六年级奥数总复习-教师版(一……六讲)修改版

第一讲 分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通
项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利
用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨
一、裂项综合 (一)、“裂差"型运算 (1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面,即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1
(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有:
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数）的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11
a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2)
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的"，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

（三)、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1
(1)(1)3
n n n =
-⨯⨯+ (2) 1
123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+
二、换元
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
0.9a =
； 0.99
ab =； 0.09910990ab =⨯=
； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：
例：
110=1
12020+
=()()11+=()()11+=()()11+=()()
11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==+
+++=11
A B
+ 本题10的约数有：1,10,2，5。

例如:选1和2,有:
11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=++++ 本题具体的解有:
1111111111011110126014351530
=+=+=+=+ 例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】
11111
123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫
=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=
【巩固】 333
(1234234517181920)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式1111111
3[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
113192011139
1231819201819206840⨯⨯-=-==
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 2】 计算:5719
1232348910
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同,而是成等差
数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4,6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式3234
316
123234
8910
+++=
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
111128321232348910123234
8910⎛⎫⎛⎫
=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
31111111122129102334
910⎛⎫⎛⎫
=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭
3111122290210⎛⎫⎛⎫
=
⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7114605=-- 2315=
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以
()()()()()()
2323
121212n n n n n n n n n +=+
⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()
2
12n n +⨯+与
()()
3
12n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【巩固】 计算:57
1719
1155234345
891091011⨯++
+
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（
）
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719
234345891091011++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知523=+,734=+,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
571719
234345891091011++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2334910
23434591011+++=+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111
342445*********
=++++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1
11111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
1111
11111111111113445
10112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155
= 所以原式31
115565155=⨯=．
【巩固】 计算：34512
12452356346710111314
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、
分母都乘以分子中的数．即：
原式222
2
34512123452345634567
1011121314
=+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公
式：2
3154=⨯+，2
4264=⨯+，2
5374=⨯+……
【解析】 原式2222
345121234523456345671011121314=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15426437410144
1234523456345671011121314
⨯+⨯+⨯+⨯+=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111234345456
1112134444123452345634567
1011121314⎛⎫=++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫
+++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
1111111223343445111212131111111234234523453456
1011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
⎛⎫+-+-++- ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯1175
8308616=-=
【例 3】 12349
223234234523410
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式12349
223234234523410=+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 213141101
22323423410----=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111
12223232342349234910
=-+-+-++-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 13628799
12349103628800
=-=
⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 1111
11212312100
++++
++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手,
通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112
(11)1112
2
==+⨯⨯，
112(12)21223
2==+⨯+⨯，……， 原式2222120099
2(1)1
122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)
++++
⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋50
12251275⨯
＝（11-13)＋（13-16）＋(16-110)＋（11225-
11275)＝12741275 【巩固】 234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++
【解析】 2111(12)112=-⨯++，311
(12)(123)12123
=-+⨯+++++，……，
10011
(1299)(12100)129912100
=-+++⨯+++++++++，所以
原式1
112100=-+++
15049
150505050
=-=
【巩固】 23
10
1112(12)(123)(1239)(12310)
-
---
⨯++⨯+++++
+⨯+++
+（）
【解析】 原式23410
1()133********
=-++++⨯⨯⨯⨯
11111
1111336610
4555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭
11155⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
155= 【例 5】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22
()()a b a b a b -=-⨯+，
原式111111
()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214
=-⨯= 【巩固】 计算：2222222235715
12233478++++
⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式22222222
22
