2020-2021学年江西省赣州市十六县(市)十七校联考高二(下)期中数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年江西省赣州市十六县（市）十七校联考高二（下）期中数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.命题p：“∀x≥0，2x−sinx≥0”的否定为()
A. ∀x≥0，2x−sinx<0
B. ∀x<0，2x−sinx<0
C. ∃x0≥0，2x0−sinx0<0
D. ∃x0<0，2x0−sinx0<0
2.复数(1+2i)(2−3i)的共轭复数是()
A. 8+i
B. 8−i
C. −4+i
D. −8+i
3.在一项调查中有两个变量x和y，如图是由这两个变量的取值数据得到的散点图，那
么适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是()
A. y=a+bx
B. y=c+d√x
C. y=m+nlnx
D. y=p+qc x(q>0)
4.若由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013，那么有()把握认为两个变量有
关系．
P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
A. 95%
B. 97.5%
C. 99%
D. 99.9%
5.已知ŷ与x之间的线性回归方程为ŷ=1.6x+21，其
样本点的中心为(x−,37).所有样本数据中x的取值依
次为2，8，6，14，m.则m=()
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
6.函数y=x+2cosx在[0,π]上的极大值点为()
A. 0
B. π
6C. π
3
D. 5π
6
7.执行如图所示的程序框图，则输出s的值为()
A. −4
B. −8
C. −20
3
D. −112
15
8.南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡
献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，
则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的
两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
9.已知t>1，且x=√t+1−√t，y=√t−√t−1，则x，y之间的大小关系是()
A. x>y
B. x=y
C. x<y
D. x，y的关系随t而定
10.观察图：则第()行之和为20212
A. 2021
B. 2019
C. 1010
D. 1011
11.已知椭圆x2
+y2=1上一动点P到两个焦点F1，F2的距
4
离之积为q，则q取最大值时，△PF1F2的面积为()
B. 1
C. √3
D. 2
A. √3
2
12.已知函数f(x)=ax−2与g(x)=e x的图象上存在关于直线y=x对称的点，若点P，
Q分别在f(x)，g(x)的图象上，则当a取最大值时，|PQ|的最小值是()
A. e
4B. e
2
C. 2
1+e2
D. 2√1+e2
1+e2
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知a为实数，若复数z=(a2−3a−4)+(a−4)i为纯虚数，则复数a−ai在复平
面内对应的点位于第______象限．
14.中国诗词大会总决赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加，依据规则，他们都有
机会获得冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是______．
15.已知函数f(x)=cosx−sinx，f′(x)为f(x)的导函数，定义f1(x)=f′(x)，f2(x)=
[f1(x)]′，.…，f n+1(x)=[f n(x)]′(n∈N∗)，则f2021(x)=______ ．
16.已知双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q
为C上两点，点M(−2,1)为弦PQ的中点，且PQ//BF，记双曲线的离心率为e，则e2=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.设p：关于x的不等式x2−4x+2m≤0有解，q：m2−5m+4≤0．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
18.已知函数f(x)=x3+ax2+bx的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为−4，且x=−2
时，y=f(x)有极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−3,2]上的最大值和最小值．
19. 自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器
械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．
(1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；
(2)为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限)，数据如表：
