重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共12个题，每小题4分，共48分）
1．（4分）以下国产电动汽车标志中，不是轴对称图形的是 A ．B ．
C ．
D ．
2．（4分）下列各式计算正确的是 A ．B
．
C ．D
3．（
4分）从我校4月30日的春季运动会中，抽取了甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，这3位同
学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是 A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．无法确定
4．（4分）用配方法解方程，配方结果正确的是 A ．B ．C ．D ．5．（4分）下列命题正确的是 A ．对角线相等的平行四边形是菱形B ．平行四边形的两条对角线互相垂直
C ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D ．有三个角为直角的四边形为矩形
6．（4分）已知点、、在关于的一次函数的图象上，则，，的大小关系是 A ．B ．C ．D ．7．（4分）如图，点的坐标为，点在直线上运动，则线段的最短长度为 ()
()222()a b a b -=-22
211
x x x -=--1|2|20--+
=4
÷=2 2.5s =甲
2
1.0s =乙2 4.5s =丙()2470x x +-=()2(4)23
x +=2(2)3
x +=-2(2)11
x +=2(4)9
x +=()1(1,)y -2(3,)y 3(5,)y x 5y x m =-+1y 2y 3y ()123
y y y >>123
y y y <<213
y y y <<132
y y y >>A (1,0)-B y =+AB ()
A ．
B ．2
C ．
D ．3
8．（4分）甲、乙两人在同一条滨江健身步道上从同一起点沿同一方向匀速慢跑720米，到终点后则停止运动．已知甲先出发2分钟，在整个慢跑过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是 A ．甲慢跑的速度为80米分B ．乙跑完全程用了6分钟C ．的值为9
D ．乙到达终点时，与甲的距离为75米
9．（4分）如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为 A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3
10．（4分）正方形，正方形，正方形按如图方式排列，点、、在直线上，点、、在轴上，则正方形的边长为
y )t )()
/m 16cm 12cm 248cm ()
111OA C B 1222A A C B 2333A A C B ⋯1B 2B 3B ⋯2y x =+1A 2A 3A ⋯x 2023202420242024A A C B ()
A ．
B ．
C ．
D ．11．（4分）如图，菱形的顶点、在直线上，点在轴上，点的坐标为，则点的坐标为 A ．B ．C ．D ．12．（4分）对于整式列，，第一次操作：将中相邻两个整式之和插入，之间，得到新整式列整式列，，；第二次操作：将中相邻两个整式之和依次插入，之间，得到新整式列，，，；类似的，第三次操作后得到新整式列，
，，，；以此类推．现有以下结论：
①第四次操作后的整式列，，，，，；②将整式列中相邻两个整式的乘积之和记为，当时，有；③若中所有整式之和记为，中所有整式之和记为，，中所有整式之和为记为，，若系数不大于1024，则所有符合条件的之和为10．其中正确的结论有 个．A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题（共8个题，每小题4分，共32
分）
20242202422-202322025
2ABCD A D 36y x =--A x C (2,4)B ()
3(4,)
2
-(4,2)
-95(,)
22-9(,2)
2
-:3A x 3m x -A 3x 3m x -1:3A x m 3m x -1A 3x 3m x -2:3A x 3x m +23m x -3m x -3:3A x 6x m +3m 36m x -3m x -⋯4:3A x 9x m +64x m +66m x -49m x -3m x -3A ()F x 2()14F x m =1
6
x m =
1A 1B 2A 2B ⋯n A n B 1231n n n T B B B B B -=⋅⋅⋅⋯⋅n T n ()
13．（4分）若关于的函数是正比例函数，则的值为 ．
14．（4分）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
15．（4分）花园中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中大课间自编操成绩占，体育模块化成绩占，期末体考项目成绩占，小桂同学三项体育成绩（百分制）依次95分、90分、88分，则小桂同学这学期的体育成绩是 分．
16．（4分）如图，直线与直线相交于点，点的纵坐标为4，则关于的不等式的解集为 ．
17．（4分）如图，在中，，，点从点出发，沿射线运动，速度为
，点从点出发，沿线段运动，速度为，连接．、两点同时出发，当点到
