参考资料NP完全问题-一些重要的概念.ppt
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第一个难解的“可判定”问题是在六十年代初获 得的，它是Hartmanis和Stearns［1965]的复杂性 “谱系”工作的一部分，但是，这些结果只包括一些 “人工制造的”问题，它们被专门构造成具有所需要 的性质。直到七十年代初，Meyer和 Stockmeyer[1972］，Fischer和Rabin［1974］以及 其他人终于成功地证明某些“自然的”可判定问题是 难解的，这些问题包括自动机理论、形式语言理论以 及数理逻辑中以前研究过的各种问题。实际上，他们 的证明表明甚至用“非确定型” （nondeterministic)计算机模型也不可能在多项式 时间内解这些问题，这种“非确定型”计算机模型具 有执行无限多个独立的并行计算序列的能力。这种 “不合理的”计算机模型在NP完全性理论中起着重要 的作用。 2019/3/20 9
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3、NP完全问题
• 可以用“非确定型”计算机通过多项式时间算法求解 的问题称为“NP类”问题。理论工作者们一方面继续 寻找更有力的方法来证明问题的难解性，同时又在努 力研究就难度而言各种问题相互联系的方式。发现问 题之间的这种相互联系常常可以给算法设计人员提供 有用的信息。证明两个问题相关的基本方法是通过给 出一个构造性变换把第一个问题的任一实例映射到第 二个问题的一个等价的实例，从而把第一个问题“归 约”为第二个问题。这样的变换提供了一个手段，把 解第二个问题的任何算法转变成解第一个问题的相应 的算法。
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实用中，知道一个问题是NP完全的就给我们提供 了有价值的信息，告诉我们采用什么样的途径可以是 最富有成效的。一定不要去优先寻找有效的、精确的 算法。现在比较适当的途径是集中精力致力于其他较 低目标的方法。例如，你可以寻找解决这个问题的各 种特殊情况的有效算法。寻找在大多数情况下看来能 快速运算的算法，虽然不能保证它在任何情况下都能 快速地运算。或者你甚至可以放松问题的某些方面， 寻找一个只能给出满足大部分要求的快速算法。简言 之，NP完全性理论的初步应用是帮助算法设计人员找 到最有可能得到有用的算法的努力方向。
2019/3/20
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遗憾的是，像这样的例子太少了。虽然对于很多问 题都知道指数时间算法，但是只有少数几个被认为在实 际中是很有用的。甚至上面提到的那几个成功的指数时 间算法也没有使研究人员停止继续寻找这些问题的多项 式时间算法的努力。实际上，这些算法的真正成功产生 了一种猜疑，认为它们不知怎么地抓住了这些问题的关 键性的性质，对这些性质的仔细研究可能给出更好的方 法，至今在解释这种成功方面几乎毫无进展，也没有一 种方法能够事先预言给定的指数时间算法在实际中能否 快速运算。
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第三，他证明了NP中的一个名叫“可满足性”问题 的具体问题具有这样的性质：NP类中的所有其它问题都 可以多项式归约为这个问题。如果可满足性问题可以用 多项式时间算法解决，那末NP类中的所有问题也都可以 用多项式时间算法解决。如果NP中的某个问题是难解的， 那末可满足性问题也一定是难解的。因此，在某种意义 下，可满足性问题是NP类中“最难的”问题。 最后，Cook认为NP类中的一些其它问题可能和可满 足性问题一样，具有这种成为NP类中“最难的”问题的 性质。他证明对于问题“给定的图G是否包含k个顶点上 的完全子图？其中k 是给定的自然数”就是这种清况。
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总结
• 问题求解的难度： • 不可判定问题 • 可判定的问题
• 时间复杂性为多项式的（P） • 用不确定型计算机求解时间复杂性为多项式的（NP） • NP完全类
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早期就找到了许多这种简单的归约。例如，Dantzig ［1960］把一些组合最优化问题归约为一般的0-l整数线 性规划问题，Edmonds［1962］把图论问题“用最少的顶 点覆盖所有边”和“寻找最大的顶点独立集”归约为一 般的“集合覆盖问题”。Gimple［1965］把一般的集合 覆盖问题归约为逻辑设计的“素蕴涵覆盖问题”， Dantzig，Blattner和Rao[1966]描述了一个“著名的” 归约，把巡回推销员问题归约为带非负边长的“最短路 径问题”。
