大学高数阶段自测题(二)
高等数学测试题二(导数、微分)答案及解析
高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析一、选择题（每小题4分，共20分）1、设函数0()102x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ B ）A 不连续B 连续但不可导C 二阶可导D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B12 C 12eD 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B2e C 2eD e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()limx f a x f a x x→+--等于（ C ）A 0B ()f a 'C 2()f a 'D (2)f a '5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 02、 设函数()xf x xe =，则(0)f ''= 23、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01l i m()n n f x n→∞+= 4、 曲线228y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____处的切线与x 轴正向的交角为4π。
x=1 23=x5、 d = x e dx - xe --三、解答题1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a ')()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ϕϕϕϕϕϕϕ=-+=-+==-=连续在又2、（7分）设函数()a a xa x a f x x a a=++，求()f x '设aa m = a x n = xat =aa a a aaxa xa x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a at n m tn m xaa ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(111+++=++=++=---x a a x a aa a a aaxa xa x f xaa *ln ln )('211+++=--3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程∵sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ ∴122+-=x y 6π=t 时 x=21 21=y14203242y'21x x4-y'=+-=-+-===y x y x 法线方程所以切线方程时当4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d ydx对x 求导0*cos 211=+-dxdyy dx dy y dxdy dxdy y cos 21111)1cos 21(-=-=- 在对x 求导3222)cos 211(sin 21)cos 211(sin 21y yy dx dy y dxy d --=--=6、（10分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导 ∵()f x 在12x =处可导 ∴41221lim =→x xb a b ax x +=+→21lim21 4121=+b a 。
大学高数考试试题及答案
大学高数考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 0D. 32. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是（）。
A. 1B. 3C. 0D. 23. 定积分∫(0,1)x^2dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 24. 若级数∑(1/n^2)收敛，则级数∑(1/n)（）。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 无法判断二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=2处的值是______。
6. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是______。
7. 函数y=x^2-4x+5的顶点坐标是______。
8. 曲线y=x^2与直线y=2x在第一象限的交点坐标是______。
三、计算题（每题10分，共30分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+15的一阶导数和二阶导数。
10. 计算定积分∫(0,2)(2x+1)dx。
11. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-2x+1)。
四、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)上是增函数。
13. 证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，则定积分∫(a,b)f(x)dx存在。
14. 证明：级数∑(1/n)发散。
答案：一、选择题1. B2. B3. A4. B二、填空题5. 26. 17. (2,-1)8. (1,2)三、计算题9. 一阶导数：f'(x)=3x^2-12x+9；二阶导数：f''(x)=6x-12。
10. ∫(0,2)(2x+1)dx = (x^2+x)|_0^2 = 4+2 = 6。
11. lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-2x+1) = 0。
四、证明题12. 证明略。
13. 证明略。
14. 证明略。
高数2试题及答案
模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
高等数学(二)试题及答案
高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。
（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。
高等数学Ⅱ(专科类)第2阶段测试题
江南大学现代远程教育 第二阶段测试卷考试科目:《高等数学》高起专 第三章至第四章（总分100分） 时间：90分钟__________学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：一． 选择题 (每题4分，共20分)1. 函数21cos()(1)(2)x f x x x =+- 的间断点的个数为（ ） (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 42. 曲线 331y x x =-+ 的拐点是(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1)-3.要使函数()f x x= 在 0x = 处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是 ( ). (a) 1 (b) 2(c)(d) 4. 函数 6ln(1)y x =+ 的单调增加区间为（ ） (a) (6,6)- (b) (,0)-∞ (c) (0,)+∞ (d) (,)-∞+∞5. 