【精准解析】山西省太原五中2020届高三第一次模拟(4月)数学(文)试题

2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1. 已知集合{|0}A x x =>，{}|||2x B y y ==，则AB =( )A. {|0}x x <B. {|01}x x <<C. {|12}x xD.{|01}x x【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：因为{}|||2{|1}x B y y y y===，{|0}A x x =>，所以{|01}A B x x =<<，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2. 若43z i =+，则zz=（ ）A. 1B. 1-C.4355i + D.4355i - 【答案】D 【解析】【详解】由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.3. 已知非零向量a b ，满足4b a ＝，且2)+(a a b ⊥，则a 与b 的夹角为( ) A. B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得a 与b 的夹角θ的值． 【详解】220a b a ∴⋅+＝2()()20++2+20a a a b a a b a b ⊥∴⋅∴⋅，＝，＝，即220cos a a a b b +〈，〉＝.224240b a a a cos a b ∴＝，＋〈，〉＝，12cos ,,,23a b a b π∴〈〉=-∴〈〉=.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题． 4. 若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．5. 已知双曲线22:12x C y -=的左右焦点为1F ，2F ，点M 为双曲线C 上任意一点，则12MF MF ⋅的最小值为( )A. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，设点M 在双曲线C 右支上，则12||2MF MF a -==，设2||(32)MF x x=-，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由题意知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，不妨设点M 在双曲线C 右支上，则12||222MF MF a -==，设2||(32)MF x x=-，所以()212(22)22MF MF x x x ⋅=+=+-，所以当32x =-时，12MF MF ⋅的值最小，最小为1，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题. 6. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ① 若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1； ②是的充要条件；③；④ 函数(1)y f x =+是奇函数，则()y f x =的图像关于(1,0)对称. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】利用逆否命题的真假判断①的正误；由a b ⊥可得0a b =，反之不成立，取0a =即可判断；利用全称命题直接判断③的正误即可；利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误. 【详解】解：对于①，逆否命题为：a ，b 都小于1，则2a b +<是真命题 所以原命题是真命题对于②，a b ⊥⇒0a b =，反之不成立，取0a =，不能说a b ⊥，所以②是假命题； 对于③，[0x ∀∈，)+∞，30x x +；显然是真命题；对于④，函数(1)y f x =+是奇函数，函数的对称中心为(0,0)，则()y f x =的图象是(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到的，所以()y f x =关于(1,0)对称．是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称性，充要条件，是基础题．7. 执行如图所示的程序框图.则输出的所有点(),x y （ ）A. 都在函数1y x =+的图象上B. 都在函数2y x =的图象上C. 都在函数2xy =的图象上 D. 都在函数12x y -=的图象上【答案】C 【解析】 【分析】列出循环的每一步，根据输出的点(),x y 的坐标可判断出点(),x y 符合哪一个函数的解析式. 【详解】开始：1x =，2y =，进行循环： 输出()1,2，2x =，4y =， 输出()2,4，3x =，8y =， 输出()3,8，4x =，16y =，输出()4,16，5x =，32y =，因为54x =>，退出循环，则输出的所有点()1,2、()2,4、()3,8、()4,16都在函数2xy =的图象上.故选：C.【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.8. 已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x R ≥∈．（ ）A. 若()f a b ≤，则a b ≤B. 若()2b f a ≤，则a b ≤C. 若()f a b ≥，则a b ≥D. 若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B 【解析】【详解】可设2(0)(){2(0)x x x f x x -≥=<，则f （x ）满足题意.易知(1)25=5,f =≤-但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f ，=≥但2＜3,排除C.(2)42=221,f -=≥-<，但排除D.故选B.9. 函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ；x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键． 10. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A. 1B.2C. 2-D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列和等比数列的性质求出39b b +，481a a -的值，代入3948tan1b b a a +-⋅得答案.【详解】在等差数列{}n b 中，由16117b b b π++=，得637b π=，673b π=，3961423b b b π∴+==， 在等比数列{}n a中，由1611a a a =-，得36a =-6a =(224861112a a a ∴-=-=-=-，则39481473tan tan tan tan 1233b b a a πππ+⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪-⋅-⎝⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题.11. 抛物线2:2C x y =的焦点为F ，点M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为( ) A.4πB.2π C.916π D.34π 【答案】C【解析】 【分析】依题意可得MOF ∆的外接圆的圆心P 一定在抛物线上，且圆心P 在OF 的垂直平分线上，所以||2pOF =，从而求出外接圆的半径以及圆的面积； 【详解】解：因为MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以MOF △的外接圆的圆心P 到准线的距离等于圆的半径||PF ，则MOF ∆的外接圆的圆心P 一定在抛物线上.