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这样一来，“难解的”定义在理论上给出了重要的 一般原则。即问题的难度在本质上不依赖于用来决定时 间复杂性的具体编码方案和计算机模型。
能够用实际的计算机标准模型在多项式时间算法 （Polynomial time algorithm)内求解的问题称为P类 问题。
2019/3/20
迄今为止我们已经知道的所有可证的难解问题 分成刚才叙述的两种类型，它们或者是“不可判定 的”，或者是“非确定型”难解的。但是，大多数在 实际中遇到的在表面上看来难解的问题是可判定的， 并且可以用非确定型计算机在多项式时间内求解。因 此，要证明这些问题的表面上的难解性，至今所研究 过的证明方法都还不够有力。
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Stephen Cook于1971年发表的题为“定理证明过程的复杂性” 一文奠定了NP完全性理论的基础。在这篇简洁而又精致的文章中 Cook做了几件重要的事情。 第一，他强调了“多项式时间可归约性”的重要意义，所谓 多项式时间归约是指可以用多项式时间算法实现所需要的变换的 归约。如果我们有从第一个问题到第二个问题的多项式时间归约， 那末就一定能把第二个问题的任何多项式时间算法转换成第一个 问题的多项式时间算法。 第二，他把注意力集中在判定向题的NP类上，这类问题可以 用非确定型计算机在多项式时间内解决。（如果问题的解不是 “是”就是“否”，则称这个问题是判定向题。）在实际中遇到 的表面上看来难解的问题，当把它们表成判定问题时，大多数属 于这一类。
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不过，有些指数时间算法在实际中可能十分有用。 作为定义，时间复杂性是一种最坏情况的度量。时间复 杂性为2n的算法仅仅表示至少有一个规模为n的问题实 例需要这么多的运算时间，而大多数问题实例可能实际 上需要远比这个少得多的时间。有几个著名的算法就是 这种情况。已经证明线性规划的单纯形算法具有指数时 间复杂性[Klee and Minty，1972］，但是在实际中它 计算得很好，给人留下了深刻印象。同样，背包问题的 分支界限算法虽然也具有指数时间复杂性，但是它是一 种非常成功的算法，使得许多人认为背包问题已经很好 地解决了。
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另一方面，如果多项式时间算法满足对运算时 间更严格得多的限制，就往往可以作出这种预言。 虽然可以认为时间复杂性为n100或1099n2的算法在实 际中不大可能快速运算，但是自然提出的多项式可 解的问题大多数可用2次，或者在最坏的情况下用3 次多项式时间算法求解，而且在多项式中不包含特 别大的系数，可以认为满足这些限制的算法是“可 证地有效”算法。正是这种特别需要的性质使我们 优先考虑用多项式时间算法解决问题p给出了一组结果［1972]，证 明许多著名的组合问题,包括巡回推销员问题在内的判 定问题形式确实恰好与可满足性问题一样难。从那以后 证明了各种各样的其它问题在难度上等价于这些问题， 这些问题构成了一个NP等价问题(NP equivalent problem)类 ，并给这个等价类起了一个名字，叫做NP 完全问题(NP complete problem)类，它是由NP中所有 “最难的”问题组成。 已经证明Cook的原始思想是相当有力的。它提供了 一些方法把许多个别的复杂性问题联合成一个问题：NP 完全问题是难解的吗？由于越来越多的具有独立意义的 问题被证明属于这个等价类，所以它的重要性还在继续 增长。
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关于计算机模型的选择可以作类似的注释。至今 研究过的所有实际的计算机模型，例如单带图灵机， 多带图灵机以及随机存取机（RAM）都是相对于多项式 时间复杂性等价的，人们可以指望任何其它“合理的” 模型都享有这种等价性。这里所说的“合理的”概念 在本质上是指在单位时间内可以完成的工作量有一个 多项式界限。例如，不能认为具有完成任意多道并行 运算能力的模型是“合理的“，而且也确实不存在一 合计算机具有这种能力。无论如何，只要我们规定只 采用实际的计算机标准模型，难解的问题类就不受使 用的具体模型的影响。因而我们可以根据方便与否来 选择计算机模型，而不会妨碍结果的使用。 “合理的” 计算机模型也称为是“确定型”（deterministic)的 计算机模型。
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2、可证的难解问题