设函数()f x 在点 0x 处可导, 则 000(4)()lim h f x h f x h→+- 等于 ( ). (a) 04()f x '- (b) 04()f x ' (c) 02()f x '- (d) 0()f x '-二.填空题 (每题4分，共28分) 6. 1()sin 2(3)f x x =- 的间断点为______________. 7．罗尔定理的条件是________________________.8函数 333y x x =-+ 的单调区间为________.9.设 ,0(),2,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处连续, 则常数 a =______.10.函数 333,(23)y x x x =-+-≤≤ 的最大值点为_______, 最大值为______.11.由方程 2250xy x y e -+= 确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=_________.12. 设函数 2()ln(2)f x x x =, 则 (1)f ''=________.三. 解答题 (满分52分)13.设函数 4,2,1(),(1)(2)2,1x bx a x x f x x x x ⎧++≠-≠⎪=-+⎨⎪=⎩在点 1x = 处连续, 试确定常数 ,a b 的值.14. 求函数y =在 [0,3] 上满足罗尔定理的 ξ。
高数II-2练习题及答案
高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是（）。
• A、(2,1, 4)•B、(4,3, 4)•C、0•D、(−4,3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（）条件。
• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( )• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。
• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。
• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是（）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。
• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（）。
• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（）• A、a>e•B、a<e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
高等数学II试卷及答案
06/07试卷（B ）（本试卷共4页）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→=。
(A)不存在(B)等于1(C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为4、 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α（常数0>α）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关。
5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是 (A)1；(B)3e ；(C)3-e ；(D)1-.6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式（A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++（B ）x Bx Ax 2cos )(2+（C ）x B x A 2sin 2cos +（D ）x B Ax 2cos )(+一. 1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(22ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ=??????。
2、曲线3231,2,t z t y t x ===在点)31,2,1(处的切线方程是。
3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是。
4、如果幂级数()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是. 二. 解答下列各题（本大题共2小题，总计12分） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。
2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向四、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、(7分)计算二重积分224+-⎰⎰D xy dxdy 其中D ：x2+y 2≤9.f (x ,y )为连续函数，写出积分在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。
西安工业大学高数试题及答案
高等数学（Ⅱ）参考答案1.设函数x yz )31(=，则=∂∂xz 3ln 31 .2.设),(y x f 连续，交换二次积分次序：=⎰⎰dy y x f dx x112),(dx y x f dy y⎰⎰1),( .3.设∑是上半球面224y x z --=，则曲面积分=+++⎰⎰∑dS zy x 22211π38 .4.设k z x z j z x y i z x x A)1()1()1(222-+-++=，则=A div3 .5.函数)21ln()(x x f +=展开成x 的幂级数为]21,21(,2)1(11-∈-∑∞=-x x nnn nn . 6.已知幂级数n n n x a )1(0-∑∞=在1-=x 收敛，则该级数在23=x 的敛散性为 绝对收敛 .7.已知0)()4(2=+++dy y ax dx y x 是全微分方程，则=a 4 . 8.微分方程xdx dy x y =-21的通解为2212x C y --= .二、（6分）设)(x y y =是由方程y x e e xy -=确定的函数，试计算0|=x dy .解：设 y x e e xy y x F +-=),(，则 xx e y y x F -='),(，yy e x y x F +='),(，于是yxy x ex y e y x F y x F dxdy +-=''-=),(),(，又方程yx ee xy -=当0=x 时0=y ，则1000=+-====y x yxx ex y e dxdy ，所以dx dx dy x =⋅==1|0.三、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z +=满足方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂yz yx z xz ，试确定a 的值.解：令 y ax u +=，则)(u f xz '=∂∂，)(22u f x z ''=∂∂，a u f yx z ⋅''=∂∂∂)(2，a u f yz ⋅'=∂∂)(，222)(a u f yz ⋅''=∂∂，代人0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂yz yx z xz 得0)()()(62=''-''+''u f a u f a u f ， 即062=--a a ，解得3=a 或2-=a .