又因为圆心P 在OF 的垂直平分线上，||2p OF =，3||424p p p MF =+=，则此外接圆的半径3344p r ==，故此外接圆的面积2916S r ππ==，故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，属于中档题.12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. 14B. 1042+C.21422+ D.21342+【答案】D 【解析】【详解】还原三视图如下：其表面积为111132132222222112222422222+⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭故选D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 若样本数据1x 、2x 、、10x 的平均数为10，则数据143x -、243x -、、1043x -，的平均数为_____. 【答案】37 【解析】 【分析】利用平均数公式可求得结果. 【详解】因为样本数据1x 、2x 、、10x 的平均数为10，则12101010x x x +++=，所以数据143x -、243x -、、1043x -的平均数为()1210121043043434341003037101010x x x x x x +++--+-++-⨯-===，故答案为：37.【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.14. 已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+(0)a >的最大值为4，则a =__________．【答案】2 【解析】【分析】画出可行域，当直线y ax z =-+的截距最大时，z ax y =+取得最大值，若10a -≤-<，则目标函数在A 点取得最大值，若1a -<-，则目标函数在B 点取得最大值，分别求解即可得到答案．【详解】画出x ，y 满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为y ax z =-+， 若10a -≤-<，则目标函数在A 点取得最大值，解方程02x y x y -=⎧⎨+=⎩，得()11A ，，则41a =+，解得3a =，不满足题意；若1a -<-，则目标函数在B 点取得最大值，解方程2x y y +=⎧⎨=⎩，得()20B ，，则420a =+，解得2a =，满足题意． 故答案为2.【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档题．15. 函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是_____.【答案】3 【解析】 【分析】求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于x 轴对称，可得出关于ω的等式，即可求得ω的最小正值.【详解】函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则平移后函数的解析式为sin sin 333y x x ωπππωω⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()213k ωππ∴-=+，k Z ∈，当1k =-时，ω取得最小正值，此时3ωππ=，因此，ω的最小正值为3.故答案：3.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及函数图象的对称性，考查推理能力，属于中等题.16. 已知()xf x x e =⋅，()()()()2g x fx tf x t R =+∈若满足()1g x =-的x 有四个，则t的取值范围为_____.【答案】21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】满足()1g x =-的x 有4个，等价于方程()()210fx tf x ++=有4个根，设()x h x xe =，利用导数得到函数()y h x =的单调性和极值，画出函数()y h x =的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数()y f x =的大致图象，要使方程()()210fx tf x ++=有4个根，则方程210m tm ++=应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设()21m m tm ϕ=++，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出t 的取值范围. 【详解】满足()1g x =-的x 有4个，∴方程()()210fx tf x ++=有4个根，设()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，令()0h x '=，得1x =-. 当(),1x ∈-∞-时，()0h x '<，函数()y h x =单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0h x '>，函数()y h x =单调递增，()()min 11h x h e∴=-=-， 画出函数()xh x xe =的大致图象，如图所示：()()x f x xe h x ==，∴保留函数()y h x =的x 轴上方的图象，把x 轴下方的图象关于x 轴翻折到x 轴上方，即可得到函数()xf x xe =的图象如下图所示：令()m f x =，则210m tm ++=， 所以要使方程()()210fx tf x ++=有4个根，则方程210m tm ++=应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内，一个根在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，设()21m m tm ϕ=++，因为()010ϕ=>，则只需21110t e e eϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：21e t e+<-，因此，实数t 的取值范围是21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题. 三、解答题（共5小题，满分60分）17. 已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）()16232n n T n +=+-.【解析】 【分析】（1）等比数列{}n a 中，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（1）中求得的结果代入22log 1n n b a =-，求出n b ，利用错位相减法求出n T . 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =.因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+. 即()224244q q +=+，化简得220q q -=.因为公比0q ≠，所以2q .所以()222422n n n n a a qn N --*==⨯=∈；（2）因为2nn a =，所以22log 121n n b a n =-=-，所以()212n n n a b n =-.