• 最早证出的难解性问题结果是经典的图灵不可判定性。 四十多年前，图灵证明某些问题困难到“不可判定的” 程度，即根本不可能给出解这些问题的算法。例如， 他证明不可能给出一个算法，当任意给定一个计算机 程序和这个程序的输入时，该算法可以判定当把这个 程序应用于这个输入时最终是否停机[Turing，1936]。 现在已经知道还有各种其它问题也是不可判定的，这 些问题包括有限表示群的平凡问题[Rabin，1958]，希 尔伯特第十问题（整数多项式的可解性） [Matijasevic，1970］等。因为不可能用任何算法， 当然更不可能用多项式时间算法解这些不可判定问题， 所以它们的确是在特别强的意义下难解的。
NP完全问题
2019/3/20
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一、一些重要的概念
1、多项式时间算法和难解问题
• 不同的算法具有很不相同的时间复杂性函数，什么样的算法算作 “效率高”，什么样的算法算作“效率低”，计算机科学家们公 认一种简单的区别，这就是多顶式时间算法（polynomial time algorithm)和指数时间算法（exponential time algorithm)之间的区别。Cobham[1964］和Edmonds[1965］首先 讨论了这种区别的基本性质。特别是Edmonds把多项式时间算法与 “好的”算法等同看待，并且猜想某些整数规划问题可能不能用 这种“好的”算法求解。这反映了一种观点，认为指数时间算法 不应该算作“好的”算法。通常也的确是这样的。大多数指数时 间算法只是穷举搜索法的变种，而多项式时间算法通常只有在对 问题的结构有了某些比较深入的了解之后才有可能给出。艰多人 都认为只有知道了问题的多项式时间算法才能认为“很好地解决 了”这个问题。因此，如果一个问题困难到不可能用多项式时间 算法求解，那末我们就认为这个问题是“难解的”。
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现在认为NP完全问题是否是难解的这一向题是当代 数学和计算机科学中尚未解决的最重要问题之一。尽管 大多数研究工作者猜想NP完全问题是难解的，然而在证 明或否定这个广泛的猜想方面几乎没有取得什么进展。 但是，即使没有证明NP完全性蕴涵难解性，知道一个问 题是NP完全的至少暗示着要想用多项式时间算法解这个 问题必须有重大的突破。
第一个难解的“可判定”问题是在六十年代初获 得的，它是Hartmanis和Stearns［1965]的复杂性 “谱系”工作的一部分，但是，这些结果只包括一些 “人工制造的”问题，它们被专门构造成具有所需要 的性质。直到七十年代初，Meyer和 Stockmeyer[1972］，Fischer和Rabin［1974］以及 其他人终于成功地证明某些“自然的”可判定问题是 难解的，这些问题包括自动机理论、形式语言理论以 及数理逻辑中以前研究过的各种问题。实际上，他们 的证明表明甚至用“非确定型” （nondeterministic)计算机模型也不可能在多项式 时间内解这些问题，这种“非确定型”计算机模型具 有执行无限多个独立的并行计算序列的能力。这种 “不合理的”计算机模型在NP完全性理论中起着重要 的作用。 2019/3/20 9
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3、NP完全问题
• 可以用“非确定型”计算机通过多项式时间算法求解 的问题称为“NP类”问题。理论工作者们一方面继续 寻找更有力的方法来证明问题的难解性，同时又在努 力研究就难度而言各种问题相互联系的方式。发现问 题之间的这种相互联系常常可以给算法设计人员提供 有用的信息。证明两个问题相关的基本方法是通过给 出一个构造性变换把第一个问题的任一实例映射到第 二个问题的一个等价的实例，从而把第一个问题“归 约”为第二个问题。这样的变换提供了一个手段，把 解第二个问题的任何算法转变成解第一个问题的相应 的算法。
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实用中，知道一个问题是NP完全的就给我们提供 了有价值的信息，告诉我们采用什么样的途径可以是 最富有成效的。一定不要去优先寻找有效的、精确的 算法。现在比较适当的途径是集中精力致力于其他较 低目标的方法。例如，你可以寻找解决这个问题的各 种特殊情况的有效算法。寻找在大多数情况下看来能 快速运算的算法，虽然不能保证它在任何情况下都能 快速地运算。或者你甚至可以放松问题的某些方面， 寻找一个只能给出满足大部分要求的快速算法。简言 之，NP完全性理论的初步应用是帮助算法设计人员找 到最有可能得到有用的算法的努力方向。
