2021届四川省成都市高三理数第二次诊断性检测试卷及答案

高三理数第二次诊断性检测试卷
一、单项选择题
1.设集合，，那么〔〕
A. B. C. D.
i为虚数单位．那么复数的虚部为〔〕
A. B. C. -1 D. 1
3.命题“ ，〞的否认为〔〕
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．那么摸出的两个球颜色相同的概率为〔〕
A. B. C. D.
5. ，，那么的值为〔〕
A. B. C. -3 D. 3
6.在中，，为边中点，点在直线上，且，那么边的长度为〔〕
A. B. C. D. 6
7.圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，那么该圆柱的侧面积的最大值为〔〕
A. 4π
B. 8π
C. 12π
D. 16π
8. 是曲线上的动点，点在直线上运动，那么当取最小值时，点的横坐标为〔〕
A. B. C. D.
9.数列的前项和满足，记数列的前项和为，．那么使得
成立的的最大值为〔〕
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
10.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为．如果前2小时消除了20%的污染物，那么污染物减少50%大约需要的时间为〔参考数据：，，〕〔〕
A. 4h
B. 6h
C. 8h
D. 10h
11. 为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．那么当取最大值时，
的值为〔〕
A. 2
B.
C.
D.
12.四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于
，的动点．有以下结论：
①线段的长度为1；②假设点为线段上的动点，那么无论点与如何运动，直线
与直线都是异面直线；③ 的余弦值的取值范围为；④ 周长的最
小值为．其中正确结论的个数为〔〕
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题
13.函数，假设，那么的值为________．
14.正项数列满足，．假设，，那么的值为________．
15.设双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为．假设点恰好为线段的中点，那么直线的斜率的值为________．
16.定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都
有成立．假设，，，那么，，的大小关系为________．〔用符号“ 〞连接〕
三、解答题
17.的内角，，的对边分别为，，，．
〔1〕求角的大小；
〔2〕假设，，求的面积．
18.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量〞换算成费用，称之为“失效费〞．某种机械设备的使用年限〔单位：年〕与失效费〔单位：万元〕的统计数据如下表所示：
使用年限〔单位：年〕 1 2 3 4 5 6 7
失效费〔单位：万元〕
〔Ⅰ〕由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；〔精确到0.01〕
〔Ⅱ〕求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．
参考公式：相关系数．
线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，．
参考数据：，，．
19.如图①，在等腰三角形中，，，，满足，
．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．
〔Ⅰ〕证明：平面；
〔Ⅱ〕当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20.椭圆：经过点，其长半轴长为2．
〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围．
21.函数，其中．
〔Ⅰ〕假设存在唯一极值点，且极值为0，求的值；
〔Ⅱ〕讨论在区间上的零点个数．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，直线的方程为
．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
〔1〕求曲线和直线的极坐标方程；
〔2〕假设点在直线上且，射线与曲线相交于异于点的点，求的最小
值．
23.设函数的最小值为．
〔Ⅰ〕求的值；
〔Ⅱ〕假设，，证明：．
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题设，，而，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先由对数函数的单调性求解出集合A，再由并集的定义得出答案即可。

2.【解析】【解答】，所以虚部为1.
故答案为：D
【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。

3.【解析】【解答】因为全称命题的否认是特称命题，
所以，命题“ ，〞的否认是：，．
故答案为：C．
【分析】结合条件由利用特称命题的否认是全称命题，结合题意即可得出答案。

4.【解析】【解答】从中不放回地依次随机摸出两个球，
根本领件总数，
两个球同色的包含的根本领件个数，
∴两个球同色的概率为，
故答案为：B.
【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出根本领件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。

5.【解析】【解答】由题意可得，，，所以
，，所以.
故答案为：D.
【分析】首先由两角和的正弦公式整理再由同角三角函数的根本关系式代入数值计算出结果即可。

6.【解析】【解答】在中，，为边中点，
∴，即中有，且，
∵的夹角为，即，
∴，可得.
故答案为：A.
【分析】首先由条件结合勾股定理以及数量积公式代入数值计算出结果即可。

7.【解析】【解答】设球的半径为，由球体的体积公式有，得.
设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，那么，圆柱的高为，圆柱的侧面积为，
当且仅当时，时，圆柱的侧面积最大，
圆柱的侧面积的最大值为8π．
故答案为：B．
【分析】首先根据题意由球的体积公式整理求出半径的值，再设出圆柱的底面半径，求出圆柱的高，然后求解圆柱的侧面积，即可求解圆柱侧面积的最大值．
8.【解析】【解答】设，点在直线上，
当取最小值时，垂直于直线.
此时
记，最小时，最小.
当时，
∴时，，有，∴单减；
时，，有，∴单增；
∴当时，最小时，最小.
故答案为：C
【分析】由题意可得，当过P的直线与直线平行，且与曲相切，可得取得最小值，求得曲线的导数，可得切线的斜率，解方程可得所求值．
9.【解析】【解答】当时，；当时，；而
也符合，
∴，.又，
∴，要使，
即，得且，那么的最大值为19.
故答案为：C.
【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可得出数列的前n项和公式，利用裂项相消法整理得到解条件即可得到，从而求出由此得出n的最大值。