则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-，①， ()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+-，②，①-②得，()2312222222212n nnT n+-=+⨯+⨯++⨯--()()()11141222212623212nn nn n-++-=+⨯--=----，所以()16232nnT n+=+-.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查了等差、等比中项的概念的应用，以及错位相减法，考查运算能力，属中档题.18. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D-中，1AA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，3CA CD=，120BCD∠=︒.（1）若AC BD O=，求证：1B O//平面11AC D；（2）若2CD=，且三棱锥1A CDC-的体积为221C D.【答案】（1）见解析；（2）110C D=【解析】【分析】（1）连接11B D交11A C于点1O，连接1DO，根据四边形ABCD为平行四边形，可得1B O//1DO，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用正弦定理，可得1sin2CAD∠=，进一步可得AC CD⊥，然后根据1A CDCV-，可得1CC，最后利用勾股定理，可得结果.【详解】（1）连接11B D交11A C于点1O，连接1DO.如图由四棱柱的性质可知11B D //BD ， 且11B D BD =，则11B O //DO . ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴12DO BD =. 同理111112B O B D =，∴11DO B O =， ∴四边形11DOB O 为平行四边形，∴1B O //1DO . 又1DO ⊂平面11AC D ，1B O ⊂/平面11AC D ， ∴1B O //平面11AC D .（2）∵120BCD ∠=︒，∴60ADC ∠=︒. 又3CA CD =，∴3CA =由正弦定理可得sin sin CA CDADC CAD =∠∠，解得1sin 2CAD ∠=， ∵0120CAD ︒︒<∠<，∴30︒∠=CAD ， ∴90ACD ︒=∠，即AC CD ⊥.又1AA ⊥平面ABCD ，即1CC ⊥平面ABCD ， ∴1CC ，CD ，CA 两两垂直.∴11111232232A CDC V CD CC CA CC -=⨯⋅⋅==， ∴16CC =，∴221110C D CC CD =+=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.19. 2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[]20,45岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.组数 分组 “环保族”人数 占本组的频率第一组[)20,25 45 0.75第二组[)25,30 25 y第三组[)30,35 200.5第四组[)35,40z0.2第五组 [)40,453 0.1（1）求x 、y 、z 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35中的概率.【答案】（1）2000.6256x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）30.75；（3）1318.【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出x 、y 、z ； （2）根据频率分布直方图，能估计这x 人年龄的平均值；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[)25,30中选5人，分别记为A 、B 、C 、D 、E ，[]30,35中选4人，分别记为a 、b 、c 、d ，在这9人中选取2人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意得：450.752000.065250.6252000.0452000.0350.26x y z ⎧⎪==⎪⨯⎪⎪==⎨⨯⨯⎪=⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎩； （2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值为：22.50.327.50.232.50.237.50.1542.50.1530.75x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，从[)25,30中选：25952520⨯=+人，分别记为A 、B 、C 、D 、E ，从[]30,35中选：20942520⨯=+人，分别记为a 、b 、c 、d ， 在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A E 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),B C 、(),B D 、(),B E 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),C D 、(),C E 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),D E 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),E a 、(),E b 、(),E c 、(),E d 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共36种，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),E a 、(),E b 、(),E c 、(),E d 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共26种，因此，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35中的概率26133618P ==. 【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题. 20. 已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，77k -≤≤或34k =±．【解析】 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由22650xy x+-+=得()2234x y-+=，∴ 圆1C的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y，则∵ 点M为弦AB中点即1C M AB⊥，∴11⋅=-C M ABk k即13y yx x⋅=--，∴ 线段AB的中点M的轨迹的方程为223953243x y x⎛⎫⎛⎫-+=<≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r=为半径的部分圆弧EF（如下图所示，不包括两端点），且525,3E⎛⎫⎪⎪⎝⎭，525,33F⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，又直线L：()4y k x=-过定点()4,0D，当直线L与圆L223402321kk⎛⎫--⎪⎝⎭=+得34k=±，又0354DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程21. 