达点时，点也停止运动，请问经过 后，的面积恰为．
18．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程
有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 ．19．（4分）如图，中，，为的中点，将沿折叠得，点的对应点为点，连接，与交于点，，则的长为
．
x 73y x a =+-a m 2340x x --=226m m -20%30%50%1:3l y x =+2:l y kx b =+P P x 3kx b x ++…Rt ABC ∆30BAC ∠=︒5BC cm =E A AB 2/cm s F C CA 1/cm s EF E F F A E s AEF ∆212cm x 2(2)420m x x --+=x 3222my y
y y
+=---m ABC
∆AC =D BC ABD ∆AD AED ∆B E CE AE BC F 135BAC AFC ∠=∠=︒AB
20．（4分）若一个四位数的千位数字与个位数字之和为8，百位数字与十位数字之差为2，则称这个四位数为“乐蜀数”，则最大乐蜀数与最小乐蜀数之差为 ，若，，
、、为整数，且，，且、均为“乐蜀数”，记，、
的各个数位的数字之和分别记为、．当为整数，且
取最小值时，的值为 ．
三、解答题（共7个题，22题8分，27题12分，其余每题10分，共70分）21．（10分）解方程：（1）；（2）．
22．（8分）学习了菱形的知识后，爱思考的小蜀同学发现，过平行四边形其中一条对鱼线中点且满足某个特殊条件的直线与平行四边形的一组对边相交于两点，顺次连接这两个交点与刚才那条对角线的两个端点，形成的图形恰好是一个菱形．根据他的思路，完成以下作图与填空．已知：在中，点为对角线上一点，且；
（1）尺规作图：请用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，分别交、于点、，连接、；（保留作图痕迹）
（2）求证：四边形为菱形．证明：在中，① ，
，
在和中，，
，
又，
四边形为平行四边形，
③ ，
四边形为菱形．
通过小蜀的上述探究过程，我们可以得出以下真命题：
5M abc =1000100103N x m n x =++-(x m n 0m …9n …16)x ……M N 22(,)11
M N b n
F M N -+-=
M N ()G M ()G N (,)F M N ()
()
G M G N M N +22(23)9(2)x x -=+261x x -=ABCD O BD OB OD =O BD AD BC E F BE DF BEDF ABCD EDO FBO ∴∠=∠EDO ∆FBO ∆EDO FBO EOD FOB ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩
②
()EDO FBO ASA ∴∆≅∆OE OF ∴=OB OD = ∴BEDF ∴BEDF
过平行四边形④ 的直线与平行四边形的一组对边相交于两点，顺次连接这两个交点与刚才那条对角线的两个端点形成的四边形为菱形．
23．（10分）某校初二年级数学组为了解学生数学错题整理的效果，决定在全年级开展错题重做比赛，数学组选择了近一个月作业中部分易错题，制作了一张比赛测试卷，共100分，张老师为了解、两个班级的易错题整理效果，从、两个班级各随机抽取了10人的测试成绩数据，并对数据进行整理、描述和分析（测试成绩用表示，共分为四个等级：不合格：，合格：，良好：，优秀：，下面给出部分数据信息：
班10名学生的测试成绩：72，60，64，80，86，80，90，98，100，80．班10名学生的测试成绩中，等级为“良好”的所有数据为：82，84，84．
抽取两个班的学生测试成绩统计表：班级平均数中位数众数班8180
班
81
84
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）根据上述图表填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪个班级的错题整理效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3
）根据抽取的两个班的学生测试成绩情况，估计该校初二年级
840名同学中错题整理成绩为“优秀”的有多少名？
24．（10分）如图，四边形中，，，，，连接，点从点出发，沿着折线运动，到点时停止运动，连接，设点的运动路程为，A B A B x 70x <7080x <…8090x <…90100)x ……A B A a
B b
a =
b =m =ABCD //AD BC BC CD ⊥24BC AD ==3CD =AC P B B C D →→D AP P x ACP
∆
的面积为．
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）当的函数图象与直线有两个交点时，请直接写出的取值范围为 ．25．（10分）某智能家电经销商销售、两种智能空调，其中一台种空调的销售价格比一台种空调的销售价格高1500元，已知4月份种空调的销量是
种空调销量的，且4月份种空调的销售总额为120万元，种空调的销售总额为225万元．
（1）请问、两种智能空调的销售单价分别为多少元？
