第9章刚体的平面运动

第九章 刚体的平面运动
§ 9-1刚体平面运动的概述和运动分解
刚体的平面运动在工程中是常见的。

例如 （1）行星齿轮机构中动齿轮B 的运动
（2） 曲柄连杆机构中连杆的运动； （3）
车轮沿直线轨道滚动。

C
V C
*
■
(c)
它们的共同运动特点是：在运动时，冈I 」体上的任意一点与某一固定平面 始终保持相等的距离。

刚体的这种运动称为平面运动。

根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图 形S 在其自身平面内的运动。

设刚体作平面运动，某一固定平面为 P o ，如图2所示，过刚体上M 点作 一个与固定平面P o 相平行的平面P ，在刚体上截出一个平面图形S ，平面图 形S 内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面 P 内运动。

过M 点作与固 定平面P o 相垂直的直线段M i M 2，直线段M
i
M 2的运动为平移，其上各点的运 动均与M 点的运动相同。

因此刚体作平面运动时，只需研
究平面图形
S 在其
自身平面P 内的运动即可。

如图3所示，在平面图形S 内建立平面直角坐标系oxy ，来确定平面图形S 的位置。

为
(a) (b)
图1
确定平面图形S的位置只需确定其上任意直线段AB的位置，
x
线段AB 的位置可由点A 的坐标和线段AB 与x 轴或者与y 轴的夹角来确定。

即有
X A f i （t ）
旳A f 2（t ）
f 3（t ）
上式称为平面图形S 的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。

点
A 称
为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，冈H 体在任一瞬时的位置 和运动规律就可以确定了。

S 的运动。

平面图形在其自身平面内的位置，完全 O M 的位
置来确定。

平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动 （牵连速
度）和绕基点的转 动（相对运动）。

即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。

应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。

但是，选取不同的基点
A
或B,则平动的位移是不同的，从而，图形随A 点或B 点平动的速度和加速度 也不相同。

因此，图形的平动与基点的选取有关。

然而对于绕不同的基点转 过的转角厶©和厶© '的大小及转向却总是相同，即△ © =△ © '，于是
1
O
oM i
y*
y
B
P / «
S 仆M
y A
A f 、©
P
O
X A
图8-3
图2
图3
现在来研究平面图形 可以由图形内任意一线段
x
_ ! ______________ !
3 =3 ，£= £
这说明，在任意瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都是相同的。

即图形的转动与基点的选取无关。

§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
1.基点法
和绕基点的转动的合成。

因此，运用速度合成定理 求平面图形内各点的速度。

如图4所示，取A 为基点，求平面图形内B 点 的速度，设图示瞬时平面图形的角速度为 3,由速 度合成定理知，牵连速度V e
V A ，相对速度 v r v BA
3 AB
V B V A V BA
(* )
求平面图形S 内任一点速度的基点法：在任
图4
一瞬时，平面图形内任一点的速度等于基点的速度和绕基点转动速度的矢量 和。

2.速度投影法
已知平面图形S 内任意两点A 、B 速度的方 位，如图5所示，将式（* ）向AB 连线投影为：
[V A ] AB [ V B ] AB
即得速度投影定理：平面图形S 内任意两点的速 度在两点连线上投影相等。

例1如图所示，滑块A B 分别在相互垂直的滑槽中滑动，连杆 AB 的长度为 l =20cm 在图示瞬时，V A =20cm/s ，水平向左，连杆 AB 与水平线的夹角为
平面图形S 运动可以看成是随着基点的平移
A
JA
V B
B
a
[V
A ] A
B [ V B ] AB
30°，试求滑块B 的速度和连杆AB 的角速度
解：连杆AB 作平面运动，因滑块A 的速度是已知的，故选点A 为基点，滑块
B 的速度为
v B v A V BA
上式中有三个大小和三个方向，共六个要素，其中V B 的方位是已知的，V B 的 大小是未知的；V A 的大小和方位是已知的；点 B 相对基点转动的速度V BA 的 大小是未知的，V BA 3 AB ，方位是已知的，垂直于连杆 AB 在点B 处作速 度的平行四边形，应使V B 位于平行四边形对角线的位置，如图 a 。

由图中的
几何关系得
V B V A
tan
20 tan 30°
34.6cm/s
V B 的方向铅直向上。

点B 相对基点转动的速度为 V A V BA
sin
20 sin 30°
40cm/s
则连杆AB 的角速度为 V BA
3 --- l
40
20 2rad/s
转向为顺时针 本题若采用速度投影法，可以很快速地求出滑块
B 的速度。

如图b ,有
©
A
⑻
§ 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法
B 、D 的速度为
V B V D ■■- 2v-
方向如图所示。

v A cos v B sin
则 cos v A V B V A
sin
tan
但此法不能求出连杆AB 的角速度。

20 -
34.6cm/s tan
30-
例2半径为R 的圆轮，沿直线轨道作无滑动的滚动, 以速度v -运动，试求轮缘上水平位置和竖直位置处点 解：选轮心O 为基点，先研究点C 的速度。

