承德县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

承德县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
一、选择题
1． 已知一组函数f n （x ）=sin n x+cos n x ，x ∈[0
，]，n ∈N *，则下列说法正确的个数是（ ）
①∀n ∈N *，f n （x ）
≤
恒成立
②若f n （x ）为常数函数，则n=2 ③f 4（x ）在[0
，]上单调递减，在
[
，
]上单调递增．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 3． 已知二次曲线
+
=1，则当m ∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．
[
，
]
B ．
[
，
]
C ．
[
，
]
D ．
[
，
]
4． 如图，在△ABC 中，AB=6，
AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，
则
•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
5． 自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A ．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C ．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D ．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟
6． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
7． 已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
8． 二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
9． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动 时，的取值范围是（ ） A ． ()0,1 B
．⎝ C
．()1,3⎫
⎪⎪⎝⎭
D ．(
10．已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（ ） A ．第一象限 B
．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．设F
1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在
y 轴上，则
的值为
（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）
A
．（0
，0）
B
．（2，
4） C ．（
，
）
D ．（，）
二、填空题
13．不等式
的解为 ．
14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4
，则△ABC
的面积为 ． 15．如果椭圆+
=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．
16．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1
212
||z z z +在复平面内对应的点在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
17．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．
18．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
三、解答题
19．某游乐场有A 、B 两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A ，丙丁两
人各自独立进行游戏B ．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为． （1）求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； （2）记游戏A 、B 被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
20X
（I ）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望E ξ．
21．设极坐标与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴坐标轴为极轴，曲线C 1的极坐标方
程为ρ2
cos2θ+3=0，曲线C 2的参数方程为
（t 是参数，m 是常数）．
（Ⅰ）求C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；
（Ⅱ）若C 1与C 2有两个不同的公共点，求m 的取值范围．
22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4=7，S 4=16． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．
23．已知函数f （x ）=
（a ＞0）的导函数y=f ′（x ）的两个零点为0和3．
（1）求函数f （x ）的单调递增区间；
（2）若函数f （x ）的极大值为，求函数f （x ）在区间[0，5]上的最小值．
24．在△ABC 中，cos2A ﹣3cos （B+C ）﹣1=0． （1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．
25．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆2
2:14
x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，
（1）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值；
（2）求线段MN的长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
26．化简：
（1）．
（2）+．
承德县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 D
【解析】解：①∵x ∈[0，
]，∴f
n （x ）=sin n x+cos n x ≤sinx+cosx=
≤
，因此正确；
②当n=1时，f 1（x ）=sinx+cosx ，不是常数函数；当n=2时，f 2（x ）=sin 2x+cos 2x=1为常数函数，
当n ≠2时，令sin 2
x=t ∈[0，1]，则f n （x ）=
+=g （t ），g ′（t ）=﹣
=
，当t ∈
时，g ′（t ）＜0，函数g （t ）单调递减；
当t ∈
时，g ′（t ）＞0，函数g （t ）单调递增加，因此函数f n （x ）不是常数函数，因此②正确．
③f 4（x ）=sin 4x+cos 4x=（sin 2x+cos 2x ）2﹣2sin 2xcos 2
x=1﹣
==
+，当x ∈[0，
]，4x ∈[0，π]，因此f 4（x ）在[0，]上单调递减，当x ∈[，
]，4x ∈[π，2π]，因此f 4（x ）在[
，
]
上单调递增，因此正确． 综上可得：①②③都正确． 故选：D ．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
3． 【答案】C
【解析】解：由当m ∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，
双曲线
+
=1即为
﹣
=1，
且a 2=4，b 2=﹣m ，则c 2
=4﹣m ，
即有，
故选C ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．
4． 【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，
可得，
，
则
•
=
=16﹣18=
﹣2； 故选A ．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
5． 【答案】D
【解析】集合A 表示报考“北约”联盟的学生，集合B 表示报考“华约”联盟的学生， 集合C 表示报考“京派”联盟的学生，集合D 表示报考“卓越”联盟的学生，
由题意得U A B B C
D C D B
=∅
⎧⎪⊆⎪⎨=∅⎪⎪=⎩ð，∴U A D B C D B ⊆⎧⎪=⎨⎪=⎩ð， 选项A ．B D =∅，正确；
选项B ．B C =，正确； 选项C ．A D ⊆，正确． 6． 【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7． 【答案】A.
