2023年江苏省徐州市中考数学二模试卷(含解析)

2023年江苏省徐州市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −1
2023B. −2023 C. 1
2023
D. 2023
2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若2<a<π，下列结论中正确的是( )
A. 1<a<3
B. 1<a<4
C. 2<a<3
D. 2<a<4
4. 下列运算结果是x4的是( )
A. x6÷x2
B. x2+x2
C. (−2x2)2
D. −(x2)2
5. 如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是( )
A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 主视图和左视图
6. 下列图形中，∠2>∠1的是( )
A. B. C. D.
7. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式S2=(2−−x)2+2(3−−x)2+(7−−x)2
n
，据此判断下列说法错误的是( )
A. 样本容量是4
B. 样本的平均数是4
C. 样本的众数是3
D. 样本的中位数是3
8. 平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象限，若点(0,a)，(−1,b)，(c,−1 )都在直线l上，则下列判断正确的是( )
A. a<b
B. a<3
C. b<3
D. c<−2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 分解因式：2x2−8=______ ．
10. 2022年徐州实施棚户区改造7700000m2，其中7700000用科学记数法表示为______ ．
11.
如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取
点，那么这个点取在阴影部分的概率是．
12. 若分式x
有意义，则x的取值范围是______．
x−1
13. 若圆锥的母线长为5，底面半径为2，则这个圆锥的侧面积为______ ．
14. 关于x的方程x2+mx−4=0的一根为x=1，则另一根为______ ．
15. 在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为“同号点”.若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是______ ．
16. 如图，在△ABC中，DE//BC，若AD=1，DB=2，则DE
的值为
BC
______．
17.
如图，太阳光线与地面成60°的角，此时在太阳光线的照射
下，地面上的篮球在地面上的投影AB的长为202cm，则该篮球
的直径长为______ cm．
18. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABC
D与正方形EFGH.连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，
则正方形ABCD的面积为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：
(1)(−1)2023+|2−2|−2cos45°+8；
(2)(1
x+2+1)÷x2+6x+9
x+3
．
20. (本小题10.0分)
(1)解方程：x
x+1=x
3x+3
+1；
(2)解不等式组：{2x−5≤3(x−1)
2x<x+3
2
21. (本小题7.0分)
某校为了解学生安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成A“很强”，B“较强”，C“一般”，D“淡薄”四个类别，并将调查结果绘制成如图两幅均不完整的统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)这次共抽取了______ 名学生进行调查统计，扇形统计图中D类别所对应的扇形圆心角的度数是
______ °；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1200名学生，估计该校学生中“安全意识很强”的学生大约有多少人？
22. (本小题7.0分)
为阻断流感传播，某社区设置了A、B、C三个发热检测点.假定甲、乙两人去某个检测点是随机的且去每个检测点机会均等．
(1)甲在A检测点的概率为______ ．
(2)求甲、乙两人在不同检测点的概率.(画树状图或列表)
23. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△BOC≌△CED，
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE=2，DE=3，则菱形ABCD的面积为______ ．
24. (本小题7.0分)
如图，甲、乙两位旅游爱好者都从点A出发，走不同路线探险，并约定在点C处会合.甲从点A 出发先沿着正东方向行走1400m到达点B处，再沿着正北方向行走到达点C；乙亦从点A出发，沿着东北方向行走到点D处，再由点D处沿着南偏东60°方向行走4003m到达点C，与甲会合．
(1)求点D到BC的距离；
(2)为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是1200米，当甲在点B 处，乙恰好在点D处，此时乙能否收到甲的对讲机信号？请说明理由．
25. (本小题7.0分)
超市销售某品牌瓶装饮料，每箱售价是36元，现超市对该款饮料进行促销活动，根据以下对话内容，求该款饮料一箱有多少瓶？
26. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按如下过程进行尺规作图：