2222222132438712233478
----=++++⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478=-+-+-++-
2118
=-63
64= 【巩固】 计算：2
2222222223151711993119951
3151711993119951
++++++++++=----- ．
【解析】 原式22222
22222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222997244619941996⎛⎫
=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭
111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1
199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭997997
1996= 【巩固】 计算：2222
1235013355799101
++++=⨯⨯⨯⨯ ．
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为2
21-，
241-,261-，……,21001-,可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以
4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式222
22
222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭
222211111111142141611001⎛⎫
=⨯++++++++
⎪----⎝⎭
11111504133557
99101⎛⎫
=⨯+++++
⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
1111111
115014233557
99101⎡⎤⎛⎫=
⨯+⨯-+-+-++
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
11150142101⎡⎤⎛⎫=
⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
150504101=⨯6312101= 【巩固】 224466881010
133********
⨯⨯⨯⨯⨯++++
⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 （法1)：可先找通项22211
1111(1)(1)
n n a n n n n ==+=+
---⨯+ 原式11111
(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯
11555(1)552111111
=+⨯-=+=
（法2）：原式288181832325050
(2)()()()()3355779911
=-+-+-+-+-
61014185065210453579111111
=++++-=-=
【例 6】 111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999
+++
++⨯++⨯+⨯⨯+ 【解析】 11
211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312
n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++
原式＝11111111()()()()223344519992000⎡⎤-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦＝1000999100011=- 【巩固】 计算:111
112123122007
+++⋯
+++++⋯ 【解析】 先找通项公式1211
2()12(1)1n a n n n n n ===-++⨯++
原式111
12(21)3(31)2007(20071)
222
=++++⨯+⨯+⨯+
2222
12233420072008
=++++
⨯⨯⨯⨯ 200722008=⨯ 20071004= 【巩固】 1111
33535735721
++++
+++++++ 【解析】 先找通项：()()
()111
1352122132
n a n n n n n ===+++++⨯++⨯，
原式111111
132435469111012
=++++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1
111111335
91124461012⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
11111121112212⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 175264= 【例 7】 12123123412350
2232342350
++++++++++⨯⨯⨯⨯
++++++ 【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)21
2
n n n
n n a n n n n +⨯⨯+==
+⨯⨯+--
原式23344556
23344556
4101828
14253647
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项,所以有
原式2334455648494950505114253647475048514952⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯35023
215226=⨯= 【例 8】 2222222222222
33333333333
33
1121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【解析】
22222333(1)(21)
122212116()(1)123(1)31
4
n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++ 原式=211111111
[()()()()]31223342627⨯+-+++-+=2152(1)3
2781⨯-=
【巩固】 222
1111112131991⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 22
221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==+-+-⨯+
原式223398989999
(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999929949131425364999710098110050
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 9】 计算：2222222399
2131991
⨯⨯⨯=---
【解析】 通项公式:()()()()()
22
1111112n n n a n n n n ++==
+++-+，
原式22334498989999
(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯
+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 2233445598989999
31425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯29999110050
=⨯= 【巩固】 计算：222
222129911005000220050009999005000
+++=-+-+-+
【解析】 本题的通项公式为2
21005000
n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母
()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦,可以看出如果把n 换成
100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个
2
2505050005000
-+．将项数和为100的两项相加，得
()()()()22
2222222100100220010000
2100500010050001005000
1001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+，
所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）
【例 10】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2222221021121111212015
4132124
【解析】 虽然很容易看出321
⨯＝3121-，541⨯＝5
141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项
那样能消去很多项．我们再来看后面的式子,每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有
)12()1(6
32112
222+⨯+⨯++++n n n n
＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？
⎪
⎭⎫
⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2222221021121111212015
4132124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯21111015321321162120154132124 ＝⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯212220156413421242120154132124
＝⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯2122201212015641541342132124
＝⎪⎭⎫
⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2220164142124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯111013212116 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯11116＝1160．
模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：3333333313579111315+++++++
【解析】 原式()3333
33333123414152414=++++
++-++
+
()
()2
23331515181274
⨯+=
-⨯++
+
22576002784=-⨯⨯
8128=
【巩固】 132435911⨯+⨯+⨯+⨯ 【解析】 原式()()()()()()21213131101101=-++-++
+-+
()()()()()2222222222213110123109
1231010
101121
103756
=-+-++-=+++-=++++-⨯⨯=
-=
【巩固】 计算:1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯
【解析】 原式()()()()2222221331441991=⨯-+⨯-+⨯-+
+⨯-
()333323492349=++++-++++
()()2
123912349=+++
+--+++
+
245451980=-=
【例 12】 计算：23456111111
1333333
++++++
【解析】 法一:利用等比数列求和公式。