（2）5月份气温回升、该经销商对两种空调进行了降价促销活动，已知种空调降价元、种空调降价元．经销商发现5月的第一周内：种空调的销量就已经与4月份种空调的总销量相同，种空调的销量比4月份种空调的总销量增加了台，5月第一周内、两种空调的销售总额刚好和4月份、两种空调的销售总额相同，请求出的值．
26．（10分）如图1，直线AB 交x 轴于点A （﹣4，0），交y 轴于点B ，且OA ＝OB ，直线BC ：4
交x 轴于点C ，点D 为AB 的中点．（1）求直线CD 的解析式；
（2）如图2，点E 在线段CB 上，过E 作EF ∥y 轴交CD 于点F ，过E 作EG ∥x 轴交AB 于点G ，连接DE ，当
时，求△BED 的面积；
（3）点H （m ，1﹣2m ）为平面内一点，且满足∠ABH ＝∠OBC ，请直接写出点H 的坐标．
y y x x y y 1
2
y x b =
+b A B B A A B 4
5
A B A B A 70a B 100a A A B B 20a A B A B a
27．（12分）如图，等腰中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点，．
（1）如图1，点在上，，，求的长；
（2）如图2，点在延长线上，点为的中点，过点作于点，连接，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，，，点在的延长线上，点在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出
的面积．Rt ACB ∆90ACB ∠=︒AC BC =D CA BD C CF BD ⊥E //AF BD D AC 75CAF ∠=︒4BD =BC D CA F CE F FH BC ⊥H
EH HB HF +=D CA 30CDB ∠=︒4AC =N BA M AC AM BN =BM
DN BM AN -
BDN ∆
2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个题，每小题4分，共48分）
1．（4分）以下国产电动汽车标志中，不是轴对称图形的是 A ．B ．
C ．
D ．
【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项、、中的图形都能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故、、不符合题意；选项中的图形不是轴对称图形，符合题意，故选：．
2．（4分）下列各式计算正确的是 A ．B
．
C ．D
【解答】解：．故本选项不符合题意；．原式
，故本选项符合题意；．，故本选项不符合题意；．原式，故本选项不符合题意；
故选：．
3．（4分）从我校4月30日的春季运动会中，抽取了甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，这3位同
学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是 A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．无法确定
【解答】解：，，，，
()
A B C A B C D D ()2
22()a b a b -=-22
211
x x x -=--1|2|20--+=4
÷=A 222()2a b a ab b -=-+B 2(1)
21
x x -=
=-C 115
|2|2222
--+=+
=D 2==B 2 2.5s =甲
2
1.0s =乙2 4.5s =丙()2
2.5s = 甲
2
1.0s =乙2 4.5s =丙222
s s s ∴ 乙甲丙
这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是乙．
故选：．
4．（4分）用配方法解方程，配方结果正确的是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：，
，，
，故选：．
5．（4分）下列命题正确的是 A ．对角线相等的平行四边形是菱形B ．平行四边形的两条对角线互相垂直
C ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D ．有三个角为直角的四边形为矩形
【解答】解：、对角线垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；、平行四边形的两条对角线互相平分，原命题是假命题；
、一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
、有三个角为直角的四边形为矩形，是真命题；
故选：．
6．（4分）已知点、、在关于的一次函数的图象上，则，，的大小关系是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：对于一次函数，
，
随的增大而减小，，
∴B 2470x x +-=()2(4)23
x +=2(2)3
x +=-2(2)11
x +=2(4)9
x +=2470x x +-=247x x +=24474x x ++=+2(2)11x +=C ()A B C D D 1(1,)y -2(3,)y 3(5,)y x 5y x m =-+1y 2y 3y ()123