①作AB的垂直平分线，交AB于点O；
②连接OC，以O为圆心，OC为半径，作△ABC的外接圆；
③在AB的右侧作∠BOD=∠CBO；
④在OD取一点E使BE=CO(点E不与点O重合)，连接BE．
(1)求证：四边形CBEO是平行四边形；
(2)当∠A=______ °时，BE与⊙O相切，并说明理由．
27. (本小题10.0分)
将矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(8,0)，点C(0,6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，沿着AP折叠该纸片，得点O的对应点O′．
(1)如图1，若∠OAP=14°，则∠CPO′=______ °；
(2)如图2，若OP=4，求△ABO′的面积；
(3)连接CO′，当△CPO′是直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．
28. (本小题12.0分)
抛物线y=−x2+bx+3与直线y=x+1相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A在x轴的负半轴上．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
(2)如图1，直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AB于点H，求垂线段PH的最大
值；
(3)如图2，当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，交抛物线的对称轴于点M，当AM+
5
DM最小时，直接写出此时AP的长度．
5
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的相反数为2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：∵1<2<4，
∴1<2<2，
∵2<a<π，3<π<4，
∴1<a<4．
故选：B．
先估算出2和π的取值范围，再根据估算出a的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，能够正确估算出2和π的取值范围是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.x6÷x2=x4，故A符合题意；
B.x2+x2=2x2，故B不符合题意；
C.(−2x2)2=4x4，故C不符合题意；
D.−(x2)2=−x4，故D不符合题意．
故选：A．
运用公式a m÷a n=a m−n，(a m)n=a m n，(ab)m=a m b n进行计算和合并同类项法则，即可逐一判断．
本题考查了幂的运算及合并同类项，掌握公式及法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：C．
从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从左面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1，依此画出图形即可判断．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故A不符合题意；
B、经过圆心的直径垂直于弦，则也平分相应的弦，可得到相应的内接三角形是等腰三角形，故有∠1=∠2，故B不符合题意；
C、∵∠2是三角形的外角，∴∠2>∠1，故C符合题意；
D、∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1=∠2，故D不符合题意；
故选：C．
根据对顶角的性质，圆周角定理以及三角形外角的性质即可作出判断．
本题考查了对顶角，圆周角定理以及三角形外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．7.【答案】B
【解析】解：根据方差算式s2=(2−−
x)2+2(3−
−
x)2+(7−
−
x)2
n
可得，这组数据有2，3，3，7共4个，
因此样本容量为4，样本众数为3，
中位数是3+3
2
=3，
平均数为：2+3+3+7
4=15
4
，
故B错误，符合题意．故选：B．
根据方差算式s2=(2−−
x)2+2(3−
−
x)2+(7−
−
x)2
n
得出n=4，样本中数据为2，3，3，7，再根据平均数
计算公式求出平均数，得出众数和中位数即可．
本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，样本容量，掌握中位数和众数，平均数的计算方法是关键．
8.【答案】D
【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵直线l经过一、二、三象限，
∴k>0，
∴y随x的增大而增大，
∵直线l过点(−2,3).点(0,a)，(−1,b)，(c,−1)，
∴c<−2，3<b<a，
故选：D．
设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，根据经过一、二、三象限判断出k的符号，根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
9.【答案】2(x−2)(x+2)
【解析】解：2x 2−8
=2(x 2−4)
=2(x−2)(x +2)．
故答案为：2(x−2)(x +2)．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，可采用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10.【答案】7.7×106
【解析】解：7700000=7.7×106，