由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，故 点C 的速度为
如图所示。

已知轮心
O
A B 、C 、D 的速度。

V c 0 如图所示，则有 V C V - V c- 0 圆轮的角速度为 o co V co v - R R 各点相对基点的速度为 V A - V B -
V DO
A 的速度为 V A
V -
V A -
2v -
、定理
般情况，在每一瞬时，平面图形上（或图形
为速度瞬心或瞬心。

证明：已知平面图形的角速度为 3,如图所
I
示，已知A 点的速度V A ,过A 点作速度矢量V A 的 垂线AB ，沿角速度3的旋转方向，在直线段AB 上找点P ，使
则相对速度V P A 3PA V A ，则点P 的速度，V P
V A V P A 0
例3发动机的曲柄连杆机构如图所示。

曲柄 0A 长r =30cm ，以等角速度3 =2rad/s 绕0点转动；连杆 AB 长为I =40cm 。

试求当/ OA=90。

时，滑块B 的速度及连杆AB 的角速度。

解（1）运动分析，选研究对象
曲柄0A 绕0轴转动，滑块B 沿水平方向运动，连杆 AB 作平面运动，因 此，选AB 杆为研究对象。

（2）选基点
由于连杆上A 点速度已知，所以选A 为基点。

这样，B 点的运动，可以视 为随基点A 的平动与绕基点A 的转动的合成运动
(3) 根据基点法求未知量
PA
V A
3
的延伸部分）都唯一地存在一个速度为零的点，称 （证毕）
由公式得：V B = V A + V BA
已知V A=r 3 =30x 2=60cm/s,方向垂直于OA B点相对A点的转动速度V BA垂直于AB,指向和大小未知。

B点的绝对速度V B沿水平方向。

这样，即可作出速度平行四边形。

最后由几何关系得
a =60X 5/4=75cm/s
V B=V#COS
其方向为水平方向
V BA=V A tg a =60 x 3/4=45cm/s
方向如图所示。

求出了V BA以后，就可求出连杆AB的角速度为
3 AB=V BA/AB=45/40=S (顺时针转向)
例4用速度投影法求解上例中滑块B的速度。

解如图所示。

因为A点的速度大小及方向为已知，而B点速度方向已知, 沿水平方向。

根据速度投影定理，即
V B COS a =V A COS0 °
将cos a =4/5及V A=60cm/s代入上式得
X 5/4=75cm/s
V B=60
二、平面图形内各点速度及其分布
平面图形上各点的速度大小与该点至速度瞬心的距离成正比，方向与该点和速度瞬心的连线相垂直，指向顺着该瞬时的3转向。

应用速度瞬心求平面图形上各点的速度的方法，称速度瞬心法简称瞬心法。

应该注意的是，在
不同瞬时，瞬心的位置不同。

A
P
确定速度瞬心的位置的万法：
(a) (b)
(1)平面图形沿某一固定平面作无滑动的滚动时，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心
(2)速度瞬心的位置必在通过平面图形上一点并与该点的速度相垂直的
直线上。

因此，一般只要知道图形上任意两点的速度方向，过这两点分别作
垂直于其速度的两条直线，则这两条直线的交点便是速度瞬心，(瞬心也可能位于图形的延伸部分)
V A *
•---- *
B V B
(3)如果平面图形上A、B两点的速度矢量V A和V B同)时垂直于这两点的连线，则瞬心必在连线AB与速度矢量V A和V B端点连线的交点上。

(4)某瞬时，图形上A、B两点速度相等，即V A =V B,此时瞬心在无穷
远处，这种情形称为瞬时平动。

例5用速度瞬心法求例题2各点的速度解：由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，圆轮与轨道接触点的速度为零，故点C为速度瞬心。

圆
轮的角速度为
C
V 。

圆轮上各点速度为
V o
v A 3 AC 2R 2v o
R
V B V D 3 .. 2R . 2V o
V c 0
各点速度的方向如图所示。

例6、图示四连杆机构中，O件OB二AB2，曲柄OA的角速度3 = 3 rad/s 求：当©
=90?且曲柄OB与OO的延长线重合时，AB杆和曲柄OB的角速度解：(1)分析运动，选AB杆为研究对象
(2)根据瞬心法求未知量
速度瞬心在O点
V A=OA 3
由几何关系得
3 AB = V A/ OA= V B/ OE= 3 V B = OE3 . 3OA
3 1 = V B/ OB = yl3 3 = s
例7图示的四连杆机构中，OA=r , AB=QB=3r,曲柄以等角速度3 i绕O轴转动。