【解析
】
A D
B=C
8． 【答案】B
【解析】因为(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3x 项系数是3C n ，所以3
C 10n =，解得5n =，故选A ．
9． 【答案】C 【解析】1111]
试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为0
45α=，又因为这两条直线的夹角在0,
12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是003060α<<且0
45α≠，所以直线的斜率为
00tan 30tan 60a <<且0tan 45α≠，即
13
a <<或1a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率. 10．【答案】B
【解析】解：∵△ABC 是锐角三角形，
∴A+B ＞，
∴A ＞
﹣B ，
∴sinA ＞sin （
﹣B ）=cosB ，
∴sinA ﹣cosB ＞0， 同理可得sinA ﹣cosC ＞0， ∴点P 在第二象限． 故选：B
11．【答案】C
【解析】解：F
1，F 2为椭圆
=1的两个焦点，可得F 1（﹣，0），F 2（）．a=2，b=1．
点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，PF 1⊥F 1F 2，
|PF 2|=
=，由勾股定理可得：|PF 1|=
=．
==．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
12．【答案】D
【解析】解：y'=2x ，设切点为（a ，a 2）
∴y'=2a ，得切线的斜率为2a ，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x 2
上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D ．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 {x|x ＞1或x ＜0} ．
【解析】解：
即
即x （x ﹣1）＞0 解得x ＞1或x ＜0
故答案为{x|x ＞1或x ＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
14．【答案】 ．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，
∴由正弦定理得a 2=b 2+c 2﹣bc ，即：b 2+c 2﹣a 2
=bc ， ∴由余弦定理可得b 2=a 2+c 2
﹣2accosB ，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
15．【答案】x+4y﹣5=0．
【解析】解：设这条弦与椭圆+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），
由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，
把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36，
得，
①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣，
∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1），
即为x+4y﹣5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．
故答案为：x+4y﹣5=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．
16．【答案】D
【解析】
17．【答案】（﹣2，﹣6）．
【解析】解：向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，
则向量=﹣[4+4﹣2+2（﹣）]=﹣（6+4﹣4）=﹣[6（1，﹣3）+4（﹣2，4）﹣4（﹣1，﹣2）]=﹣（2，6）=（﹣2，﹣6），
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）
．
（2）ξ可取0，1，2，3，4，
P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；
P （ξ=1）=（）（1﹣）
（）2+（1﹣）
2
=；
P （ξ=2）
=+
+
=
；
P （ξ=3）==
；
P （ξ=4）=
=
．
∴ξ的分布列为：
E ξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×=． 【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，
则P （A ）=0.2×0.2=0.04．
（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10 且P （ξ=7）=0.04，
P （ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，
P （ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39， P （ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，
∴ξ的分布列为：
ξ
7 8 9
10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：（I）曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，即ρ2（cos2θ﹣sin2θ）+3=0，可得直角坐标方程：x2﹣y2+3=0．
曲线C2的参数方程为（t是参数，m是常数），消去参数t可得普通方程：x﹣2y﹣m=0．
（II）把x=2y+m代入双曲线方程可得：3y2+4my+m2+3=0，由于C1与C2有两个不同的公共点，
∴△=16m2﹣12（m2+3）＞0，解得m＜﹣3或m＞3，
∴m＜﹣3或m＞3．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）
解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…
（2）由①得…（7分）
∴…（11分）
∴…（12分）
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．23．【答案】
【解析】解：f′（x）=
令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c
函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点
即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3
则解得：b=c=﹣a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），
（2）由（1
）得：
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，
∴，
∴a=2，
∴
；
，
∴函数f （x ）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．
24．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos2A ﹣3cos （B+C ）﹣1=0．
∴2cos 2
A+3cosA ﹣2=0，…2分
∴解得：
cosA=，或﹣2（舍去），…4分 又∵0＜A ＜π， ∴
A=
…6分
（2）∵
a=2RsinA=
，…
又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2
﹣bc ≥bc ，
∴bc ≤3，当且仅当b=c 时取等号，… ∴S △ABC
=
bcsinA=
bc
≤
，
∴三角形面积的最大值为． …
25．【答案】
【解析】（1）易知()()0,1,0,1A B -，设()00,P x y ，则由题设可知00x ≠ ，
∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=
，BP 的斜率020
1
y k x +=，又点P 在椭圆上，所以 20014x y +=，()00x ≠，从而有2
00012200011114
y y y k k x x x -+-⋅===-.
（4分）
26．【答案】
【解析】解（1）原式==
==
===﹣1．
（2）∵tan（﹣α）=﹣tanα，sin（﹣α）=cosα，cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα，
tan（π+α）=tanα，
∴原式=+=+==﹣=﹣1．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．。