原式71113113
⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
-
713264
11
32729⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
法二：错位相减法．
设234561111111333333
S =+
+++++ 则23451111133133333S =++++++,61333S S -=-，整理可得364
1729
S =．
法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3,与公比4差1， 所以可以采用“借来
还去"的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，
2345622222222333333S =+
+++++,则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=，整理得到364
1
729S =． 【例 13】 计算：22222222(246100)(13599)
12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
【解析】 原式2
22222222
(21)(43)(65)(10099)
10-+-+-+⋅⋅⋅+-=
(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)
100
+⨯-++⨯-++⨯-+⋅⋅⋅++⨯-=
12349910050501501001002++++⋅⋅⋅++===
【巩固】 ⑴()2
314159263141592531415927-⨯=________;
⑵2
2
1234876624688766++⨯=________．
【解析】 ⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设31415926a =,
原式()()()
2
2
2
1111a a a a a =--+=--=
⑵ 原式22
12348766212348766=++⨯⨯
()2
21234876610000100000000=+==
【巩固】 计算:22222221234200520062007-+-++-+
【解析】 原式2222222
2007200654321=-++-+-+ (20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)1=-⨯++-⨯+++-⨯++ 2007200620052004321=+++++++
()1
20071200720150282
=⨯+⨯=
【例 14】 计算：2222222222
12233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+
⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式2222222222
122334452000200112122323343445452000200120002001=++++++++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1223344520002001
2132435420012000=++++++++⋅⋅⋅++
2132435199920012000()()1223344200020002001
⎛⎫⎛⎫=+++++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 200020002000
222224000
20012001=++++⋅⋅⋅++=个2相加
【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．
【解析】 原式()()20078.5 1.58.5 1.5101600.3=-+-÷÷-⎡⎤⎣⎦()2007108.5 1.5101600.3=-⨯-÷÷-⎡⎤⎣⎦
()200771600.3=-÷-12.50.3=-12.2= 【巩固】 计算：53574743⨯-⨯= ．
【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差,但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式()()()()552552452452=-⨯+-+⨯-(
)2
2
2
2
552452
=---
()()225545554555451000=-=-⨯+=
【巩固】 计算：1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯= ． 【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式(
)()()()2
2
2
2
2
2
2
2154
15315215
1=-+-+-+-
()2
2
2
2
2
1541234=⨯-+++
90030870=-= 其中2222
1234+++可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
()()2221
121216
n n n n +++=++进行计算．
【巩固】 计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯= ． 【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式()()()()()()5049504950485048501501=-⨯++-⨯+++-⨯+
()()()22222250495048501=-+-++-
()222250491249=⨯-+++ ()222250491249=⨯-++
+
21
50494950996
=⨯-⨯⨯⨯
2
5049492533=⨯-⨯⨯ ()492510033=⨯⨯-
492567=⨯⨯
82075=
【巩固】 看规律 32
11=,332123+=，33321236++=……，试求3 3.36714+++
原式()()
3 3.33 3.3
1214125=+++-+++()()221231412345=++++-++++
()()22105151051510515=-=-+9012010800=⨯=
【例 16】 计算：1111111111
(1)()(1)()2424624624+
+⨯++-+++⨯+ 【解析】 令1111246a +++=，111
246
b ++=，则：
原式11
()()66a b a b =-⨯-⨯-
11
66ab b ab a =--+
1()6a b =-11
166=⨯=
【巩固】 11111111111111
(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++
【解析】 设111234a =++，则原式化简为：111
1(1555
a a a a +(+)(+)-+)=
【巩固】 11
1111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 设111111213141a +++=，111
213141
b ++=，
原式115151a b a b ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
115151
ab a ab b =+--
1
()51a b =
- 111
5111561=⨯=
【巩固】 1111111111111111
())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（
【解析】 设111157911A +++=，111
7911
B ++=，
原式111313A B A B ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
1313A B A A B B =⨯+-⨯-
()1
13
A B =-
111
13565
=⨯=
【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 设1111
12345
A ++++=,11112345
B +++=
原式=1166A B A B ⎛
⎫⎛⎫⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166A B A A B B ⨯+⨯-⨯-⨯=1166A B ⨯-⨯ 16=⨯(A B -)16=
【巩固】 2
123
9123911292391234
1023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 设123923410t =++++，则有2
2211111(1)222222t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+⨯-+-=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
【巩固】 21239123911239239
()()(1)()23410234102234103410
+++++++++⨯-+++++⨯+++
【解析】 设123923410t =++++,则有222
11111(1)()()222222
t t t t t t t t t +⨯-+-=+-+--=
【巩固】 计算11
11
2111
3111
43114120092009
+
++
++
++
++
+
【解析】 设3N =+11412009++. 原式=112N ++11111N
+
+=121N N ++111N N ++ =1
12121N N N N ++=++。