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遗憾的是，像这样的例子太少了。虽然对于很多问 题都知道指数时间算法，但是只有少数几个被认为在实 际中是很有用的。甚至上面提到的那几个成功的指数时 间算法也没有使研究人员停止继续寻找这些问题的多项 式时间算法的努力。实际上，这些算法的真正成功产生 了一种猜疑，认为它们不知怎么地抓住了这些问题的关 键性的性质，对这些性质的仔细研究可能给出更好的方 法，至今在解释这种成功方面几乎毫无进展，也没有一 种方法能够事先预言给定的指数时间算法在实际中能否 快速运算。
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第三，他证明了NP中的一个名叫“可满足性”问题 的具体问题具有这样的性质：NP类中的所有其它问题都 可以多项式归约为这个问题。如果可满足性问题可以用 多项式时间算法解决，那末NP类中的所有问题也都可以 用多项式时间算法解决。如果NP中的某个问题是难解的， 那末可满足性问题也一定是难解的。因此，在某种意义 下，可满足性问题是NP类中“最难的”问题。 最后，Cook认为NP类中的一些其它问题可能和可满 足性问题一样，具有这种成为NP类中“最难的”问题的 性质。他证明对于问题“给定的图G是否包含k个顶点上 的完全子图？其中k 是给定的自然数”就是这种清况。
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总结
• 问题求解的难度： • 不可判定问题 • 可判定的问题
• 时间复杂性为多项式的（P） • 用不确定型计算机求解时间复杂性为多项式的（NP） • NP完全类
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早期就找到了许多这种简单的归约。例如，Dantzig ［1960］把一些组合最优化问题归约为一般的0-l整数线 性规划问题，Edmonds［1962］把图论问题“用最少的顶 点覆盖所有边”和“寻找最大的顶点独立集”归约为一 般的“集合覆盖问题”。Gimple［1965］把一般的集合 覆盖问题归约为逻辑设计的“素蕴涵覆盖问题”， Dantzig，Blattner和Rao[1966]描述了一个“著名的” 归约，把巡回推销员问题归约为带非负边长的“最短路 径问题”。
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这样一来，“难解的”定义在理论上给出了重要的 一般原则。即问题的难度在本质上不依赖于用来决定时 间复杂性的具体编码方案和计算机模型。
能够用实际的计算机标准模型在多项式时间算法 （Polynomial time algorithm)内求解的问题称为P类 问题。
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迄今为止我们已经知道的所有可证的难解问题 分成刚才叙述的两种类型，它们或者是“不可判定 的”，或者是“非确定型”难解的。但是，大多数在 实际中遇到的在表面上看来难解的问题是可判定的， 并且可以用非确定型计算机在多项式时间内求解。因 此，要证明这些问题的表面上的难解性，至今所研究 过的证明方法都还不够有力。
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Stephen Cook于1971年发表的题为“定理证明过程的复杂性” 一文奠定了NP完全性理论的基础。在这篇简洁而又精致的文章中 Cook做了几件重要的事情。 第一，他强调了“多项式时间可归约性”的重要意义，所谓 多项式时间归约是指可以用多项式时间算法实现所需要的变换的 归约。如果我们有从第一个问题到第二个问题的多项式时间归约， 那末就一定能把第二个问题的任何多项式时间算法转换成第一个 问题的多项式时间算法。 第二，他把注意力集中在判定向题的NP类上，这类问题可以 用非确定型计算机在多项式时间内解决。（如果问题的解不是 “是”就是“否”，则称这个问题是判定向题。）在实际中遇到 的表面上看来难解的问题，当把它们表成判定问题时，大多数属 于这一类。
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不过，有些指数时间算法在实际中可能十分有用。 作为定义，时间复杂性是一种最坏情况的度量。时间复 杂性为2n的算法仅仅表示至少有一个规模为n的问题实 例需要这么多的运算时间，而大多数问题实例可能实际 上需要远比这个少得多的时间。有几个著名的算法就是 这种情况。已经证明线性规划的单纯形算法具有指数时 间复杂性[Klee and Minty，1972］，但是在实际中它 计算得很好，给人留下了深刻印象。同样，背包问题的 分支界限算法虽然也具有指数时间复杂性，但是它是一 种非常成功的算法，使得许多人认为背包问题已经很好 地解决了。