故答案为：7.7×106．
科学记数法的表现形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
11.【答案】47
【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的47，即这个点取在阴影部分的概率是47，故答案为：47．
根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键．12.【答案】x ≠1
【解析】解：∵分式的分母不等于0时，分式有意义，
∴x−1≠0，
∴x ≠1．
故答案为：x ≠1．
利用分式的分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不等于0时分式有意义列出不等式是解题的关
键．
13.【答案】10π
×2π×2×5=10π．
【解析】解：根据题意，这个圆锥的侧面积=1
2
故答案为：10π．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出这个圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】x=−4
【解析】解：设这个一元二次方程的另一根为x2，
∵关于x的方程x2+mx−4=0的一根为x=1，
∴1×x2=−4
1
∴x2=−4
故答案为：x=−4．
设这个一元二次方程的另一根为x2，根据一元二次方程的根与系数的关系可得结果．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
15.【答案】y=−1
(答案不唯一)
x
【解析】解：∵对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为“同号点”．
而某函数图象上不存在“同号点”，
∴函数图象不在第一，第三象限，
∴其函数表达式可以是y=−1
；
x
．
故答案为：y=−1
x
根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案．
本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是
解本题的关键．
16.【答案】1
3
【解析】解：∵DE//BC，
∴DE BC =AD
AB
，
∵AD=1，BD=2，∴AB=3，
∴DE BC =1
3
，
故答案为：1
3
．
根据平行线分线段成比例定理推出DE
BC =AD
AB
，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线被两条直线所截的对应线段成比例中的对应．题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
17.【答案】106
【解析】解：如图，太阳光线与⊙O相切于C、D，如图，过A作AE⊥DB于E，连接OC、OD，AB=202cm，∠ABD=60°，
∵太阳光线与⊙O相切于C、D，
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
而AC//BD，
∴OC⊥DB，
∴点C、O、D共线，即CD为⊙O的直径，
∵AE⊥BD，
∴四边形AEDC为矩形，
∴AE=CD，
在Rt△ABE中，∵sin∠ABE=AE
AB
，
∴AE=202sin60°=202×3
2
=106，
∴CD=106cm，
即皮球的直径长为106cm．
故答案为：106．
太阳光线与⊙O相切于C、D，如图，过A作AE⊥DB于E，连接OC、OD，AB=202cm，∠ABD= 60°，利用切线的性质得OC⊥AC，OD⊥BD，加上AC与BD为平行光线，则OC⊥DB，可判断点C、O、D共线，即CD为⊙O的直径，易得四边形AEDC为矩形，则AE=CD，然后在Rt△ABE中，利用∠ABE的正弦可计算出AE，从而得到圆的直径CD的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了平行投影．
18.【答案】4+22
【解析】解：设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，
∴正方形EFGH的边长是a−b，
∵正方形EFGH的面积为2，
∴(a−b)2=2，
∴a2+b2−2ab=2，
∵AH平分∠DAN，
∴∠DAH=∠NAH，
∵∠AHD=∠AHN=90°，AH=AH，
∴△AHD≌△AHN(ASA)，
∴DH=NH=b，
∵AH//CF，
∴∠HAM=∠FCM，
∵FC=AH，∠CFM=∠AHN=90°，
∴△AHN≌△CFM(ASA)，
∴FM=NH=b，
∴EM=a−b−b=a−2b，
∵ME//HN，
∴△AME∽△ANH，
∴ME：NH=AE：AH，
∴(a−2b)：b=b：a，
∴a2−b2=2ab，
∴b2=1，
∴b=1(舍去负值)，
∵(a−b)2=2，
∴a=1+2或1−2(舍去)，
∴AD2=a2+b2=(1+2)2+1=4+22，
∴正方形ABCD的面积是4+22．
故答案为：4+22．
设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，可求得a2+b2−2ab=2，结合正方形的性质证明△AHD≌△AHN，△AHN≌△CFM可用a，b表示EM、NH、AE、AH，再证明△AME∽△ANH，列比例式可得a2−b2=2ab，进而可求得b，a的值，再利用勾股定理求得AD2，即可求解．
本题主要考查勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，求解直角三角形的两直角边边长是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=−1+2−2−2×2
2
+22
=−1+2−2−2+22
=1；
(2)原式=x+3
x+2÷(x+3)2
x+3
=x+3
x+2×x+3