y y y >>123
y y y <<213
y y y <<132
y y y >>5y x m =-+50k =-< y ∴x 531>>-
故；
故选：．
7．（4分）如图，点的坐标为，点在直线上运动，则线段的最短长度为 A ．B ．2C ．D ．3
【解答】解：点在直线上运动，最短线段所在直线解析式的
，
设最短线段所在直线解析式为，
将坐标代入解析式得：
直线的解析式为：．
如图，两条直线的交点正好在轴上，即，
最短线段．
故选：．
8．（
4分）甲、乙两人在同一条滨江健身步道上从同一起点沿同一方向匀速慢跑720米，到终点后则停止运动．已知甲先出发2分钟，在整个慢跑过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是
321y y
y <<A
A (1,0)-
B y =+AB () B y =+∴k y b =+(1,0)A -b =∴AB y y B 2AB ===B y )t )()
A ．甲慢跑的速度为80米分
B ．乙跑完全程用了6分钟
C ．的值为9
D ．乙到达终点时，与甲的距离为75米
【解答】解：由题意可知，甲慢跑的速度为（米分），
正确，不符合题意；
设乙的速度为米分，
当时乙追上甲，此时二人离起点距离相等，得，解得，
则乙跑完全程用时（分，
正确，不符合题意；
甲到达终点用时（分，
，
正确，不符合题意；
当乙到达终点时，甲离终点的距离为（米，
乙到达终点时，与甲的距离为80米，
错误，符合题意．
故选：．
9．（4分）如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为 A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3
【解答】解：设剪去正方形的边长为 ，则长方体盒子的底面长为，宽
为
/m 160280÷=/A ∴v /6t =8064v ⨯=120v =7201206÷=)B ∴720809÷=)9m ∴=C ∴720(62)8080-+⨯=)∴D ∴D 16cm 12cm 248cm ()
x cm (122)x cm -
．依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：剪去的正方形的边长为．
故选：．
10．（4分）正方形，正方形，正方形按如图方式排列，点、、在直线上，点、、在轴上，则正方形的边长为 A ．B ．C ．D ．【解答】解：直线与轴交于点，
，，
当时，，
，，
当时，，
，，
，
的边长，
故选：．
11．（4分）如图，菱形的顶点、在直线上，点在轴上，点的坐标为，则点的坐标为
162(8)2
x x cm -=-(122)(8)48x x --=222720x x -+=12x =212x =2cm B 111OA C B 1222A A C B 2333A A C B ⋯1B 2B 3B ⋯2y x =+1A 2A 3A ⋯x 2023202420242024A A C B ()
20242202422-202322025
2 2y x =+y 1B 1(0,2)B ∴1122OB ==2x =4y =2(2,4)B ∴21242A B ==6x =8y =3(6,8)B ∴32382A B ==⋅⋅⋅20232024A B 20242=A ABCD A D 36y x =--A x C (2,4)B ()
A ．
B ．
C ．
D ．【解答】解：四边形是菱形，
，，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
点，
，
解得，
直线的解析式为，
设出，
，，，
，
解得，
，
．
故选：．
12．（4分）对于整式列，，第一次操作：将中相邻两个整式之和插入，之间，得到新整式列整式列，，；第二次操作：将中相邻两个整式之和依次插入
，3(4,)2-(4,2)-95(,)22-9(,2)2
- ABCD //AD BC ∴AB BC = AD 36y x =--(2,0)A ∴-BC 3y x b =-+ (2,4)C 324b ∴-⨯+=10b =∴BC 310y x =-+(,310)B a a -+(2,0)A - (2,4)B AB BC =2222(2)(310)(2)(4310)a a a a ∴++-+=-++-4a =31012102a ∴-+=-+=-(4,2)B ∴-B :3A x 3m x -A 3x 3m x -1:3A x m 3m x -1A 3x 3m x
-
之间，得到新整式列，，，；类似的，第三次操作后得到新整式列，，，，；以此类推．现有以下结论：
①第四次操作后的整式列，，，，，；
②将整式列中相邻两个整式的乘积之和记为，当时，有；③若中所有整式之和记为，中所有整式之和记为，，中所有整式之和为记为，，若系数不大于1024，则所有符合条件的之和为10．其中正确的结论有 个．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解答】解：，，；，，，一30；，，，，，，，，
，，故①正确；
，
，故，故②正确；
，，，故的系数为而，若的系数不大于1024，则，
．解得：，又为正整数，
符合条件的有：1，2，3，4；
，故③正确；2:3A x 3x m +23m x -3m x -3:3A x 6x m +3m 36m x -3m x -⋯4:3A x 9x m +64x m +66m x -49m x -3m x -3A ()F x 2()14F x m =16