已知函数()ln f x x x =+，()()240g x x mx m =+<，函数()f x 在点1x =处的切线与函数()y g x =相切. （1）求函数()g x 的值域； （2）求证：()()f x g x <. 【答案】（1）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出曲线()y f x =在点1x =处的切线方程，与函数()y g x =的解析式联立，由0∆=可求得m 的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数()y g x =的值域； （2）要证明()()f x g x <，即证242ln x x x x ->+，即证244ln x x x x ->-，求出函数()244x x x ϕ=-的最小值，并利用导数求出函数()ln h x x x =-的最大值，由此可得出结论.【详解】（1）切点()1,1P ，()ln f x x x =+，则()11f x x'=+，()12f '=. 所以，函数()y f x =在点1x =处的切线方程为()121y x -=-，即21y x =-. 函数()y f x =在点1x =处的切线与函数()y g x =相切.联立2421y x mx y x ⎧=+⎨=-⎩，化为()24210x m x +-+=，()()()2216620m m m ∆=--=-+=，0m <，解得2m =-.()22111424444g x x x x ⎛⎫∴=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； （2）要证()()f x g x <，即证242ln x x x x ->+，即证244ln x x x x ->-. 设()244x x x ϕ=-，()ln h x x x =-，则函数()y h x =的定义域为()0,+∞.()min 112x ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()111x h x x x -=-='.当01x <<时，()0h x '>，此时，函数()y h x =单调递增； 当1x >时，()0h x '<，此时，函数()y h x =单调递减. 所以，函数()y h x =的最大值为()()max 11h x h ==-.所以，()()min max x h x ϕ=，但是函数()y x ϕ=的最小值和函数()y h x =的最大值不在同一处取得，因此，()()f x g x <.【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，二次函数值域的求解，同时也考查了函数不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于难题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点P (2，0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)设点Q 与点G 的极坐标分别为32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2，π)，若直线l 经过点Q 32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．【答案】(1) y 2＝8x ， 2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2) 【解析】 【分析】（1）曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线l的参数方程；（2）先求出直线l的参数方程为2,22xy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得到t2－t－32＝0，利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义求出|AB|=16,再求点G到直线l的距离，即得△GAB的面积．【详解】(1)曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，其直角坐标方程为y2＝8x，直线l的参数方程为2cos,sinx ty tαα=+⎧⎨=⎩(t为参数)．(2)将点32,2Qπ⎛⎫⎪⎝⎭的极坐标化为直角坐标得(0，－2)，易知直线l的倾斜角α＝π4，所以直线l的参数方程为2,2xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)．将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得282⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得t2－t－32＝0，Δ＝)2＋4×32＝255＞0，设t1，t2为方程为t2－－32＝0的两个根，则t1＋t2＝，t1·t2＝－32，所以12||16 AB t t=-===.由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2，0)，易求点G到直线l的距离||sin4542d PG=⋅︒=⨯=111222GABS d AB∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的写法，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23. （1）若a、b均为正数，且1a b+=.证明：11119a b⎛⎫⎛⎫++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若不等式32x x a +--≥的解集为{}1x x ≥，求实数a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）3a =.【解析】【分析】（1）将1a b +=代入可得11111111b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由三元均值不等式，即可得证；（2）先由方程32x x a +--=的根为1x =求出a 的值，然后代入不等式，解不等式验证即可，进而可得出实数a 的值.【详解】（1）a 、b 均为正数，且1a b +=，1111111111339a b b a b a a b a b a b ⎛⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝， 当且仅当12a b ==时，等号成立， 因此，11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意可知方程32x x a +--=的根为1x =，则412a --=，解得1a =-或3. ①当1a =-时，原不等式为312x x +-+≥.当3x ≤-时，由()()313122x x x x +-+=-+++=-<，此时x ∈∅；当31x -<<-时，由()()3131242x x x x x +-+=+++=+≥，得1x ≥-，此时x ∈∅； 当1x ≥-时，由()()31312x x x x +-+=+-+=，此时1x ≥-. 所以，不等式312x x +-+≥的解集为{}1x x ≥-，不合乎题意；②当3a =时，原不等式为332x x +--≥.当3x ≤-时，由()()333362x x x x +--=-++-=-<，此时x ∈∅；当33x -<<时，由()()333322x x x x x +--=++-=≥，解得1≥x ，此时13x ≤<； 当3x ≥时，由()()333362x x x x +--=+--=≥，此时3x ≥.所以，不等式332x x +--≥的解集为{}1x x ≥，合乎题意.综上所述，3a =.【点睛】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题.。