工龄x(单位：年) 6 8 12 10 14 生产速度y(单位：件/小时)
40
55
60
60
65
根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x 的回归方程y ̂
=b ̂
x +a ̂
，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．
回归方程y ̂
=b ̂
x +a ̂
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂
=∑(n i=1x i −x −
)(y i −y −
)
∑(n i=1x i −x −)
2，
a ̂
=y −
−b ̂x −．
20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P(5,a)为抛物线C上一点，且|PF|=8．
(1)求抛物线C的方程：
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0,−3)，求
直线l的方程．
x2−alnx+(1−a)x．
21.已知函数f(x)=1
2
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性：
(Ⅱ)若f(x)>a2
恒成立，求正实数a的取值范围．
2
22.在直角坐标系xOy中，直线C1：y=√3x，圆C2：(x−1)2+(y−2)2=5，以坐标
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(ρ∈R)，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π
6
交点为O，B，求△OAB的面积．
23.设函数f(x)=|x+2|−|x−t|．
(1)当t=1时，求不等式f(x)>2的解集；
(2)若对于任意实数x，不等式f(x)≤t2+2t恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
所以命题p：“∀x≥0，2x−sinx≥0”的否定为“∃x0≥0，2x0−sinx0<0”．
故选：C．
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，解题的关键是掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(1+2i)(2−3i)=1×2+1×(−3i)+2i×2−6i2=2+6+i=8+i，则复数(1+2i)(2−3i)的共轭复数是8−i，
故选：B．
根据复数的运算法则和共轭复数的定义即可求出．
本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，考查了运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由散点图可知，图象类似指数函数图象形状，符合函数的类型是y=p+ qc x(q>0)，
所以适宜作为y关于x的回归方程类型的是y=p+qc x(q>0)
故选：D．
由散点图可得图象类似指数函数图象形状，由此得出作为y关于x的回归方程类型．
本题考查了散点图的应用问题，也考查了数形结合的数学思想，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013，
因为3.841<4.013<5.024，
则P(K2≥k0)=0.05=5%，
那么有95%的把握认为两个变量有关系． 故选：A ．
利用独立性检验的观测值对应临界表可得答案． 本题考查独立性检验的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵x −
=1
5×(2+8+6+14+m)=6+m
5，又∵y ̂
与x 之间的线性回归方程为y ̂
=1.6x +21，其样本点的中心为(x −
,37)， ∴37=1.6×(6+m
5)+21，解得m =20． 故选：D ．
根据已知条件，求出x ，y 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设f(x)=x +2cosx ，
求导f′(x)=1−2sinx ，令f′(x)=0，解得x =π
6，
当0<x <π
6，5
6π<x <π时，f′(x)>0，当π
6<x <5
6π时，f′(x)<0， 故当x =π6时，f(x)有极大值． 故选：B ．
对函数求导，结合函数的单调性，即可求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得：
k=0，s=0，进入循环，s=−4，
k=1，s=−4−4=−8，
k=2，s=−8+4
3=−20
3
，
k+1=3≥3，此时退出循环，输出的s=−20
3
．
故选C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键，属于较易题．
根据充分条件和必要条件的定义，通过举反例并结合祖暅原理进行判断即可．
【解答】
解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，
若V1，V2相等，例如两个完全相同的棱台一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截面面积不一定相等，故充分性不成立，
即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，
