江苏省张家港市后塍高中高三数学周考9苏教版

张家港市后塍高中2013-2014第一学期高三数学周考9
2013.12 姓名： 学号：
一.填空题
1. 已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B A I
2. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t S ，则t 的值为
3. 设i
i
bi a R b a 432,,--=
+∈（i 为虚数单位），则b a += 4.在△ABC 中，22==BC AB ,6
π
=∠A ,则△ABC 的面积为 ．
5.函数)6
2sin(3π
+
=x y []()0,π-∈x 的单调递增区间为_____________
6．给出如下四个命题：
①命题“若122,->>b
a
b a 则”的否命题为“若a b ≤，则221a b
≤-”； ②若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
③“11,2
≥+∈∀x R x ”的否定是“11,2
≤+∈∃x R x ” ； ④ABC ∆中，“23sin >A ”是“3
π
>A ”的充分不必要条件．
其中不正确．．．
的命题的序号是 ． 7. 已知a ＝（1，2m ），b ＝ (2，－m ) ，则“1=m ”是“a ⊥b ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 8. 设直线是b x y +=3是曲线x e y =的一条切线，则实数b 的值是 ． 9. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2
||π
ϕ<
）的图象如图所示，
为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所
有点向右平移 个单位长度.
10. 函数0(1)3(log >-+=a x y a ，且1≠a ）的图象恒过点A ， 若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则
n
m 2
1+的最小值是 ． 11. 动点(,)P a b 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3004x y x y x 表示的平面区域内部及其边界上运动，则
3
4
a b w a +-=
-的取值范围是 . 12.已知数列{a n }(n ∈N *
)满足⎩⎨⎧∈≥-==-),7()
6,5,4,3,2,1(*6
N n n a n n a n n ，则a 2 012 ＝_ .
13.已知三次函数32
()f x ax bx cx d =+++的图象如右图所示，
则
(3)
(1)
f f '-=' ． 14.已知函数x x x f 5)(2-=，数列{}n a 的通项公式为)(6
*N n n
n a n ∈+
=.当14)(-n a f 取得最小值时，n 的所有可能取值集合为 .
*13.已知△ABC
中， AB
边上的中线
CM = 2，若动点P 满足
)(cos sin 2
1
22R ∈⋅+⋅=θθθ，则PC PB PA ⋅+)(的最小值是 ．
*14.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+成立，且当
[2,0]x ∈-时，1()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(1)a >在区
间(0,6]内恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是 ．
二．解答题
15．（本题满分14分）已知函数
2()cos 2cos f x x x x ωωω=+，（其中01ω<<），
若点(,1)6
π
-
是函数()f x 图象的一个对称中心.
（1）试求ω的值；
（2）当],[ππ-∈x 时，求函数()f x 的值域.
16．（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且满足
C b B c a cos cos )2(=-． （1）求角B 的大小； （2）设)2cos ,3(),1,(sin A A ==，试求⋅的取值范围．
17．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：12=1,=(>0)a a a a ，数列{}n b 满足：
+1=()n n n b a a n N *∈．
（1）若数列}{n a 是等差数列，且3=12b ，求a 的值及}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n a 是等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18. 在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
19. （本小题满分16分）设函数
x x x
a
x f ln )(+=
， 3)(23--=x x x g (Ⅰ)当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足条件的最大整数M ； (Ⅲ)如果对任意的[]2,1,∈t s ，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围.
