自动控制理论第5章
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l 1
n1
n1 n n1 2 l n1 1
Bl e l t sin( l t l ), t 0 (3 - 21)
5.1 稳定性的基本概念
g( t ) Al e pl t
l 1 n1 n1 n n1 2 l n1 1
g(t)的表达式：g( t ) L T ( s ) sRes T(s)e ResT ( s ), pi p
1 n st n i 1
i
i 1
情况1：对T(s)的单实数极点-p，记( s ) ( s p) ( s ), 满足 ( p) 0
(s
l
j l )( s l j l ) 0 (3 - 23)
的根 pl l 1,..., n1） l j l ( l n1 1,..., n1 n n1 2) （ ,
02:27 在左半s平面。
5.1 稳定性的基本概念
二、判别系统稳定性的方法 一般情况下，确定系统稳定性的方法有： 1 直接计算或间接得知系统特征方程式的根。 2 确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。 应用第一种类型的两种方法是：(1)直接对系统特征方 程求解；(2)根轨迹法 应用第二种类型的两种方法是：(1)劳斯-胡尔维茨判据; (2)奈氏判据
02:27
利用MATLAB分 析系统的稳定 性及特性
引言
一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被
控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。
反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。 如何系统稳定性定义？ 什么样的系统才是稳定的系统？ 反馈控制系统的特性如何？有什么优势？
02:27
5.1 稳定性的基本概念
l 1 n1 n n1 n n1 2 l n1 1
a n ( s pl )
l 1 n1
(s p [s
l1
)( s pl 2 )
( 3 - 25)
a n ( s pl )
l 1
n1 n n1 2 2 l n1 1
e t (Q ( p1 ) Q ( p2 )) cos t j (Q ( p1 ) Q ( p2 )) sint
Q( p1 ) Q( p2 )
j (Q( p1 ) Q( p 2 ))
4Q( p1 )Q( p2 )
均为实数
综上得到： ( t ) Al e pl t g 02:27
பைடு நூலகம்
( s ) s p ( s ) ( s p) ( s )s p 0 (3 - 15)
ResT ( s ), p N ( s ) st e ( s ) Q ( p )e pt
s p
Q( p) N ( p) ( p) 为不为零的常数
1 P ( p)e pt ( k 1)!
5.1 稳定性的基本概念
情况3：对于T(s)的共轭复数极点， p1 j , p2 j 2
ResT ( s ), p
l 1 l
e jz cos z j sin z
e t Q ( p1 )e jt Q ( p2 )e jt
( pl 1 pl 2 ) s p l 1 pl 2 ]
0
1.稳定性的必要条件
al 0
根具有负的实部，则 l 0，pl 1 pl 1 0，pl 1 pl 2 0 p
各因子相乘展开所得的多项式的系数就是这些正数的乘 积组成的，因此也必定为正数，即方程（3-25）的所有 02:27 系数均为正， al>0。 教材 例5-1 例5-2
第五章 控制系统的稳定性及特性
5.1 稳定性的基本概念 5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
5.3 频域分析中的奈奎斯特稳定性判据
5.4 用频域法分析系统的相对稳定性 习题解答
02:27
引言
本章知识体系 控制系统的结构 及其传递函数 闭环系统的 稳定性 反馈控制 系统 反馈控制系 统的特性 复杂反馈控制 系统的基本结 构及其特性
Q ( p1 ) Q ( p2 ) arctan j Q ( p1 ) Q ( p2 ) (3 - 20) 2 2 [Q ( p1 ) Q ( p2 )] [ j (Q ( p1 ) Q ( p2 ))] 1 4Q ( p1 )Q ( p2 ) 4Q ( p1 )Q ( p2 )
y( t )
0
g( )r ( t ) d N
0
g( ) d M , t 0 (3 - 13)
02:27
5.1 稳定性的基本概念
2 闭环传递函数的极点与系统的稳定性 闭环传递函数的一般形式为：
N ( s) T ( s) ( s)
n1 n1 n n1 l n1 1
( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0 (3 - 24)
02:27
5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
( s ) a n ( s pl )
2
1 1 8k s 1,2 4
02:27
系统稳定
