅰ）依题意2
d =
=
，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =．
（Ⅱ）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ， 由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x ． ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2
11
1x x x y y -=
-， 即21112
1
2x y x x y -+=
． ∵2
114
1x y =
， ∴112y x x y -=．
∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101
02
y x x y -=
. ① 同理， 202
02
y x x y -=
. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x x
y -=002
. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x x
y -=
002
，即00220x x y y --=． （Ⅲ）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++
联立2004220
x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()222
00020y y x y y +-+=，
22
12001202,y y x y y y y ∴+=-=
0020x y --=Q
()2
222
00000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++
2
2
0019=22+5=2+22y y y ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭
∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9
2
．
31．【解析】（Ⅰ）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
1
22
ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔=
圆F 的方程为2
2
(1)8x y +-=
（Ⅱ）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p F 点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3,)2p A
，直线3:02p p p m y x x -
=
+⇔+=
22
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点(
,)36p P
直线:()06336
p n y x x p -
=-⇔-= 坐标原点到,m n
距离的比值为
:326
=． 32．【解析】（Ⅰ）设(,)M x y ，由已知得(,3)B x -，(0,1)A -． 所以MA uuu r =(,1)x y ---， MB uuu r =(0，3y --)， AB uu u r
=(x ，-2).
再由题意可知（MA uuu r +MB uuu r ）• AB uu u r
=0， 即（x -，42y --）• (x ，－2)=0．
所以曲线C 的方程式为2
124
y x =
-．
（Ⅱ）设00(,)P x y 为曲线C ：2124y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为01
2
x ，
因此直线l 的方程为0001()2
y y x x x -=-，即2
000
220x x y y x -+-=． 则O 点到l
的距离2
d =
．又2
00124
y x =
-，所以
2
014
12,2x d +==≥
当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2．。