20．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(*2N n n S n ∈=． （1）求n a ；
（2）设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=为偶数，为奇数，n n
f n a n f n ),2
(,)())(42(*N n f c n n ∈+=，求数列}{n c 的前n 项和n T ； *（3）设λ为实数，对满足k n m 3=+且n m ≠的任意正整数k n m ,,，
不等式k n m S S S ⋅>+λ恒成立，试求实数λ的最大值．
参考答案1、}4,2,0{ 2、2- 3、5
3
4、2
3
5、)65,(ππ--，)0,3(π-
6、
② ③ 7、充分不必要
8、3ln 33- 9、6π
10、8 11、[－7，3]
12、-2 13、-5 14、 {1，6} *13、-2 *14、)2,4(
3
15、
：由题设得2()cos 2cos f x x x x ωωω=+
2cos 21x x ωω++
=2sin(2)16
x π
ω+
+ ……………………………4分
（Ⅰ）Q 点(,1)6
π
-是函数()f x 图象的一个对称中心，
∴,3
6k k Z ωπ
π
π-
+
=∈∴132k ω=-+∵01ω<<∴0k =，1
2
ω= …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2()16
f x sin x π
=+
+，x ∈[],ππ-
函数在x ∈[],ππ-上的值域是]3,1[-
16．解：（1）因为C b B c a cos cos )2(=-，所以C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-，即A B C C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin sin sin 2=+=+=， 而0sin >A ，所以2
1
cos =
B ，故060=B ； （2）因为)2cos ,3(),1,(sin A A ==，
所以8
17
)43(sin 2sin 21sin 32cos sin 322+
--=-+=+=⋅A A A A A ， 由⎪⎩
⎪⎨⎧<<=<<000
090060900C B A 得⎩⎨⎧<-<<<0
0000901200900A A ， 所以009030<<A ，从而)1,2
1(sin ∈A ， 故n m ⋅的取值范围是]8
17,
2(． 17、解：（1）
{}n a Q 是等差数列，)0(,121>==a a a a ，∴)1)(1(1--+=a n a n ，又123=b ，∴1243=a a ，即12)23)(12(=--a a , 解得：6
5
-
=a （舍去）或2=a ， ∴n a n =； （2）{}n a Q 是等比数列，)0(,121>==a a a a ，∴1-=n n a a ，有121-+==n n n n a a a b ，∴
21
a b b n
n =+，即数列{}n b 是首项为a ，公比为2a 的等比数列， ∴当1=a 时，n S n =； 当1a ≠时，2212
2(1)11
n n n a a a a
S a a +--==--． 18解：设箱底边长为x ，则箱高为)0(2
33a x x a h <<-⨯=
， 箱子的容积为)0(8
1
8160sin 21)(3202a x x ax h x x V <<-=⨯⨯=．
由08
341)(2'=-=x ax x V 解得01=x （舍），a x 32
2=，
且当)32,0(a x ∈时，0)('>x V ；当),3
2
(a a x ∈时，0)('<x V ，
所以函数)(x V 在a x 3
2
=
处取得极大值， 这个极大值就是函数)(x V 的最大值：3
3254
1)32(81)32(81)32(a a a a a V =⨯-⨯=．
答：当箱子底边长为a 32
时，箱子容积最大，最大值为3
54
1a ． 19、(1)当2a =时,2()ln f x x x x =
+,22
()ln 1f x x x
'=-++,(1)2,(1)1f f '==- 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+
(2)12,[0,2],x x ∃∈使得12()()g x g x M -≥成立，等价于12max [()()]g x g x M -≥ 考虑3
2
2
2
()3,()323()
3g x x x g x x x x x '=--=-=- x
2(0,)3
23
)2,3
2( 2
()g x '
0 －
＋
()g x
3-
递减
极（最）小值
8527
-
递增 1
由上表可知，min max 285
()(),()(2)1327
g x g g x g ==-
== 12max max min 112
[()()]()()27
g x g x g x g x -=-=
所以满足条件的最大整数4M =
(3)对任意的[]2,1,∈t s ，都有()()f s g t ≥，等价于：在区间[]2,1上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值 由(2)知，在区间[]2,1上，()g x 的最大值为(2)1g =
()ln 1a
f x x x x
=
+≥，等价于2ln a x x x ≥-恒成立 即函数2
()ln h x x x x =-在区间[]2,1上递减， 所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥
20、19. 解：（1）当2≥n 时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ， ……2分
当1=n 时，111==S a ，满足上式，所以12-=n a n ； ……4分
（2）由分段函数⎪⎩⎪
⎨⎧=为偶数为奇数
n n f n a n f n ),2(,)(可以得到：
,
1)1()2()4()8(,
5)3()6(1231==========a f f f f c a f f c ……6分
当*,3N n n ∈≥时，
121)12(2)12()22()42(1221+=-+=+=+=+=----n n n n n n f f f c ，
故当*,3N n n ∈≥时，
)12()12()12(15132++++++++=-n n T Λ
n n n n +=-+--+=-2)2(21)
21(462，
所以⎩
⎨⎧≥+==2,21
,5n n n T n n ；
（3）由2n S n =，及k n m S S S ⋅>+λ得222k n m ⋅>+λ，
mn
n m n m n m n m k n m k n m 2)
(9)()(9,322222
22222+++=++=+∴=+Θ， 29
)(92)(9),(22
2222222222222
2
=++++>+++=+∴≠+<n
m n m n m mn n m n m k n m n m n m mn Θ， 要2
22k n m +<λ恒成立，只要29≤λ，∴λ
的最大值为29
．。