5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
一、 劳斯判据及其应用
1、如何判定系统的稳定性？
直接求解出系统的闭环特征根 根据劳斯判据通过特征方程的系数判定根的分布
劳斯判据
系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数 决定的。劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的 稳定性的一种判据。 闭环系统的特征方程的一般形式：
2) Bl e l t sin( l t l )
Im
0
(b)
t
0
(b)
t
Re
Re
0 02:27
(a )
t
0
(c)
t
0
(a )
t
0
(c)
t
5.1 稳定性的基本概念
g(t)存在上界的充分必要条件：
n1 n n1 2 n1 pl t l t Ae Be sin( l t l ) dt M l n1 1 l 1
e t Q ( p1 )(cos t j sint ) Q ( p2 )(cos t j sint ) 4Q ( p1 )Q ( p2 )e t (cos t sin sint cos ) 4Q ( p1 )Q ( p2 )e t sin(t ) (3 - 19)
对于闭环系统在 ( t )作用下的输出响应，若 ( t )有界， r r
g( )r (t ) d N
0
g( ) d M , t 0
则要求t时，|g()|趋近于0。从g(t)入手分析系统稳 02:27 定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之间的关系。
5.1 稳定性的基本概念
0
g ( t )dt
0
(3 - 22)
当t 时，有e pl t 0, e l 0
即，系统的闭环传递函数极点均具有负实部。 闭环系统稳定性的充分必要条件：
系统的闭环特征方程 ( s ) ( s pl )
l 1 n1 n1 n n1 2 l n1 1
e pl t ( l 1,2,..., n1 )和e ( l j l ) t ( l n1 1, n1 2,..., n1 ( n n1 ) / 2) 被 称为 系 统的 运 动模 态 者共 轭 复模 态 ； 或 T(s )的 单位 脉 冲相 应 函数 则 有两 类 运动 模 态线 性 加而 成 。 g(t) 叠
5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
n n 1 2. 劳斯表 ( s ) an s an1 s a1 s a0 0
sn s n 1 s n 2 s n 3 s0
b1
an a n 1 b1 c1 h1
02:27
5.1 稳定性的基本概念
g(t)中的两种响应曲线
g( t ) Al e pl t
l 1
n1
n1 n n1 2 l n1 1
Bl e l t sin( l t l ), t 0
响应中的两种类型：
1) Al e
Im
pl t
K g ( s zi )
m
(s p ) (s
l 1 l
i 1 2
(3 - 14)
l
j l )( s l j l )
其中，单实极点个数n1，共轭极点对(n-n1)/2
1、稳定充要条件的推导
若要求y( t )也有界，根据
y( t )
0
共轭极 点对
Bl e l t sin( l t l ), t 0
Al l 1, 2, , n1），Bl (l n1 1, n1 2, , (n n1 ) 2)为常数 （
Al e pl t 和Bl e l t sin( l t l )为两种类型的响应；
02:27
5.1 稳定性的基本概念
例4 一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
k G( s) s (2s 1)
解：系统的闭环传递函数为 G( s) k k ( s) 2 1 G ( s) s (2s 1) k 2s s k
D( s ) 2 s s k 0
02:27
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当 扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不 稳定的，或不具有稳定性。
B
A
f
A' A
"
'
B" A
(a)
02:27
A0
(b)
图3-21 小球的稳定性
(c )
5.1 稳定性的基本概念
定义5-1（稳定的动态系统定义） 在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考 输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。 定义5-2（数学上严格的有界输入-有界输出稳定性定义） 输入：r(t),|r(t)|N (t0) 输出：y(t),
(3 - 16)
情况2：对T(s)的k重极点-p，记( s ) ( s p)k ( s ), 满足 ( p) 0
1 d k 1 ResT ( s ), p lim s p ds k 1 ( k 1)! 1 d k 1 lim s p ds k 1 ( k 1)!