【巩固】 （7.88 6.77 5.66++）⨯（9.3110.9810++）-（7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)
【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+， 则原式a =⨯（10b +)-（10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯ (a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯= 【巩固】 计算(10.450.56++）⨯(0.450.560.67++）-(10.450.560.67+++）⨯（0.450.56+) 【解析】 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，
有原式=（1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=
模块三、循环小数与分数互化
【例 17】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．
【解析】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈
方法二：0.1+0.125+0.3+0.161131598990=+++111188=+53
0.736172
==
【巩固】 ⑴ 0.540.36+= ；
⑵
19
1.21.2427•••⨯+=
【解析】 ⑴ 法一：原式54536494899
90999011990
-=+=+=
． 法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是··
0.908，化为分数即是
9089899
990990
-=
． ⑵ 原式22419111231920
1199927999279
=⨯+=⨯+=
【巩固】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++
【解析】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++
1121232343787898
909090909090-----=+++++
11121317181909090909090
=+++++= 216
90 方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09+++++
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)⨯ 1
2.12790
=+⨯
2.10.3 2.4=+=
【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++ (2）0.3300.186⨯
【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=+++291375521191999990+-=+666330
1999990=+=
（2）原式3301861999990-=⨯330185999990⨯=⨯5
81
=
【例 18】 某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0。

3。

则正确结果该是多少？ 【解析】 由题意得：1.23 1.230.3a a •-=,即：0.0030.3a •=，所以有:33
90010
a =．解得90a =，
所以111
1.23 1.23909011190
a ••=⨯=⨯=
【巩固】 将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？
【解析】 0.027×0.1796722717967211796724856
0.00485699999999937999999999999
=⨯=⨯==
循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．
【例 19】 有8个数，0.51，23，59，0.51,2413
,4725
是其中6个,如果按从小到大的顺序排列时,第4个数是0.51
，那么
按从大到小排列时，第
4
个数是哪一个数？
0.5444440.3636360.908080
+
【解析】 2=0.63，5=0.59,24
0.510647
≈，13=0.5225
显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6即241352
<051<0.51<<<472593
，
8个数从小到大排列第4个是0.51，所以有241352
<<<0.51<0.51<<<472593
口口．
（“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51．
【例 20】 真分数7
a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少？
【解析】 1=0.1428577， 27=0.285714，37=0.428571,47=0.571428,57=0.714285， 6
7
=0.857142．因此，
真分数7
a
化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……
21，27-21=6，而6=2+4,所以.=0.8571427
a
，即6a =．
【巩固】 真分数7
a
化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？
【解析】 我们知道形如7
a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字
的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。

()903912457833421÷+++++=，而21276=-,所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，
经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该
为6
7
,所以6a =. 【巩固】 真分数7
a
化成循环小数之后,小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？
【解析】 我们知道形如7
a
的真分数转化成循环小数后,循环节都是由6位数字组成，200963345÷=,因此只需判
断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =.
【例 21】 2002
2009和1287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________。