(x+3)2
=1
x+2
．
【解析】(1)根据有理数的乘方，化简绝对值，特殊角的三角函数值，化简二次根式，进行计算即可求解；
(2)先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握有理数的乘方，化简绝对值，特殊角的三角函数值，化简二次根式，分式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)x
x+1=
x
3(x+1)
+1
去分母，得：
3x=x+3(x+1)
解这个整式方程，得：
x=−3
检验：当x=−3时，3(x+1)≠0
∴x=−3是原分式方程的解．
(2){2x−5≤3(x−1)①
2x<x+3
2
②
由①得，
x≥−2，
由②得，
x<1，
∴这个不等式组的解集为−2≤x<1．
【解析】(1)把分式方程变为整式方程，解这个整式方程，并检验；
(2)先求出两个不等式的解集，再利用数轴求其公共解．
本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
21.【答案】6018
【解析】解：(1)这次调查一共抽取的学生数是：9÷15%=60(名)，
扇形统计图中D类别所对应的扇形圆心角的度数是360°×3
60
=18°．
故答案为：60，18；
(2)A类的人数为：60−36−9−3=12(人)，
补全条形统计图如下：
(3)1200×12
60
=240(人)，
估计该校学生中“安全意识很强”的学生大约有240人．
(1)根据一般的人数和所占的百分比即可得出答案；用360°乘D类所占比例可得D类别所对应的扇形圆心角的度数；
(2)用总人数乘以较强所占的百分比，求出A类的人数，从而补全统计图；
(3)用总人数乘安全意识很强的学生所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22.【答案】1
3
【解析】解：(1)甲在A检测点做核酸的概率为1
3
，
故答案为：1
3
；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人在不同检测点做核酸有6种结果，
∴甲、乙两人在不同检测点做核酸的的概率为6
9=2
3
．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人在不同检测点做核酸有6种结果，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】12
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴BO =DO ，AC ⊥BD ．
又∵△BOC≌△CED ，
∴BO =CE ，OC =ED ，
∴DO =CE ，
∴四边形OCED 是平行四边形．
又∵AC ⊥BD ，
∴∠DOC =90°，
∴平行四边形OCED 是矩形；
(2)解：由(1)知，平行四边形OCED 是矩形，则CE =OD =2，DE =OC =3．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC =2OC =6，BD =2OD =4，
∴菱形ABCD 的面积为：12AC ⋅BD =12
×6×4=12；
故答案为：12．
(1)由题意易得BO =DO ，AC ⊥BD ，然后可得四边形OCED 是平行四边形，进而问题可求证；
(2)由(1)及题意易得CE =OD =2，DE =OC =3，然后根据菱形的面积公式可进行求解．
考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．
24.【答案】解：(1)过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
在Rt△DCH中，∠CDH=90°−60°=30°，CD=4003m，
=600(m)，
∴DH=CD⋅cos30°=4003×3
2
∴点D到BC的距离为600m；
(2)此时乙能收到甲的对讲机信号，
理由：过点D作DG⊥AB，垂足为点G，连接BD，
由题意得：BG=HD=600m，
∵AB=1400m，
∴AG=AB−BG=1400−600=800(m)，
在Rt△ADG中，∠DAB=90°−45°=45°，
∴DG=AG⋅tan45°=800(m)，
在Rt△BDG中，BD=BG2+DG2=6002+8002=1000(m)，
∵1000m<1200m，
∴此时乙能收到甲的对讲机信号．
【解析】(1)过点D作DH⊥BC，垂足为点H，在Rt△DCH中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，即可解答；
(2)过点D作DG⊥AB，垂足为点G，连接BD，根据题意可得：BG=HD=600m，从而可得AG=800 m，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而在Rt△BDG中，利用勾股定理求出BD的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．25.【答案】解：设该款饮料一箱有x瓶，
根据题意可得：0.9×36
x =36
x+2
，
解得：x=18，
经检验，x=18是原方程的解，答：该款饮料一箱有18瓶．
【解析】设该款饮料一箱有x瓶，可得：0.9×36
x =36
x+2
，解方程并检验即可得到答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
26.【答案】45
【解析】(1)证明：∵∠BOD=∠CBO，
∴BC//OE，
∴∠CBE+∠BEO=180°，
∵BE=CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOD=∠BEO，
∴∠OCB+∠CBE=180°．
∴CO//BE，
∴四边形CBEO是平行四边形；
(2)解：当∠A=45°时，BE与⊙O相切，