系统能否工作及工作状态如何？ 1、能够工作：稳定性(稳) 2、反应能力：动态特性(快) 3、工作效果：稳态特性(准)
02:27
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的 首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和 内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境 条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定， 当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工 作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢 复原来的平衡状态。
02:27
N ( s ) st ( s p)k e ( s) N ( s ) st ( s) e (3 - 17)
d ( s ) 0, ds s p
d 2 ( s ) 0, ds2 s p
d k 1 ( s ) , 0 (3 - 18) dsk 1 s p P ( p) 0
n1
n1 n n1 2 l n1 1
Bl e l t sin( l t l ), t 0 (3 - 21)
5.1 稳定性的基本概念
g( t ) Al e pl t
l 1 n1 n1 n n1 2 l n1 1
g(t)的表达式：g( t ) L T ( s ) sRes T(s)e ResT ( s ), pi p
1 n st n i 1
i
i 1
情况1：对T(s)的单实数极点-p，记( s ) ( s p) ( s ), 满足 ( p) 0
(s
l
j l )( s l j l ) 0 (3 - 23)
的根 pl l 1,..., n1） l j l ( l n1 1,..., n1 n n1 2) （ ,
02:27 在左半s平面。
5.1 稳定性的基本概念
二、判别系统稳定性的方法 一般情况下，确定系统稳定性的方法有： 1 直接计算或间接得知系统特征方程式的根。 2 确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。 应用第一种类型的两种方法是：(1)直接对系统特征方 程求解；(2)根轨迹法 应用第二种类型的两种方法是：(1)劳斯-胡尔维茨判据; (2)奈氏判据
02:27
利用MATLAB分 析系统的稳定 性及特性
引言
一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被
控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。
反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。 如何系统稳定性定义？ 什么样的系统才是稳定的系统？ 反馈控制系统的特性如何？有什么优势？
02:27
5.1 稳定性的基本概念
l 1 n1 n n1 n n1 2 l n1 1
a n ( s pl )
l 1 n1
(s p [s
l1
)( s pl 2 )
( 3 - 25)
a n ( s pl )
l 1
n1 n n1 2 2 l n1 1
e t (Q ( p1 ) Q ( p2 )) cos t j (Q ( p1 ) Q ( p2 )) sint
Q( p1 ) Q( p2 )
j (Q( p1 ) Q( p 2 ))
4Q( p1 )Q( p2 )
均为实数
综上得到： ( t ) Al e pl t g 02:27
பைடு நூலகம்
( s ) s p ( s ) ( s p) ( s )s p 0 (3 - 15)
ResT ( s ), p N ( s ) st e ( s ) Q ( p )e pt
s p
Q( p) N ( p) ( p) 为不为零的常数
1 P ( p)e pt ( k 1)!
5.1 稳定性的基本概念
情况3：对于T(s)的共轭复数极点， p1 j , p2 j 2
ResT ( s ), p
l 1 l
e jz cos z j sin z
e t Q ( p1 )e jt Q ( p2 )e jt
( pl 1 pl 2 ) s p l 1 pl 2 ]
0
1.稳定性的必要条件
al 0
根具有负的实部，则 l 0，pl 1 pl 1 0，pl 1 pl 2 0 p
各因子相乘展开所得的多项式的系数就是这些正数的乘 积组成的，因此也必定为正数，即方程（3-25）的所有 02:27 系数均为正， al>0。 教材 例5-1 例5-2
第五章 控制系统的稳定性及特性
5.1 稳定性的基本概念 5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
5.3 频域分析中的奈奎斯特稳定性判据
5.4 用频域法分析系统的相对稳定性 习题解答
02:27
引言
本章知识体系 控制系统的结构 及其传递函数 闭环系统的 稳定性 反馈控制 系统 反馈控制系 统的特性 复杂反馈控制 系统的基本结 构及其特性
Q ( p1 ) Q ( p2 ) arctan j Q ( p1 ) Q ( p2 ) (3 - 20) 2 2 [Q ( p1 ) Q ( p2 )] [ j (Q ( p1 ) Q ( p2 ))] 1 4Q ( p1 )Q ( p2 ) 4Q ( p1 )Q ( p2 )
y( t )
0
g( )r ( t ) d N
0
g( ) d M , t 0 (3 - 13)
02:27
5.1 稳定性的基本概念
2 闭环传递函数的极点与系统的稳定性 闭环传递函数的一般形式为：
N ( s) T ( s) ( s)
n1 n1 n n1 l n1 1
( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0 (3 - 24)
02:27
5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
( s ) a n ( s pl )
2
1 1 8k s 1,2 4
02:27
系统稳定
5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