【解析】 如果将2002
2009
和1287转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们
发现20021
12009287
+=，而10.9⋅=，则第100位上的数字和为9.
【巩固】 纯循环小数0.abc 写成最简分数时，分子和分母的和是58,则三位数_________abc =
【解析】 如果直接把0.abc 转化为分数,应该是999
abc
，因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们将999分解质
因数得： 3
999337=⨯，这个最简分数的分母应小于58，而且大于29,否则该分数就变成了假分数了,符合这个要求的999的约数就只有37了，因此,分母应当为37，分子就是583721-=,也就是说
21
0.999372737
abc abc abc ===
⨯，因此2127567abc =⨯=. 【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）()()()()()()()()
11111111111102020=+=+=+=+=+
； (2)
()()
111
10=-
【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ,有：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B
+==+=++++，
从分母n 的约数中任意找出两个m 和n (m n >）,有:
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B -==-=---- （1) 本题10的约数有：1,10，2，5．
例如：选1和2，有：1121211
1010(12)10(12)10(12)3015
+==+=+⨯+⨯+⨯+；
从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m 和n ，它们的数值虽然不同,但是如果m 和n 的比值相同，
那么最后得到的A 和B 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有2
4410C +=种,但是其中比值
不同的只有5组：(1,1)；（1，2）;(1,5)；（1,10)；（2，5),所以本题共可拆分成5组．具体的解如下:
11111111111
10202011110126014351530
=+=+=+=+=+
． （2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
152********(52)10(52)10(52)615
-==-=-⨯-⨯-⨯- 另外的解让学生去尝试练习．
【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
()()()()()()
1111111
10=--=++
【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1,表示成连减式521--和连加式521++．
则:()()()()()()
11111111041020804016=--=++ 如果选10、5、2，那么有:
1111111103615173485
=--=++． 另外,对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差,这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
()()()111110=++，根据前面的拆分随意选取一组,比如111
101260
=+
，再选择其中的一个分数进行拆分，比如
1111213156=+，所以1111
101360156=++
． 【例 23】 ()()()()()()()()()()
11111111111
45=+=-=++=--
【解析】 ()()()()()()()()()()
11111111111
457212018304051358191545=+=-=++=--
【巩固】 110=()()1
1--()1=()()()111++
【解析】 ()()()()()()
1111111
1041020804016=--=++
注：这里要先选10的三个约数,比如5、2和1,表示成连减式5—2—1和连加式5+2+1.
【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________.
【解析】 小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和等于
11621531489()()()()81717171717171717++++++++==
171
2
-. 类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。

因此，所求的和是
1315171111131171191231291
2222222222---------+++++++++
11123568911145922
=+++++++++= 【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_________。

【解析】 因为1996=2×2×499。

所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，499与3×499。

因此，分母为1996的所有最简真分数之和是
11995319935011495997999()()()()11149819961996199619961996199619961996++++++++=++⋯+= =11235689112++++++++=1592
【例 25】 若111
2004a b
=+,其中a 、b 都是四位数,且a<b,那么满足上述条件的所有数对（a ，b)是
【解析】 2004的约数有：1,2004,2，1002,3,668，4,501，满足题意的分拆有：
11211
20042004(12)2004(12)60123006=+=+
++ 11311
20042004(13)2004(13)80162672=+=+
++ 12311
20042004(23)2004(23)50103340=+=+
++ 13411
20042004(34)2004(34)46763507
=+=+
++ 【巩固】 如果111
2009A B
=-，A
B ，均为正整数，则B 最大是多少? 【解析】 从前面的例题我们知道,要将1N 按照如下规则写成11
A B
-的形式：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B
-==-=----，其中m 和n 都是N 的约数.如果要让B 尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n 尽可能地小而m 尽可能地大，因此应当m 取最大的约数，而n 应取最小的约数，因此2009m =，1n =，所以20092008B =⨯。