x m =1A 1B 2A 2B ⋯n A n B 1231n n n T B B B B B -=⋅⋅⋅⋯⋅n T n ()
1:3A x m 3m x -12B m
=2:3A x 32m +230m -m 24B m
=3:3A x 6x m +3m 36m x -33:8m x B m
-=4:3A x 9x m +64x m +66m x -49m x -43:16m x B m -=()3(6)(6)33(36)(36)F x x x m x m m m m x m x =++++-+-(3)
m x -222
36151214x m xm m =+-=2236120x xm m ∴-+=2(62)0m ∴-=1
6x m =12B m =222B m =332B m =2n
n B m
=n T ∴2312345..(1)2.2.2 (212345222)
n n n n
++++++=+++++=1010242=n T (1)102n n
+…2200n n +-…(4)(5)0
n n -+…54n -……n ∴n 123410+++=
故选：．
二、填空题（共8个题，每小题4分，共32分）
13．（4分）若关于的函数是正比例函数，则的值为 3　．
【解答】解：是关于的正比例函数，
，
即故答案为：3．
14．（4分）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 8　．
【解答】解：把代入方程，得到，
所以代数式；
故答案为：8．
15．（4分）花园中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中大课间自编操成绩占，体育模块化成绩占，期末体考项目成绩占，小桂同学三项体育成绩（百分制）依次95分、90分、88分，则小桂同学这学期的体育成绩是 90　分．
【解答】解：根据题意得：（分，
小桂同学这学期的体育成绩是90分．
故答案为：90．
16．（4分）如图，直线与直线相交于点，点的纵坐标为4，则关于的不等式的解集为 ．
【解答】解：点代入，
，
D x 73y x a =+-a 73y x a =+- x 30a ∴-=3
a =m 2340x x --=226m m -m 2340x x --=234m m -=22262(3)248m m m m -=-=⨯=20%30%50%9520%9030%8850%
⨯+⨯+⨯192744
=++90=)∴1:3l y x =+2:l y kx b =+P P x 3kx b x ++…1x …(,4)P m 3y x =+1m ∴=
，
结合图象可知关于的不等式的解集为；
故答案为：．
17．（4分）如图，在中，，，点从点出发，沿射线运动，速度为，点从点出发，沿线段运动，速度为，连接．、两点同时出发，当点到达点时，点也停止运动，请问经过 4或6　后，的面积恰为．
【解答】解：过作于，如图：
设运动时间为，
中，，，
，
根据题意得： ，，
， ，的面积恰为，
，解得或，
经过或后，的面积恰为．
故答案为：4或6
．
(1,4)P ∴x 3kx b x ++…1x …1x …Rt ABC ∆30BAC ∠=︒5BC cm =E A AB 2/cm s F C CA 1/cm s EF E F F A E s AEF ∆212cm E EH AC ⊥H ts Rt ABC ∆ 30BAC ∠=︒5BC cm =210AC BC cm ∴==2AE t =cm CF tcm =(10)AF t cm ∴=-12
EH AE t ==cm AEF ∆ 212cm ∴1(10)122
t t -=4t =6t =∴4s 6s AEF ∆212cm
18．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 ．【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数解，
，且，
即且，
解关于
的分式方程，可得且，且，，，为整数，
，，，
足条件的所有整数的和为：．故答案为：．
19．（4分）如图，中，，为的中点，将沿折叠得，点的对应点为点，连接，与交于点，，则的长为 ．
【解答】延长，作，垂足为，
，，
，
由折叠的性质得：，，
是中点，
．
设，
x 2
(2)420m x x --+=x 3222my y y y
+=---m 4
- x 2(2)420m x x --+=2(4)4(2)20m ∴--⨯-⨯>20m -≠4m <2m ≠y 3222my y y y +=---41
y m =-2y ≠4m < 3m ≠2m ≠1m ≠y 0m ∴=1-3-∴m 0134--=-4-ABC ∆AC =D BC ABD ∆AD AED ∆B E CE AE BC F 135BAC AFC ∠=∠=︒AB 2-BA CM BA ⊥M 135BAC AFC ∠=∠=︒ ACF BCA ∠=∠1ABC ∴∠=∠BD ED =21ABC ∠=∠=∠D BC BD CD ED ∴==3α∠=
，，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，，
，，，
，
在中，
是等腰直角三角形，
，
在中，，，
设，，
，
，
或（合去）
，，
故答案为：．