故选：B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查比较大小，可通过分子有理化比较分母来判断两式大小，属于基础题．
由题，可对两代数式进行分子有理化，由于变形后两个代数式的分母都是正数，可通过比较两分母的大小得到x，y之间的大小关系，选出正确选项．
【解答】
解：由于x=√t+1−√t=
√t+1+√t
，
y=√t−√t−1=
√t+√t−1
，
又t>1
∴√t+1+√t> √t+√t−1>0
∴
√t+1+√t <
√t+√t−1
∴x<y
故选：C．
10.【答案】D
【解析】解：由已知图形观察知：
第1行各数之和是1=12=(2×1−1)2，
第2行各数之和是2+3+4=32=(2×2−1)2，
第3行各数之和是3+4+5+6+7=52=(2×3−1)2，
第4行各数之和是4+5+6+7+8+9+10=72=(2×4−1)2，
归纳得，第n行各数之和是(2n−1)2，
由20212=(2n−1)2，解得n=1011．
故选：D．
由题意及所给的图形找准其排放的规律，猜想即可求解．
本题考查了由图抽取信息，再利用归纳推理得到一般性命题(猜想)，考查了学生的观察能力．
11.【答案】C
【解析】由椭圆方程x2
4
+y2=1，得a=2，b=1，c=√3，
所以|PF1|+|PF2|=4，
所以q=|PF1|⋅|PF2|≤(|PF1|+|PF2|
2
)2=4，当且仅当|PF1|=|PF2|=2时等号成立，
此时，点P为短轴端点，∠F1PF2=120°
所以△PF1F2的面积为S=1
2|PF1|⋅|PF2|sin∠F1PF2≤1
2
×4×√3
2
=√3，
此时△PF1F2的面积为√3．
故选：C．
利用椭圆的定义结合基本不等式得到q=|PF1|⋅|PF2|≤(|PF1|+|PF2|
2
)2=4，然后由S=
12
|PF 1|⋅|PF 2|sin∠F 1PF 2求解．
本题考查了椭圆的定义并结合基本不等式，三角形面积公式求得了三角形面积的最值，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数的反函数为y =lnx ，
曲线f(x)=ax −2与y =lnx 有公共点，即方程ax −2=lnx 有实数解， 即a =
2+lnx x
有实数解， 令ℎ(x)=
2+lnx x
，则ℎ′(x)=
−1−lnx x 2
，
所以当0<x <1
e 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x >1
e 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 所以x =1e 时，ℎ(x)取得极大值ℎ(1
e )=e ，也是最大值， 所以ℎ(x)≤e ，即a ≤e ， 所以a 的最大值为e ，
此时f(x)=ex −2，g(x)=e x ， 因为点P ，Q 分别在f(x)，g(x)的图象上，
则|PQ|的最小值就是当g(x)在点Q 处的切线斜率与f′(x)相等时，点Q 到直线y =ex −2的距离，
g′(x)=e x ，令e x =e ，解得x =1，g(1)=e ，即Q(1,e)，
则点Q 到直线y =ex −2的距离d =√1+e
2
=2√1+e
2
1+e
2， 故|PQ|的最小值为2√1+e 2
1+e
2
． 故选：D ．
利用函数的图象有公共点确定方程有实根，进一步利用函数的导数和单调性及最值的关系求出a 的最大值，从而确定函数f(x)解析式，将|PQ|的最小值转化为当g(x)在点Q 处的切线斜率与f′(x)相等时，点Q 到直线y =ex −2的距离，从而得解．
本题考查的知识要点：函数的图像与方程的交点的关系，函数的导数和单调性及最值的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】二
【解析】解：∵复数z=(a2−3a−4)+(a−4)i为纯虚数，
∴{a2−3a−4=0
，解得a=−1，
a−4≠0
∴a−ai=−1+i，
∴复数−1+i在复平面内对应的点(−1,1)位于第二象限．
故答案为：二．
根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数的几何含义，即可求解．
本题考查了纯虚数的概念和复数的几何含义，属于基础题．
14.【答案】丙
【解析】解：如果爸爸的猜测是对的，则妈妈和孩子的猜测都是错的，可得冠军是丙；如果妈妈的猜测是对的，那么爸爸和孩子的猜测都是错的，从而甲、乙、丙、丁、戊五位选手都不是冠军，不合题意；
如果孩子的猜测是对的，则爸爸的猜测是错的，而妈妈的猜测是对的，不合题意．
综上可得，冠军是丙．
故答案为：丙．
假设三人中一个人的猜测是对的，另两人猜测是错的，判断有无矛盾，可得结论．
本题考查简单的合情推理，考查推理能力，属于基础题．
15.【答案】−sinx−cosx
【解析】解：f1(x)=−sinx−cosx，f2(x)=−cosx+sinx，f3(x)=sinx+cosx，f4(x)= cosx−sinx，f5(x)=−sinx−cosx，
又2021=1+505×4，
∴f2021(x)=f1(x)=−sinx−cosx．
故答案为：−sinx−cosx．
根据题意可求出f1(x)=−sinx−cosx，f2(x)=−cosx+sinx，f3(x)=sinx+cosx，f4(x)=cosx−sinx，f5(x)=−sinx−cosx，可看出f(n+4)(x)=f n(x)，然后即可求出f2021(x)=−sinx−cosx．