课后练习:
练习1.
123456
121231234123451234561234567
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式131********
121231234123451234561234567-----=+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111
121212312312341234567=+-+-+-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111
12121234567
=+-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1
15040=-
5039
5040=
练习2. 12389
(1)(2)(3)(8)(9)234910
-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-
【解析】 通项为：2
(1)111
n n n n n n a n n n n +-=-==
+++， 原式22222
123489346789362882345910=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
练习3. 计算：3333
13599++++=___________．
【解析】 与公式()()2
22
33
3112124
n n n n +++
+=++
=
相比,333
313599+++
+缺少偶数项，所以可以先补
上偶数项． 原式(
)()33
3
333312310024100=+++
+-+++
()2233331
100101212504
=⨯⨯-⨯+++
2232211
1001012505144=⨯⨯-⨯⨯⨯ ()
22250101251=⨯-⨯
12497500=
练习4. 计算：1
111111111112
200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 令111232007a =+++，111
232008
b =+++，
原式()()1
112008
a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-=
练习5. ⑴ ····110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭
； ⑵ ()
2.2340.9811-÷ （结果表示成循环小数）
【解析】 ⑴原式151218231190
9909111--⎛⎫=+⨯⨯ ⎪
⎝⎭371111
123456790.01234567999311181999999999=⨯⨯=== ⑵23422322.23422990990-==，98
0.9899
=，所以23298242222.2340.982119909999090-=-==，
()
2212
2.2340.98111110.090.020.113901190
-÷=÷=+=+=
月测备选 【备选1】计算:
23
99
3!4!
100!
+++
= . 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式2399
1231234123100=+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31411001
1231234123100---=+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111
12123123123412399123100=-+-++-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯11
2100!=-
【备选2】计算：22222222
1223200420052005200612232004200520052006++++++++
⨯⨯⨯⨯ 【解析】 (法1）：可先来分析一下它的通项情况, 2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+⨯+⨯+⨯++
原式= 213243542005200420062005
()()()()()()122334452004200520052006
++++++++++++
20052005
200524010
20062006
=⨯+= （法2)：22222(1)22111
22(1)(1)
n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+
【备选3】计算:333
12320061232006
+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
【解析】 原式()2
12320061232006+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1232006=+++⋅⋅⋅+()1
2006200612
=⨯⨯+2013021=
【备选4】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 令621739458
126358947
a ++=;
739458358947b +=，
原式
378378
207207
a b a b
⎛⎫⎛⎫
=⨯+-+⨯
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()3786213789
207126207
a b
=-⨯=⨯=
【备选5】计算
2009200911
99900999909901
⎛⎫
-⨯
⎪
⎝⎭
(结果表示为循环小数）
【解析】由于
1
0.00001
99900
=，
1
0.00001
99990
=，
所以
11
0.000010.000010.00000000900991 9990099990
-=-=，
而9009917139901919901
=⨯⨯=⨯,
所以，
200920091111
0.000000009009912009 999009999099019901⎛⎫
-⨯=⨯⨯
⎪
⎝⎭
0.000000000000911120090.0000000000100120090.00000002011009
=⨯⨯=⨯=
第二讲比和比例
教学目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化;
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
知识点拨：
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c:d,则(a + c)：(b + d)= a:b=c：d；
性质2：若a: b=c：d,则(a - c):（b - d）= a：b=c：d;
性质3：若a: b=c：d，则（a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数）
性质4:若a: b=c：d，则a×d = b×c;（即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k（k为常数），则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k（k为常数），则称a、b成反比．
二、主要比例转化实例
①x a
y b
=⇒
y b
x a
=;
x y
a b
=；
a b
x y
=；
②x a
y b
=⇒
mx a
my b
=；
x ma
y mb
=（其中0
m≠）;
③x a
y b
=⇒
x a
x y a b
=
++
;
x y a b
x a
--
=；
x y a b
x y a b
++
=
--
；
④x a
y b
=，
y c
z d
=⇒
x ac
z bd
=；::::
x y z ac bc bd
=；
⑤ x 的
c a 等于y 的d
b
，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ．
三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配
例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量
与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx
a b
+个。

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如:两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >），数量差为x ，那么A 的元素数量为ax
a b
-，B 的
元素数量为bx
a b
-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”.题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”,转化成统一的单位“1”,使数量关系简单化，达到解决问题的效果。

在解答分数应用题时，要注意以下几点:
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的,一般要选择不变量为单位“1".
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例,还是成反比例。