10.【解析】【解答】前2小时消除了20%的污染物，那么
故，
污染物减少50%，那么
可得
故
故答案为：B
【分析】根据题意代入数值到函数的解析式，计算出结果即可。

11.【解析】【解答】为抛物线的焦点，，准线为，设，那么
由根本不等式由，当且仅当时取等号
故，当且仅当时取等号
此时
故答案为：C
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，设C处A的坐标，由抛物线的性质可得的值为A到准线的距离求出，的表达式，代入当中，然后利由均值不等式求出其最大值，进而求出的值.
12.【解析】【解答】在棱长为的正方体上取如下列图的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体
，
显然，分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长，故①对；
对于②：
如图，取为的中点，取为的中点，取为的中点，那么由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时与相交于，故②错；
对于③，
，，又有
故
故点无限接近点时，会无限接近，故的余弦值的取值范围不为，③错误；
对于④，如图将等边三角形与铺平，放在同一平面上，
故有，当且仅当为中点时取最小值
故在正方体中
故周长的最小值为
故④对
故答案为：B
【分析】根据题意将四面体放置在正方体中，根据M、N分别为前后面的中心判断①；取F为AB中点，G为MN中点，此时直线FG与直线CD相交；通过计算判断③；把空间问题转化为平面问题，计算可得判断④,从而得出答案。

二、填空题
13.【解析】【解答】由题意，函数，
当时，由，可得，解得或〔舍去〕；
当时，由，可得，即，解得〔舍去〕，
综上可得，实数的值为-1.
故答案为：-1.
【分析】根据题意由a的取值范围选择适宜的函数解析式，代入数值计算出结果即可。

14.【解析】【解答】由题意，所以可得数列是正项的等比数列，又因为，得，由，可得，所以.
故答案为：3.
【分析】根据题意条件即可得出数列是等比数列，再由等比数列的通项公式整理计算出，利用等比数列的定义计算出结果即可。

15.【解析】【解答】如下列图，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，
可得，又因为为的中点，为的中点，
所以，，，
所以，
又，得，，
由双曲线的定义可得，所以，
所以，
即直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】由直径所对的圆周角推出，由点Q为PF1的中点，O为F1F2的中点，得OQ 是三角形PF1F2的中位线，推出进而得，再由双曲线的定义得|F1P|-|F2P|=2b-2a=2a，那么即可得出答案．
16.【解析】【解答】因为，
所以，
所以函数在上单调递减，
因为函数满足，所以
因为即，所以，
又，，
所以，
所以即.
故答案为：b＜c＜a.
【分析】根据题意由f〔x〕=f〔2-x〕，得到函数图象关于x=1对称，再由x1f〔x1〕+x2f〔x2〕＜x1f〔x2〕+x2f〔x1〕，变形得到f〔x〕在[1，+∞〕上为减函数，最后比较自变量的大小即可．
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)首先由正弦定理结合两角和的正弦公式整理得到，从而得出结合角的取值范围即可求出角C的大小。

(2)根据题意由余弦定理整理得出a与b的只，并把数值代入到三角形的面积公式计算出答案即可。

18.【解析】【分析】(1)根据题意首先求出样本中心，然后利用公式求出相关系数r，由此进行判断即可；
(2)利用公式先求出，然后求出线性回归方程，再将x=10的值代入方程求解即可．
19.【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线线平行推导出四边形DEGF 是平行四边形，从而DF∥EG，由此能证明DF∥平面ACE。

〔Ⅱ〕由条件分别取DE、BC的中点M，N，连接AM，MN，BM，推导出AM⊥平面BCED，以M为坐标原点，，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACE与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
20.【解析】【分析】〔Ⅰ〕首先由a的值得到椭圆的方程，再把点的坐标代入计算出b的值从而得到椭圆的方程即可。

〔Ⅱ〕根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，再由点对称的性质求出从而得到直线的方程，结合弦长公式以及三角形的面积公式代入整理，利用根本不等式即可求出
，由此得到S的取值范围。

21.【解析】【分析】(1) 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于a的方程，解出即可；
〔2〕通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可．
22.【解析】【分析】(1)运用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，结合同角的平方关系，可得所求；
(2)根据题意可设P〔ρ1，θ〕，Q〔ρ2，θ〕，运用三角函数的恒等变换，结合正弦函数的性质，可得所求最小值．
23.【解析】【分析】(1)对绝对值不等式化简，求出最值.
(2)由题意利用不等式性质进行求解.。