在图示位置时，OA丄AB / QBA=60°。

求此瞬时连杆AB的角速度3 AB和杆QB的角速度3 2。

解杆OA和QB作定轴转动，连杆AB作平面运动，且AB两点的速度方向已知。

V A 丄OA, V B丄QB,因此，过A B两点作V A、V B的垂线，其交点C 就是连杆AB的瞬心。

设连杆AB的角速度为3 AB，根据瞬心法，在图示瞬时，连杆AB绕瞬心C 作瞬时转动，故
V A= 3 AB X PA V B= 3 AB X PB
所以
3 AE=V A/ PA= 3 1
V B = 3 AB X PB= 3 1
3 2=V E/ QB= 3 i/3r =3 1
例8图示机构中，曲柄0A以匀角速度3 =4rad/s绕O轴转动。

当0 =45°时连杆AB处于水平位置，BD铅垂。

设OA=20cm AB=40cm BD=15cm 求该瞬时连杆AB和构件BD的角速度。

解选AB杆为研究对象先找到速度瞬心C
V B BD BD
V A OA
、2 V B V A
2
、
2
2
OA2、2OA
AB V B V B
1.414rad / s BC AB
v B
BD 3.77rad / s
BD
§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的
加速度
由于平面图形的运动看成随着基点的平移和相
T
a BA
a BA a B
n
a BA
由几何关系
对基点的转动的合成，因此根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，便可 求平面图形内各点的加速度。

如图所示，选点
A 作为基点，其加速度为a
求平面图形S 内各点的加速度的基点法： 在任一瞬时，平面图形内任 点的加速度等于基点的加速度和相对于基点转动的加速度的矢量和。

共八个 要素，必须已知其中的六个要素，才可以求出剩余的两个要素，一般采用向 坐标投影的方法进行求解。

例9在平直的轨道作纯滚动圆轮，已知轮心 0的速度为V o ，加速度为a o ，轮 的半径为R,如图a 所示，试求速度瞬心点的加速度。

解：由于圆轮作纯滚动，则轮缘于地面接触的点 P 为速度瞬心点。

圆轮的角 速度为
某一瞬时平面图形的角速度和角加速度分别为 速度
a e a A ，
相对加速度 相对切向加速度
相对法向加速度 a ，则B 的加速度为牵连加
a
BA
a
BA
a
BA
a ；A
n a
BA
a AB
32 AB
相对加速度的全加速度
:
2 n
2
a
BA ■■ a BA a BA
tan 鸟
3
B 的加速度
a
B a A a BA a A
n
a
BA a
BA
V 。

co --
R
又由于圆轮的半径为常数，贝U 圆轮的角速度对上式求导即可得到。

即
V o a o
a o
其中
2
V L
R
方向恒指向轮心。

§ 9-5 运动学综合应用举例
1.曲柄长OA=20cm ，绕O 轴以等角速度o = 10 rad/s 转动。

曲柄带动连
点C 的加速度为
a
C a o
a
co
a o a o
如图b 所示，点C 的加速度为
a c
n a
co
2
n
a
R
a 。

2 V
o
a
co 图 8-19
(c)
杆，使连杆端点的滑块沿铅垂方向运动。

连杆长 AB =100cm ，求当曲柄和连
和滑块B 的加速度。

V A =OA?
3 =200 cm/s
由几何关系，AB=AG=l00cm ,故
(3)利用加速度公式求
a AB 和a B
以A 为基点，贝U B 点的加速度为
n
a B a A a BA R BA
= OA ?
2
3 =
=20 m/s T
a BA = AB? a AB
n
a BA = AB ?
2
3 AB
将(1)式投影到x 轴、y 轴上可得
0 = - a A cos45 ? + a BA T
cos45? + a B A 1
cos45
a B = - a A cos45 ? + a BA T
cos45? - a B A 1
cos45
a AB = 16 rad/s
杆相互垂直且与水平各成 a = 45?、B
=45 ?时连杆的角速度、
角加速度
解
(2)利用瞬心法求3 AB
V A
AC
2rad / s
(1)
式中
由(2)式得
a BA T
=16 m/s
2 3 V B = r
3
V A / AC= r 3 /3r = AB = . 3 r 3 2
/9
2
r 2J3
3 B = V B / R=
r
3R
a B = d 3 B / dt =1/ R • dvMdt = a B / R= 2 r 3 2/9 R
由(3)式得 a B = - 5.66m/s
2.滚压机构的滚子沿水平地面作纯滚动。

转
动。

连杆AB 长L , 3r ,滚子半径为 速度。

已知曲柄 OA 长r ，以匀角速度3
R 。

求图示位置滚子的角速度和角加
(2) (1)分析运动，先选 AB 杆为研究对象
根据瞬心法求V B
先找到速度瞬心
(3) 利用加速度公式求a B
a B = T
n
a A + a BA + a BA
3 AB —
a BA = ABw
a B = 2 r 3 /9
(4) 再取滚子为研究对象，求
3 B 和a B
上
SA L
60
O
8。