理由：
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠BOD=∠BEO=45°，
∴∠OBE=90°，
∴BE与⊙O相切．
故答案为：45．
(1)由作图可知∠BOD=∠CBO，BC//OE，可得∠CBE+∠BEO=180°，而BE=CO=BO，有∠OC B=∠OBC=∠BOD=∠BEO，即得∠OCB+∠CBE=180°.CO//BE，从而四边形CBEO是平行四边
形；
(2)当∠A=45°时，由∠ACB=90°，得∠ABC=45°，故∠BOD=∠BEO=45°，知∠OBE=90°，从而得BE与⊙O相切．
本题考查作图−复杂作图，涉及平行四边形的判定，圆的切线等知识，解题的关键是平行四边形的判定定理和圆的切线的判定定理．
27.【答案】28
【解析】解：(1)由折叠的性质得∠PAO=∠PAO′=14°，∠POA=∠PO′A=90°，
∴∠OPO′=360°−90°−90°−2×14°=152°，
∴∠CPO′=180°−152°=28°，
故答案为：28；
(2)延长PO′交AB的延长线于点M，
由翻折知：∠APO=∠APO′，
∵CO//AB，
∴∠APO=∠PAM．
∴∠APO′=∠PAM，
∴PM=AM．
设O′M=y，则PM=AM=4+y．
在Rt△AO′M中．O′M2+O′A2=AM2，即y2+82=(y+4)2．
解得：y=6．
∴AM=4+y=10，
∴AB AM =6
10
=3
5
，
∵S△A O
′M =1
2
AO′⋅MO′=1
2
×8×6=24，
∴S△A B O
′=3
5
S△A O
′M
=3
5
×24=72
5
；
(3)当∠PCO′=90°时，点O′落在边OB上，△CPO′是直角三角形，
∵点A(8,0)，点C(0,6)，四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=6，OA=CB=8，∠B=90°．
根据题意，由折叠可知△AOP≌△AO′P，
∴O′A=OA=8，OP=O′P，∠AOP=∠AO′P=90°，
在Rt△AO′B中，BO′=O′A2−AB2=27，
∴CO′=BC−BO′=8−27．
∵∠CO′P+∠CPO′=∠CO′P+∠AO′B=90°，
∴∠CPO′=∠AO′B，
∴△CPO′∽△BO′A，
∴CO′
AB =O′P
AO′
，即8−27
6
=O′P
8
，
解得OP=O′P=32−87
3
，
∴点P的坐标为(0,32−87
3
)；
当∠PO′C=90°时，△CPO′是直角三角形，
由折叠的性质知∠AOP=∠AO′P=90°，则点O′落在对角线OA上，
AC = 62+82=10，
∴O′C =10−8=2，
设OP =O′P =x ，则CP =6−x ，
在Rt △PCO′中，由勾股定理得(6−x )2=x 2+22，
解得x =83，
∴点P 的坐标为(0,83)；
综上，点P 的坐标为(0,83)或(0,32−8
73)．
(1)利用折叠的性质得到∠PAO =∠PAO′=14°，∠POA =∠PO′A =90°，再利用四边形内角和定理求得∠OPO′的度数，据此求解即可；
(2)延长PO′交AB 的延长线于点M ，推出PM =AM ，设O′M =y ，在Rt △AO′M 中，利用勾股定理列式计算求得y =6，据此求解即可；
(3)分两种情况讨论，当∠PCO′=90°时，点O′落在边OB 上以及当∠PO′C =90°时，点O′落在对角线OA 上，即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
28.【答案】解：(1)∵y =x +1与x 轴交于点A ．
∴将y =0代入得x =−1，
∴点A (−1,0)，
将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0=−1−b +3，
解得：b =2．
故抛物线的函数表达式为：y =−x 2+2x +3=−(x−1)2+4①，
即顶点D 的坐标为(1,4)；
(2)设直线AB 与y 轴交于点E ，令x =0，得y =1，故点E 的坐标为(0,1)，
∵OA =OE =1，
∴△OAE 为等腰直角三角形，
如图1，过点P 作PN //y 轴，交直线AB 于点N ，则∠PNB =45°，
∴△PNH 是等腰直角三角形，
∴PH = 22
PN ，设点P (m ,−m 2+2m +3)，则点N (m ,m +1)，∴PN =−m 2+2m +3−m−1=−(m−12)2+94≤94，
∴PH 的最大值为9 2
8；
(3)如图2，设抛物线与x 轴的另外一个交点为T (3,0)，抛物线和x 轴的交点为L (1,0)，连接DT ，则tan ∠LDT =LT DL =24=12，则sin ∠LDT = 55
，过点M 作MR ⊥DT 于点R ，延长MR 交抛物线与点P ，
则此时，MR =DMsin∠LDT =
55DM ，故当A 、M 、R 共线时，AM + 55
DM =AM +MR 为最小，∵∠DRM =∠ALM =90°，∠DMR =∠AML ，
∴∠PAL =∠LDT ，
即sin ∠PAL =sin ∠LDT =
55，则tan ∠PAL =12，故直线AP 的表达式为：y =12(x−x A )=12×(x +1)=12x +12②，
联立①②得：−x 2+2x +3=12x +12，
解得：x =−1(舍去)或52，
则点P 的坐标为：(52,74)，
由点P 、A 的坐标得，PA =7 5
4．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)证明△PNH 是等腰直角三角形，则PH = 22PN ，进而求解；(3)证明MR =DMsin∠LDT =
55DM ，得到故当A 、M 、R 共线时，AM + 55DM =AM +MR 为最小，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、胡不归问题等，有一定的综合性，难度适中．。