20．（4分）若一个四位数的千位数字与个位数字之和为8，百位数字与十位数字之差为2，则称这个四位数为“乐蜀数”，则最大乐蜀数与最小乐蜀数之差为 7943　，若，
，、、为整数，且，，且、均为“乐蜀数”
，记，、的各个数位的数字之和分别记为、．当为整数，
且取最小值时，的值为 ．180319022
DEC DCE α︒-∠∴∠=∠==︒-18045AFD AFC ∠=︒-∠=︒ 2345AFD ∴∠=∠+∠=︒2145ABC α∴∠=∠=∠=︒-1803180BDE α∠=︒-∠=︒- 36019022
BDE ADB ADE C ︒-∠∠=∠=
=︒+12∠=∠ //AC DE ∴43α∴∠=∠=14902CAD BDA ∴∠=∠-∠=︒-13902
ADC ADE α∠=∠-∠=︒-CAD ADC ∴∠=∠CD AC BD ∴===Rt ACM ∆18045CAM BAC ∠=︒-∠=︒ACM ∴∆2CM AM ∴===Rt BCM ∆BC BD CD =+=2CM =AB x =2BM x =+222(2)2x ∴++=24240x x ∴+-=2x ∴=-2x =--2AB ∴=25M abc =1000100103N x m n x =++-(x m n 0m …9n …16)x ……M N 22(,)11
M N b n F M N -+-=M N ()G M ()G N (,)F M N ()()
G M G N M N +
【解答】解：一个四位数的千位数字与个位数字之和为8，百位数字与十位数字之差为2，则最大乐蜀数是8970，最小乐蜀数是1027，
则最大乐蜀数与最小乐蜀数之差为：；
，，、、为整数，
且，，且、均为“乐蜀数”，
，，
且、均为“乐蜀数”，
，，
，
所以的取值范围是到，即2.68到24.19．
因为是整数，所以的可能取值是3、4、4、6、7，
2.68到24.19因为是整数，所以的可能取值是3、4、4、6、73、9、11、13、15、17、19、21、23：第四步，因为：因为的定义是””，所以的结果是干位和十位99数字的差乘以100，然后相减，所以千位和百位数字的和等于十位和个位数字的和；第五步，因为和都是小于10的正整数，最小值为，所以和的取值范围是1到9；
第六步，因为，的取值范围是4到8，所以；
第七步，因为是“中庸数”，百位数字是8，个位数字是0．
故答案为：7943；5040．
三、解答题（共7个题，22题8分，27题12分，其余每题10分，共70分）
21．（10分）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
，
，
，或，8970102747943-=5M abc =1000100103N x m n x =++-(x m n 0m …9n …16)x ……M N 5M abc =1000100103N x m n x =++-M N 3c ∴=8m n +=22229220921978x x +=k 2442:90921978909-k k k k 18()72x P n +=()P n n n '-x y 10811107882x x -=-x x y >y 5x =n 22(23)9(2)x x -=+261x x -=22(23)9(2)x x -=+22(23)9(2)0x x --+=[(23)3(2)][(23)3(2)]0x x x x -++--+=(53)(9)0x x +--=530x ∴+=90x --=
，；（2），
，即，
，
，
22．（8分）学习了菱形的知识后，爱思考的小蜀同学发现，过平行四边形其中一条对鱼线中点且满足某个特殊条件的直线与平行四边形的一组对边相交于两点，顺次连接这两个交点与刚才那条对角线的两个端点，形成的图形恰好是一个菱形．根据他的思路，完成以下作图与填空．
已知：在中，点为对角线上一点，且；
（1）尺规作图：请用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，分别交、于点、，连接、；（保留作图痕迹）
（2）求证：四边形为菱形．
证明：在中，①　，　，
，
在和中，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
③ ，
四边形为菱形．
通过小蜀的上述探究过程，我们可以得出以下真命题：
过平行四边形④ 的直线与平行四边形的一组对边相交于两点，顺次连接这两个交点与刚才那条对角线的两个端点形成的四边形为菱形．
135
x ∴=-29x =-261x x -=26919x x -+=+2(3)10x -=3x ∴-=13x ∴=23x =ABCD O BD OB OD =O BD AD BC E F BE DF BEDF ABCD //AD BC OD OB =EDO FBO ∴∠=∠EDO ∆FBO ∆EDO FBO EOD FOB ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩
②
()EDO FBO ASA ∴∆≅∆OE OF ∴=OB OD = ∴BEDF ∴BEDF
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：在中，，，
，
在和中，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
过平行四边形对角线的交点与一条对角线垂直的直线与平行四边形的一组对边相交于两点，顺次连接这两个交点与刚才那条对角线的两个端点形成的四边形为菱形．
