用轨迹法求对称曲线的方程

用轨迹法求对称曲线的方程
清远市一中 吴树桂
求某一曲线的对称曲线的方程，是一个基本而重要的问题，这个问题需要一种简便而通用的解决方法. 下面我们先来看两道例题：
[例一] 已知平行四边形两条边所在直线的方程是AB ：x+y-1=0，BC ：3x-y+4=0，它的对角线的交点是M （3，3），求其它两边CD 和DA 所在直线的方程.
[解法一] x+y-1=0
解方程组
3x-y+4=0
得 x=-43，y=47， 则点B 的坐标为（-43，4
7） 因点M 是BD 的中点，由中点坐标公式，马上得D 点的坐标为（
427，417）. 由 CD ∥AB ，DA ∥BC ，K AB =-1，K BC =3 有 K CD =-1，K DA =3，
因此CD 和DA 所在直线的方程是：
CD ：y=-(x-427)+417； DA ：y=3(x-427)+4
17 即 CD ：x+y-11=0； DA ： 3x-y-16=0.
[解法二] 设直线CD 上任一点的坐标为P （x ，y ），则点P 关于点M 对称的点为P 1（6-x ，6-y ），
由平行四边形的对称性知点P 1必在直线AB 上，把P 1的坐标代入直线AB 的方程得 (6-x)+(6-y)-1=0 ， 即 x+y-11=0，
这就是CD 所在直线的方程.
同理，把点(6-x ，6-y)的坐标代入直线BC 的方程得：3(6-x)-(6-y)+4=0 即 3x-y-16=0， 这就是DA 所在直线的方程.
[例二] 求直线3x+4y-5=0关于直线x+y=0对称的直线的方程.
[解法一] 3x+4y-5=0
解方程组
x+y=0
得 x=-5，y=5. 故两直线的交点为（-5，5）.
如图示，θ1=θ2，
则有 tg θ1=tg θ2，
而两已知直线的斜率分别为 -
43和 -1，设所 求直线的斜率为k ，那么有 4
3114
311++-
=---k k 解得 k=-34， 所以所求直线的方程为 y-5=-34(x+5) 即 4x+3y+5=0 [解法二] 设所求直线L 1上任一点为P （x ，y ）， 它关于直线x+y=0
对称的点的坐标Y
为P 1（-y ，-x ）. 由题设知点P 1必在直线3x+4y-5=0上，则有3(-y)+4(-x)-5=0， 即 4x+3y+5=0，
这就是所求直线的方程.
从上述我们可以看到：（1）这两例中的解法二就是轨迹法，它显然比其它方法来得快捷简便. （2）用轨迹法求对称曲线的方程，最关键的是知道对称点坐标之间的关系.
下面我们就来探讨求对称点坐标的一些结论.
[定理1] 点P （x ，y ）关于点M （a ，b ）成中心对称的点的坐标为P 1（2a-x ，2b-y ）. 证明：设对称点P 1的坐标为（x 1，y 1），则由M 是1PP 的中点得a=21x x +，b=21y y +，所以 x 1=2a-x ，y 1=2b-y. 因此 P 1的坐标为P 1（2a-x ，2b-y ）.
[定理2] 点P （x ，y ）关于直线L ：Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）对称的点P 1的坐标是（222222)(B A AC ABy x A B +---，222222)(B
A BC ABx y
B A +---） [证明] 设点P 1的坐标为（x 1，y 1）
（1）如果A ≠0，则x ≠x 1.
∵ 直线L 垂直平分线段PP 1，
∴ A
B x x y y =--11 A ·
21x x ++B ·21y y ++C=0 解这个方程组得
x 1=222222)(B A AC ABy x A B +--- ， y 1=222222)(B
A BC ABx y
B A +---. 故命题成立.
（2）如果A=0，则直线L 的方程可写成y=-B
C ，这时P 1的坐标为（x ，-B C 2-y ）， 显然命题也成立.
综合（1）、（2）知命题成立.
根据定理1和定理2，运用轨迹法即可推得有关对称曲线的下列结论：
[推论1] 曲线f （x ，y ）=0关于点M （a ，b ）成中心对称的曲线的方程是f （2a-x ，2b-y ）=0.
[推论2] 如果曲线的方程中，用2a-x 代x ，同时以2b-y 代y 而方程不变，那么曲线关于点（a ，b ）成中心对称.
[推论3] 曲线C ：f （x ，y ）=0关于直线L ：Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）成轴对称的曲线C 1的方程是：
f （222222)(B A AC ABy x A B +---，222222)(B
A BC ABx y
B A +---）=0. 特别地，有如下结论：
[推论4] 曲线f （x ，y ）=0关于原点成中心对称的曲线的方程是f （-x ，-y ）=0.
[推论5] 曲线f （x ，y ）=0关于x 轴对称的曲线的方程是 f （x ，-y ）=0.
[推论6] 曲线f （x ，y ）=0 关于y 轴对称的曲线的方程是f （-x ，y ）=0.
[推论7] 曲线 f （x ，y ）=0关于直线 x-y+c=0对称的曲线的方程是f （y-c ，x+c ）=0.
[推论8] 曲线 f （x ，y ）=0 关于直线x+y=c=0对称的曲线的方程是f （-y-c ，-x-c ）=0.
[例三] 求曲线9
)3(4)2(2
2++-y x =1 关于直线x+y=0对称的曲线的方程. [解] 在已知曲线的方程中，用-y 代x ，-x 代y ， 得 9
)3(4)2(2
2+-+--x y =1, 即 4
)2(9)3(2
2++-y x =1 ， 这就是所求曲线的方程. [例四] 若圆x 2+y 2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x 2+y 2-4x+3=0，则a 的值等于 .
[解] 在圆C 的方程 x 2+y 2-4x+3=0中，用y+1代x ，x-1代y ，方程变为：
（y+1）2+（x-1）2-4（y+1）+3=0
即 x 2+y 2-2x-2y+1=0
则与圆C 关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是 x 2+y 2-2x-2y+1=0，而这是唯一，
因此 a=2.。