一、 劳斯判据及其应用
1、如何判定系统的稳定性？
直接求解出系统的闭环特征根 根据劳斯判据通过特征方程的系数判定根的分布
劳斯判据
系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数 决定的。劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的 稳定性的一种判据。 闭环系统的特征方程的一般形式：
2) Bl e l t sin( l t l )
Im
0
(b)
t
0
(b)
t
Re
Re
0 02:27
(a )
t
0
(c)
t
0
(a )
t
0
(c)
t
5.1 稳定性的基本概念
g(t)存在上界的充分必要条件：
n1 n n1 2 n1 pl t l t Ae Be sin( l t l ) dt M l n1 1 l 1
e t Q ( p1 )(cos t j sint ) Q ( p2 )(cos t j sint ) 4Q ( p1 )Q ( p2 )e t (cos t sin sint cos ) 4Q ( p1 )Q ( p2 )e t sin(t ) (3 - 19)
对于闭环系统在 ( t )作用下的输出响应，若 ( t )有界， r r
g( )r (t ) d N
0
g( ) d M , t 0
则要求t时，|g()|趋近于0。从g(t)入手分析系统稳 02:27 定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之间的关系。
5.1 稳定性的基本概念
0
g ( t )dt
0
(3 - 22)
当t 时，有e pl t 0, e l 0
即，系统的闭环传递函数极点均具有负实部。 闭环系统稳定性的充分必要条件：
系统的闭环特征方程 ( s ) ( s pl )
l 1 n1 n1 n n1 2 l n1 1
e pl t ( l 1,2,..., n1 )和e ( l j l ) t ( l n1 1, n1 2,..., n1 ( n n1 ) / 2) 被 称为 系 统的 运 动模 态 者共 轭 复模 态 ； 或 T(s )的 单位 脉 冲相 应 函数 则 有两 类 运动 模 态线 性 加而 成 。 g(t) 叠
5.2 时域分析中的劳斯和赫尔维茨稳定性判据
n n 1 2. 劳斯表 ( s ) an s an1 s a1 s a0 0
sn s n 1 s n 2 s n 3 s0
b1
an a n 1 b1 c1 h1
02:27
5.1 稳定性的基本概念
g(t)中的两种响应曲线
g( t ) Al e pl t
l 1
n1
n1 n n1 2 l n1 1
Bl e l t sin( l t l ), t 0
响应中的两种类型：
1) Al e
Im
pl t
K g ( s zi )
m
(s p ) (s
l 1 l
i 1 2
(3 - 14)
l
j l )( s l j l )
其中，单实极点个数n1，共轭极点对(n-n1)/2
1、稳定充要条件的推导
若要求y( t )也有界，根据
y( t )
0
共轭极 点对
Bl e l t sin( l t l ), t 0
Al l 1, 2, , n1），Bl (l n1 1, n1 2, , (n n1 ) 2)为常数 （
Al e pl t 和Bl e l t sin( l t l )为两种类型的响应；
02:27
5.1 稳定性的基本概念
例4 一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
k G( s) s (2s 1)
解：系统的闭环传递函数为 G( s) k k ( s) 2 1 G ( s) s (2s 1) k 2s s k
D( s ) 2 s s k 0
02:27
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当 扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不 稳定的，或不具有稳定性。
B
A
f
A' A
"
'
B" A
(a)
02:27
A0
(b)
图3-21 小球的稳定性
(c )
5.1 稳定性的基本概念
定义5-1（稳定的动态系统定义） 在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考 输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。 定义5-2（数学上严格的有界输入-有界输出稳定性定义） 输入：r(t),|r(t)|N (t0) 输出：y(t),
(3 - 16)
情况2：对T(s)的k重极点-p，记( s ) ( s p)k ( s ), 满足 ( p) 0
1 d k 1 ResT ( s ), p lim s p ds k 1 ( k 1)! 1 d k 1 lim s p ds k 1 ( k 1)!
系统能否工作及工作状态如何？ 1、能够工作：稳定性(稳) 2、反应能力：动态特性(快) 3、工作效果：稳态特性(准)
02:27
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的 首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和 内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境 条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定， 当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工 作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢 复原来的平衡状态。
02:27
N ( s ) st ( s p)k e ( s) N ( s ) st ( s) e (3 - 17)
d ( s ) 0, ds s p
d 2 ( s ) 0, ds2 s p
d k 1 ( s ) , 0 (3 - 18) dsk 1 s p P ( p) 0