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另一方面，如果多项式时间算法满足对运算时 间更严格得多的限制，就往往可以作出这种预言。 虽然可以认为时间复杂性为n100或1099n2的算法在实 际中不大可能快速运算，但是自然提出的多项式可 解的问题大多数可用2次，或者在最坏的情况下用3 次多项式时间算法求解，而且在多项式中不包含特 别大的系数，可以认为满足这些限制的算法是“可 证地有效”算法。正是这种特别需要的性质使我们 优先考虑用多项式时间算法解决问题p给出了一组结果［1972]，证 明许多著名的组合问题,包括巡回推销员问题在内的判 定问题形式确实恰好与可满足性问题一样难。从那以后 证明了各种各样的其它问题在难度上等价于这些问题， 这些问题构成了一个NP等价问题(NP equivalent problem)类 ，并给这个等价类起了一个名字，叫做NP 完全问题(NP complete problem)类，它是由NP中所有 “最难的”问题组成。 已经证明Cook的原始思想是相当有力的。它提供了 一些方法把许多个别的复杂性问题联合成一个问题：NP 完全问题是难解的吗？由于越来越多的具有独立意义的 问题被证明属于这个等价类，所以它的重要性还在继续 增长。
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关于计算机模型的选择可以作类似的注释。至今 研究过的所有实际的计算机模型，例如单带图灵机， 多带图灵机以及随机存取机（RAM）都是相对于多项式 时间复杂性等价的，人们可以指望任何其它“合理的” 模型都享有这种等价性。这里所说的“合理的”概念 在本质上是指在单位时间内可以完成的工作量有一个 多项式界限。例如，不能认为具有完成任意多道并行 运算能力的模型是“合理的“，而且也确实不存在一 合计算机具有这种能力。无论如何，只要我们规定只 采用实际的计算机标准模型，难解的问题类就不受使 用的具体模型的影响。因而我们可以根据方便与否来 选择计算机模型，而不会妨碍结果的使用。 “合理的” 计算机模型也称为是“确定型”（deterministic)的 计算机模型。
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2、可证的难解问题
• 最早证出的难解性问题结果是经典的图灵不可判定性。 四十多年前，图灵证明某些问题困难到“不可判定的” 程度，即根本不可能给出解这些问题的算法。例如， 他证明不可能给出一个算法，当任意给定一个计算机 程序和这个程序的输入时，该算法可以判定当把这个 程序应用于这个输入时最终是否停机[Turing，1936]。 现在已经知道还有各种其它问题也是不可判定的，这 些问题包括有限表示群的平凡问题[Rabin，1958]，希 尔伯特第十问题（整数多项式的可解性） [Matijasevic，1970］等。因为不可能用任何算法， 当然更不可能用多项式时间算法解这些不可判定问题， 所以它们的确是在特别强的意义下难解的。
NP完全问题
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一、一些重要的概念
1、多项式时间算法和难解问题
• 不同的算法具有很不相同的时间复杂性函数，什么样的算法算作 “效率高”，什么样的算法算作“效率低”，计算机科学家们公 认一种简单的区别，这就是多顶式时间算法（polynomial time algorithm)和指数时间算法（exponential time algorithm)之间的区别。Cobham[1964］和Edmonds[1965］首先 讨论了这种区别的基本性质。特别是Edmonds把多项式时间算法与 “好的”算法等同看待，并且猜想某些整数规划问题可能不能用 这种“好的”算法求解。这反映了一种观点，认为指数时间算法 不应该算作“好的”算法。通常也的确是这样的。大多数指数时 间算法只是穷举搜索法的变种，而多项式时间算法通常只有在对 问题的结构有了某些比较深入的了解之后才有可能给出。艰多人 都认为只有知道了问题的多项式时间算法才能认为“很好地解决 了”这个问题。因此，如果一个问题困难到不可能用多项式时间 算法求解，那末我们就认为这个问题是“难解的”。
2019/3/20 15
现在认为NP完全问题是否是难解的这一向题是当代 数学和计算机科学中尚未解决的最重要问题之一。尽管 大多数研究工作者猜想NP完全问题是难解的，然而在证 明或否定这个广泛的猜想方面几乎没有取得什么进展。 但是，即使没有证明NP完全性蕴涵难解性，知道一个问 题是NP完全的至少暗示着要想用多项式时间算法解这个 问题必须有重大的突破。