找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系,也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题 例题精讲：
模块一、比例转化
【例 26】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的13，乙等于甲、丙两数和的1
2
,丙等于甲、乙两
数和的5
7
，求::甲乙丙.
【解析】 由甲等于乙、丙两数和的13，得到甲等于三个数和的11
3+14
=，同样的乙等于甲、丙两数和
的112+13=，同样的丙等于甲、乙两个数和的557512=+ ,所以115::::3:4:54312
==甲乙丙． 【例 27】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的2
3
、乙的2倍、丙的
一半这三个数的比为多少？
【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的2
3这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为
()121:12:123⎛⎫⎛⎫
÷÷÷ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
即132::22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()214:12:332⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即8
3:2:3
2，化简为16:12:9.
【例 28】 如下图所示,圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的4
5
，且圆A 中的阴影部分面积占圆A 面积
的1
6
，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的15，圆C 的阴影部分面积占圆C 面积的13．求圆A 、圆
B 、圆
C 的面积之比．
【解析】
设A 与B 的共同部分的面积为x ,A 与C 的共同部分的面积为y ，则根据题意有
()()564A B C x y =
+=+,5B x =，3C
y =，于是得到()56453B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
，这条式子可化简为
15B C =，所以()5
204
A B C C =+=.最后得到::20:15:1A B C =。

【例 29】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比
是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．
【解析】 以总人数为1,则甲组男会员人数为103310873110⨯=+++,女会员为311
10310
⨯=，
乙组男会员为8511087535⨯=+++，女会员为133
5525
⨯=
;丙组男会员为33113+210510⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，女会员为21393+2102550⎛⎫-+=
⎪⎝⎭；所以,丙组中男、女会员人数之比为19
:5:91050
=． 【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比. 【解析】 （法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度,仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了
60%，
所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%⨯=,所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%40%450%÷=，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19:2=．
(法二）两个工程队完成的工程任务(修建公路长度）之比等于工作效率之比,等于3:1，而他们分别完成了
各自任务的40%和60%,所以两个工程队承包的修建公路长度之比为()()340%:160%9:2÷÷=．
【例 30】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组,甲组人数与乙、丙两组人数
之和一样多,各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1,那么丙组有多少名男会员？ 【解析】
会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人,可设丙组人数为x 人，则乙组人数为()50x -人，又已知甲组男、女会员比为12:13,则甲组男、女会员
人数分别为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：52
24(50)5683
x x +-+=,
解得18x =．即丙组会员人数为18人,又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为2
18123
⨯=人．
【例 31】 (2007年华杯赛总决赛）A 、B 、C 三项工程的工作量之比为1:2:3,由甲、乙、丙三队分别承
担．三个工程队同时开工,若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一,丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 【解析】
根据题意，如果把A 工程的工作量看作1，则B 工程的工作量就是2，C 工程的工作量就是3．
设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x 、y 、z 。

经过k 天,则：
()()()
22133213kx ky ky kz
kz kx =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
将⑶代入⑵，得()243kx
ky +=
,
将⑷代入⑴，得2223kx kx +=-，4
7x k
=，
将47x k =代入⑴，得67y k =．代入⑶，得3
7z k
=．
甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是463
::4:6:3777k k k
=．
【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的
人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？ 【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人
获奖．由③知两校获二等奖的共有(6050)20%22+⨯=人；由⑤知甲校获二等奖的有22(4.51) 4.518÷+⨯=人；由④知甲校获一等奖的有606050%1812-⨯-=人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为1250100%24%÷⨯=．
【例 32】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总
数多1;③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？ 【解析】 如下表所示,由②知,一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1;由③知，四至九班的男
数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5:4．
模块二、按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
【例 33】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，
求一共有多少个苹果? 【解析】
一共有()()1613111311192÷-⨯+=个苹果.
【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的
藏书数量.
【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的3346++、4
346
++、
6346++，所以小新拥有的藏书数量为3
5212346
⨯=++本，小志拥有的藏书数量为
4
5216346
⨯=++本,小刚拥有的藏书数量为65224346⨯
=++本. 【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元,甲、乙所捐资的。