本题考查了三角函数的求导公式，周期函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】√2+12
【解析】解：双曲线C ：
x 2
a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，虚轴的上端点为B(0,b)，点P ，Q 为C 上两点， 且PQ//BF ，可得k PQ =k BF =−b
c ， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{x 1
2a 2
−y 1
2
b 2=1x 22a 2−y 2
2b 2=1，
两式相减可得：y 1−y 2
x
1−x 2
=
b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)
，
点M(−2,1)为弦PQ 的中点，所以−4b 2
2a 2=−b
c
，整理可得：a 2=2bc ， 可得4e 4−4e 2−1=0，e >1， 解得e 2=√2+1
2．
故答案为：√
2+12．
设出PQ 坐标，利用平方差法，结合直线的平行关系，转化求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)若p 为真命题，则相应的二次方程x 2−4x +2m =0有实数解，于
是有
△=42−4×2m ≥0，解得m ≤2． (2)化简命题q 得1≤m ≤4．
由命题p 的否命题￢p 得到的解是m >2，由命题q 的否命题￢q 得到的解是m <1或m >4．
若p ∧q 为假命题，则命题p ，q 中至少有一个命题为假命题，但是p ∨q 为真命题，则命题p ，q 中至少有一个命题为真命题，因此，命题p ，q 中有一个命题为假命题，同时另一个为真命题．即有2种情形：
第一、命题p 为真命题，而命题q 为假命题，则￢q 为真命题，解不等式组{m ≤2
m <1或m >4，
得m <1．
第二、命题p 为假命题，则￢p 成立，又命题q 为真命题，解不等式组{m >2
1≤m ≤4
，得2<
m ≤4．
综上，m ∈(−∞,1)∪(2,4]．
【解析】先求解命题p 、化简q ，再分别求解命题之间的关系题．
熟练在二次函数与相应的二次不等式与二次方程等价之间转化，掌握集合的交并补运算．
18.【答案】解：(1)由题意可得f′(x)=3x²+2ax +b ，
由{f′(0)=b =−4f′(−2)=12−4a +b =0，解得{a =2b =−4，
经检验得x =−2时，y =f(x)取得极大值， 所以f(x)=x 3+2x 2−4x ．
(2)由(1)知，f′(x)=3x²+4x −4=(x +2)(3x −2)， 令f′(x)=0，解得x =−2或x =2
3， 则f′(x)，f(x)的值随x 的变化情况如下表：
由表可知f(x)在[−3,2]上的最大值为8，最小值为−40
27．
【解析】(1)对f(x)求导，由题意可得f′(0)=−4，f′(−2)=0，从而可求得a ，b 的值，即可求解f(x)的解析式；
(2)令f′(x)=0，求出x 的值，列表可得则f′(x)，f(x)的值随x 的变化情况，从而可求得最值．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设前4组的频数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，公差为d ，
由题意a 2=a 1+d =0.016×10=0.16.①
故a 1+a 2+a 3+a 4=4a 1+6d =1−0.016×10=0.84.② 联立①②，解得a 1=0.06，d =0.1． 又a 1+a 2+a 3=0.48，∴中位数为50+
0.5−0.48a 4
×10=
4559
；
(2)x −
=1
5(6+8+12+10+14)=10，y −
=1
5(40+55+60+60+65)=56．
b ̂
=
∑(n i=1x i −x −)(y i −y −
)
∑(n i=1x i −x −
)
2=
(−4)×(−16)+(−2)×(−1)+2×4+0×4+4×9
(−4)2+(−2)2+22+02+42
=
114
，
a ̂
=y −
−b ̂
x −
=56−
114
×10=
572
． ∴回归直线方程为y ̂
=114x +572．
当x =18时，y ̂
=78．
故估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时．
【解析】(1)设前4组的频数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，公差为d ，由已知列式求得首项与公差，再由中位数公式列式求解工人生产速度的中位数； (2)求出b ̂
与a ̂的值，可得线性回归方程，取x =18求得y 值即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查等差数列通项公式的应用，考查计算能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)由抛物线定义，可得5+p
2=8，解得p =6，
∴抛物线C 的方程为：y 2=12x ．
(2)由(1)，知F(3,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 设直线l 的方程为：x =my +3， 联立方程{y 2=12x
x =my +3
，
消去x ，整理得y 2−12my −36=0， 则△=144m 2+144>0， 且y 1+y 2=12m ，y 1y 2=−36． ∵以线段AB 为直径的圆过点Q(0,−3)，
∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(y 1+3)⋅(y 2+3)=0， ∴x 1x 2+3(y 1+y 2)+y 1y 2+9=0，
∴(my 1+3)(my 2+3)+3(y 1+y 2)+y 1y 2+9=0， ∴(m 2+1)y 1y 2+(3m +3)(y 1+y 2)+18=0， −36m 2−36+36m 2+36m +18=0， ∴m =1
2．
∴直线l 的方程为：x =1
2y +3即2x −y −6=0．
【解析】本题第(1)题根据抛物线的定义进行即可得抛物线C 的方程；第(2)题设直线l 的方程为：x =my +3，联立直线与抛物线方程，消去x 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有y 1+y 2=12m ，y 1y 2=−36.根据题意以线段AB 为直径的圆过Q ，可QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，然后代入进行坐标运算可得m 的值，即可得到直线l 的方程．
本题主要考查抛物线的基本性质，直线和抛物线的综合问题，考查了转化思想，方程思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
21.【答案】解：(I)f(x)=1
2x 2−alnx +(1−a)x ，x ∈(0,+∞)．
f′(x)=x −a
x +(1−a)=
(x+1)(x−a)
x
，
∴a ≤0时，f′(x)>0，此时函数f(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．
a >0时，x >a 时，f′(x)>0，此时函数f(x)在x ∈(a,+∞)上单调递增；0<x <a 时，f′(x)<0，此时函数f(x)在x ∈(0,a)上单调递减． 综上可得：a ≤0时，函数f(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．
a >0时，函数f(x)在x ∈(a,+∞)上单调递增；函数f(x)在x ∈(0,a)上单调递减． (II)由(I)可得：a >0时，x =a 时，f(x)取得极小值即最小值，∴f(x)>a 22
恒成立⇔
f(a)=1
2a 2
−alna +(1−a)a >
a 22
，
化为：1−a −lna >0，a >0． 令g(a)=1−a −lna ，a ∈(0,+∞)， 可知：函数g(a)在a ∈(0,+∞)上单调递减， 又g(1)=0． ∴0<a <1，
因此正实数a 的取值范围是(0,1)．
【解析】(I)f(x)=1
2x 2−alnx +(1−a)x ，x ∈(0,+∞).f′(x)=(x+1)(x−a)
x
，通过对a 分
类讨论，即可得出单调性．
(II)由(I)可得：a >0时，x =a 时，f(x)取得极小值即最小值，可得f(x)>a 22
恒成立⇔
f(a)=1
2a 2−alna +(1−a)a >
a 22
，化为：
1−a −lna >0，a >0.令g(a)=1−a −lna ，
a ∈(0,+∞)，利用其单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，
所以C 1 的极坐标方程为sinθ−√3cosθ=0， 即θ=π
3(ρ∈R)，
C 2 的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ=0， 即ρ−2cosθ−4sinθ=0，
(2)将θ=π3代入ρ−2cosθ−4sinθ=0， 解得ρ1=1+2√3，故OA =1+2√3． 将θ=π
6代入ρ−2cosθ−4sinθ=0， 解得ρ2=2+√3，故OB =2+√3． 由题可知，
，
故△OAB 的面积为12
×(1+2√3)×(2+√3)×sin π6
=2+5√3
4
．
【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． (1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可把C 1，C 2化成极坐标方程； (2)联立极坐标方程并利用极径的几何意义和面积公式可得．
23.【答案】解：(1)f(x)>2即为|x +2|−|x −1|>2，
等价为{x ≤−2−x −2+x −1>2或{−2<x <1x +2+x −1>2或{x ≥1
x +2−x +1>2，
解得x ∈⌀或1
2<x <1或x ≥1， 则所求解集为(12,+∞)；
(2)对于任意实数x ，不等式f(x)≤t 2+2t 恒成立， 可得f(x)max ≤t 2+2t ，
由f(x)=|x +2|−|x −t|≤|x +2−x +t|=|t +2|，
当且仅当(x +2)(x −t)≥0，且|x +2|≥|x −t|时，上式取得等号， 所以t 2+2t ≥|t +2|，
等价为{t ≥−2t 2+2t ≥t +2或{t <−2
t 2+2t ≥−t −2，
解得t ≥1或t ≤−2，
所以t 的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．
【解析】(1)由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
(2)由题意可得f(x)max ≤t 2+2t ，运用绝对值不等式的性质可得最大值，再由绝对值不等式的解法，可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。