苏教版八年级下册数学[二次根式(提高)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
二次根式（提高）知识讲解
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），
（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．
【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，式子(a ≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a 叫做被开方数．
要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
要点二、二次根式的性质
1.a ≥0，（a ≥0）；
2. （a ≥0）；
3.
. 要点诠释：
1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）.
2a 2()a 要注意区别与联系：
（1）a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值.
（2）a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念 1．（2015•启东）若x 、y 为实数，且224412x x y x -+-+=+，求x y x y +-的值．
【答案与解析】∵y=
，
∴x 2﹣4=0，x+2≠0，
解得：x=2，
∴y=， ∴1137372244224
x y x y +-=+⨯-=⨯=． 【总结升华】主要考查了二次根式有意义的条件，得出x ，y 的值是解题关键． 举一反三：
【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）.
A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2
【答案】C
类型二、二次根式的性质
2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：
(1)
； (2). 【答案与解析】
解：(1)
(2)
【总结升华】二次根式性质的运用.
举一反三：
【二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】
【变式1】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？
（1）y=x -－1
1+x ,__________；（2）y=222+-x x ，___________.
【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-≥，≤且
（2）2222(1)10,x x x x -+=-+>∴为任意实数. 【变式2】问题探究： 因为
，所以， 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：
（1）
；（2）．
【答案】
解：（1）
=
=
； （2）
=
=． 3.（2016春•濮阳期末）先阅读，后解答：
（1）由根式的性质计算下列式子得：
①=3，②=，③=，④=5，⑤=0．
由上述计算，请写出的结果（a 为任意实数）．
（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：
①
= ； ②化简：
（x ＜2）= ．
（3）应用：
若+=3，则x 的取值范围是 ． 【思路点拨】（1）将a 分为正数、0、负数三种情况得出结果；
（2）①当a=3，14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a ，即得π﹣3.14；
②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；
（3）根据（1）式得：+=|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值．
【答案与解析】
解：（1）=|a|=；
（2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14，
②（x＜2），
=，
=|x﹣2|，
∵x＜2，
∴x﹣2＜0，
∴=2﹣x；
故答案为：①π﹣3.14，②2﹣x；
（3）∵+=|x﹣5|+|x﹣8|，
①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，
所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x．
②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0．
所以原式=x﹣5+8﹣x=3，
③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，
所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13．
∵+=3，
所以x的取值范围是5≤x≤8，
故答案为：5≤x≤8．
【总结升华】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2=a
（a ≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．
【二次根式及其乘除法（上）例4】
4.已知c b a ,,为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ．
【思路点拨】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边．
【答案】a b c ++
【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->
即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了三角
形三边的性质.。