故答案为：，；；，对角线的交点与一条对角线垂直．
23．（10分）某校初二年级数学组为了解学生数学错题整理的效果，决定在全年级开展错题重做比赛，数学组选择了近一个月作业中部分易错题，制作了一张比赛测试卷，共100分，张老师为了解、两个班级的易错题整理效果，从、两个班级各随机抽取了10人的测试成绩数据，并对数据进行整理、描述和分析（测试成绩用表示，共分为四个等级：不合格：，合格：，良好：，优秀：
，下面给出部分数据信息：
ABCD //AD BC OD OB =EDO FBO ∴∠=∠EDO ∆FBO ∆EDO FBO OD OB
EOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()EDO FBO ASA ∴∆≅∆OE OF ∴=OB OD = ∴BEDF EB ED = ∴BEDF //AD BC OD OB =OD OB =EB ED =A B A B x 70x <7080x <…8090x <…90100)x ……
班10名学生的测试成绩：72，60，64，80，86，80，90，98，100，80．
班10名学生的测试成绩中，等级为“良好”的所有数据为：82，84，84．
抽取两个班的学生测试成绩统计表：班级
平均数中位数众数班
8180班8184
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）根据上述图表填空：　80　， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪个班级的错题整理效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）根据抽取的两个班的学生测试成绩情况，估计该校初二年级840名同学中错题整理成绩为“优秀”的有多少名？
【解答】解：（1）班成绩出现次数最多的是80，因此众数是，
班不合格和合格的人数为（人，
所以班的中位数是，
班良好所占的百分比为
，，
；
故答案为：80，83，30；
（2）班级的错题整理效果更好，
理由：两个班的平均数一样，但班的中位数、众数都比班的大，所以班级的错题整理效果更好；
（3）（名，答：估计该校初二年级840名同学中错题整理成绩为“优秀”的有252名．
24．（10分）如图，四边形中，，，，，连接，点A B A a B b a =b =m =A 80a =B 10(20%20%)4⨯+=)B 8284832
b +==B 3100%30%10⨯=%120%20%30%30%m ∴=---=30m ∴=B B A B 338402521010
+⨯=+)ABCD //AD BC BC CD ⊥24BC AD ==3CD =AC P
从点出发，沿着折线运动，到点时停止运动，连接，设点的运动路程为，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）当的函数图象与直线有两个交点时，请直接写出的取值范围为
　．【解答】解：（1）当时，；当时，；综上所述，；（2）函数图形如图所示；，当时，随的增大而减小；
（3）的函数图象与直线有两个交点，当直线经过时，即，当直线经过时，即，B B C D →→D AP P x ACP ∆y y x x y y 12y x b =+b 122
b -<<-04x ……113(4)36222y PC CD x x =
⋅=-⨯=-47x <…11(4)2422
y CP AD x x =⋅=-⨯=-36(04)24(47)
x x y x x ⎧-⎪=⎨⎪-<⎩………04x ……y x y 12y x b =
+∴12
y x b =+(4,0)2b =-12y x b =+(7,3)1372
b =⨯+
，当的函数图象与直线有两个交点时，的取值范围为，故答案为：．25．（10分）某智能家电经销商销售、两种智能空调，其中一台种空调的销售价格比一台种空调的销售价格高1500元，已知4月份种空调的销量是种空调销量的
，且4月份种空调的销售总额为120万元，种空调的销售总额为225万元．
（1）请问、两种智能空调的销售单价分别为多少元？
（2）5月份气温回升、该经销商对两种空调进行了降价促销活动，已知种空调降价元、种空调降价元．经销商发现5月的第一周内：种空调的销量就已经与4月份种空调的总销量相同，种空调的销量比4月份种空调的总销量增加了台，5月第一周内、两种空调的销售总额刚好和4月份、两种空调的销售总额相同，请求出的值．
【解答】解：（1）设种智能空调的销售单价分为元，则种智能空调的销售单价为元，根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
种智能空调的销售单价分为3000元，种智能空调的销售单价为4500元；
（2）由（1）知，4月份种空调的总销量为
（台，种空调的总销量为（台，月第一周内、两种空调的销售总额刚好和4月份、两种空调的销售总额相同，，
解得（舍去）或，
的值为6．
26．（10分）如图1，直线AB 交x 轴于点A （﹣4，0），交y 轴于点B ，且OA ＝OB ，直线BC ：4交x 轴于点C ，点D 为AB 的中点．
（1）求直线CD 的解析式；12
b ∴=-∴y 12y x b =+b 122
b -<<-122
b -<<-A B B A A B 45
A B A B A 70a B 100a A A B B 20a A B A B a A m B (1500)m +12000002250000415005m m =⨯+3000m =3000m =1500300015004500m ∴+=+=A ∴B A 12000004003000=)B 22500005004500
=)5 A B A B 400(300070)(50020)(4500100)12000002250000a a a ∴-++-=+0a =6a =a ∴
（2）如图2，点E在线段CB上，过E作EF∥y轴交CD于点F，过E作EG∥x轴交AB于点G，连
接DE，当时，求△BED的面积；
（3）点H（m，1﹣2m）为平面内一点，且满足∠ABH＝∠OBC，请直接写出点H的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝OB，A（﹣4，0），
∴B（0，4），
当﹣x+4＝0时，x＝3，
∴C（3，0），
∵A（﹣4，0），D为AB中点，
∴D（﹣2，2），
设CD解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴CD的解析式为y＝﹣x+．
（2）∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝x+4，
设E（m，﹣m+4），F（m，﹣m+），G（﹣m，﹣m+4），
∴EF＝﹣m+4﹣（﹣m+）＝﹣m+，EG＝m，
∵EF+EG＝，
∴﹣m++m＝，解得m＝2，此时E（2，），
如图，作EQ∥y轴交AB于点Q．则Q（2，6），
∴EQ＝，
∴S△BDE＝EQ•（x B﹣x D）＝××2＝．
（3）∵点H坐标是（m，1﹣2m），
∴点H在直线y＝﹣2x+1上，
①当点H在AB左侧时，如图所示作∠ABM＝∠OBC，AM⊥BM于点H，过M作GN∥y轴交x轴于点N，过B作BG∥x轴交GN于点G，
∴△BAM∽△BCO，
∵OC＝3，OB＝4，
∴，
易证△BGM∽△MNA，
∴，
∵OB＝OA＝4，
∴MN＝，BG＝，
∴M（﹣，）
∵B（0，4）
∴直线BM的解析式为y＝x+4，
∵点H坐标是（m，1﹣2m），
∴1﹣2m＝m+4，解得m＝﹣，
此时H的坐标为（﹣，）；
②当点H在AB右侧时，同理可得H（﹣，）．
综上，H 1（﹣，），H 2（﹣，）．
27．（12分）如图，等腰中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点，．
（1）如图1，点在上，，，求的长；
（2）如图2，点在延长线上，点为的中点，过点作于点，连接，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，，，点在的延长线上，点在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积．【解答】解：（1）如图1，过点作于点
，
Rt ACB ∆90ACB ∠=︒AC BC =D CA BD C CF BD ⊥E //AF BD D AC 75CAF ∠=︒4BD =BC D CA F CE F FH BC ⊥H
EH HB HF +=D CA 30CDB ∠=︒4AC =N BA M AC AM BN =BM
DN BM AN -BDN ∆D DH AB ⊥H
，
，
，，
，，在中，，在中，
，
在中，
（2）如图2，过点作交延长线于点，，，
，
，
，，
，，，
，
是的中点，
，
，
//AF BD 75CDB CAF ∴∠=∠=︒90ACB ∠=︒ AC BC =45DAB ∴∠=︒30DBA ∠=︒Rt ADH ∆2AH DH ==Rt BDH ∆BH =2AB ∴=+∴Rt ABC ∆BC AB ==+E EM EH ⊥CB M //AF BD CE BD ⊥90AFC CEB ∴∠=∠=︒90ACB ∠=︒ 90ACF BCE CBE BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒ACF CBE ∴∠=∠AC BC = 90AFC CEB ∠=∠=︒()AFC CEB AAS ∴∆≅∆BE CF ∴=F CE CF EF BE ∴==90FEH BEH BEM BEH ∠+∠=∠+∠=︒
，
，
，
，，
，
，
，，
，即．
（3）如图3，取，作，．，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，FEH BEM ∴∠=∠FH BC ⊥ 90FHC ∴∠=︒90FCH CFH FCH CBE ∴∠+∠=∠+∠=︒CFH CBE ∴∠=∠HFE MBE ∴∠=∠()FEH BEM ASA ∴∆≅∆HE ME ∴=FH BM =
∴HM HB BM HB HF ==+=
+HB HF +=BG AB =NI BG ⊥AH NI ⊥AC BC = BAM NBG ∴∠=∠AM BN = AB BG =()ABM BGN SAS ∴∆≅∆BM GN ∴=NG BI ⊥ 45BNI NBI ∴∠=∠=︒AH NH ⊥ 45ANH HAN ∴∠=∠=
︒NH ∴
=
BM AN NG NH HI ∴-=…
如图4，当，重合时，取最小值，此时
，过作于点，，
，
I G BG BA ==8BN =D DK BN ⊥K 8BD = DK ∴=-12BDN S BN DK ∆∴=⋅=-。