四、（6分）计算dy xy y dx xy x L⎰-+-)2()2(22，其中L 是抛物线2x y =上点)1,1(-到)1,1(的一段弧.解：由2x y =，11:→-x ，则1514}2]2)[()2{()2()2(112222222-=⋅-+⋅-=-+-⎰⎰-dx x x x x x x x dy xy y dx xy x L五、判别下列级数的敛散性：1.（4分）∑∞=1!3n nnnn ；解：级数为正项级数，由比值审敛法有 13111lim 313lim !3)1(!)1(3limlim111>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→e n n n n nn n u u n n nn n nn n n nn n 所以∑∞=1!3n nnnn 发散.2.（6分）αnn n 1sin)1(11+∞=∑-. 若收敛，指明是条件收敛还是绝对收敛.解：① 当0≤α时，01sin)1(lim 1≠-+∞→αnn n ，由必要条件知级数发散；② 当0>α时，交错级数满足αα)1(1sin1sin+>n n，01sinlim =∞→αnn ，由莱布尼兹定理知该交错级数收敛.该级数取绝对值后的级数为∑∞=11sinn nα，且111sinlim=∞→ααnn n ，又∑∞=11n nα当10≤<α发散，当1>α时收敛（-p 级数），所以当10≤<α条件收敛，当1>α时绝对收敛.六、（8分）将函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<≤--=ππx x x x f 0,10,00,1)( 展成傅里叶级数.解：)(x f 为奇函数，则),3,2,1,0(0 ==n a n ，])1(1[2cos 12sin 12nn nx n nxdx b --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅=⎰πππππ即),3,2,1(0,1214212 ==-=-n b n b n n π所以),,0()0,()12sin(1214)(1πππ-∈--=∑∞=x xn n x f n当π±=,0x 时，傅里叶级数收敛于0.七、（10分）球幂级数nn x n ∑∞=+0)12(的收敛域及和函数，并求∑∞=+-02)12()1(n nnn 的值.解：由于ρ==++=∞→+∞→11232limlim1n n a a n nn n ，则1=R ，当1±=x 时，n n n )1()12(1±+∑∞=发散，所以收敛域为)1,1(-.设=)(x s nn xn ∑∞=+0)12()()(2221011x s x xs xnxx n nn n +=+=∑∑∞=∞=-，而xx xdt ntdt t s n nn xn x-===∑∑⎰⎰∞=∞=-1)(1111，则 21)1(1)(x x s -=，又xx s -=11)(2，所以)1,1()1(111)1(2)(22-∈-+=-+-=x x x xx x x s ，从而有92)21(2)12()1(0=-=+-∑∞=s n n nn.八、（10分）计算曲面积分dxdy z dzdx z y dydz z xI )1()1()1(333+++++++=⎰⎰∑，其中∑是上半球面221y x z --=的上侧.dxdy z dzdx z y dydz z x)1()1()1(3331+++++++⎰⎰∑+∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=++=Ω212220222sin 3)(3ππϕϕθr d r r d d dv z y xππ5651123=⨯⨯⨯=解：取)1(0:22=+=∑y x z ，方向下侧，由高斯公式dxdy z dzdx z y dydz z x )1()1()1(3331+++++++⎰⎰∑+∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=++=Ω212220222sin 3)(3ππϕϕθr d r r d d dv z y xππ5651123=⨯⨯⨯=而dxdy z dzdx z y dydz z x )1()1()1(3331+++++++⎰⎰∑π-=+-=+=⎰⎰⎰⎰≤+∑dxdy dxdy zy x 133221)10()1(，所以πππ511)(5611=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑.九、（10分）已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点的切线平行直线052=+-y x ，而)(x y 满足微分方程xey y y 396=+'-''，求此曲线方程.解：由题意知求微分方程 x e y y y 396=+'-'' 满足初始条件2)0(,0)0(='=y y 的解.原方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0962=+-r r 的特征根3=r 为二重根，又xex f 3)(=中3=λ，则原方程的特解为x e Ax y 32*=，代入得12=A ，即21=A .于是原方程的通解为xxex ex C C y 3232121)(++=，由初始条件求得2,021==C C ,所以曲线方程为 xxex y 3)212(+=.十、（8分）设定义在),(∞+-∞上的函数)(x f ，对任意),(,∞+-∞∈y x ，满足xye yf e x f y x f )()()(+=+，且)0()0(≠='a a f .（1）证明：对任意)(),,(x f x '∞+-∞∈存在，并求)(x f ；证：由条件x y e y f e x f y x f )()()(+=+，取0==y x ，代入得0)0(=f ；又取x y x x ∆==,，得 ))0()(()1)(()()()()()(f x f e ex f x f e x f ex f x f x x f xxx x-∆+-=-∆+=-∆+∆∆则xf x f exex f xx f x x f xx∆-∆+∆-=∆-∆+∆)0()(1)()()(于是xf x f e xex f x f x xxx ∆-∆+∆-='→∆∆→∆)0()(lim1lim)()(0xx e a x f f e x f +='⋅+=)()0()(，方程为满足0)0(=f 的一阶线性微分方程，可求得特解为 xe ax xf =)(. （2）将)(x f 展成)1(-x 的幂级数，并求)1()2007(f.解：由于 ),(!10∞+-∞∈=∑∞=x xn e nn x，则1]1)1[()(-⋅+-==x xee x a eax x f})1(!1)1(!1{010nn n n x n x n e a -+-=∑∑∞=+∞=),()1(!10∞+-∞∈-+=∑∞=x x n n e a nn ；则有e a e a f2008)12007()1()2007(=+=.。
高数II-2练习题及答案
高数II-2一、单项选择1、级数为( )•?A、发散•?B、条件收敛但不绝对收敛•?C、绝对收敛但不条件收敛•?D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是（）。
•?A、(2,1, 4)•? B、(4,3, 4)•? C、0•? D、(?4,3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（）条件。
•?A、充分•?B、必要•?C、充分必要•?D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( )•?A、绝对收敛•?B、条件收敛•?C、发散•?D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。
•?A、•?B、•?C、•?D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。
•?A、圆•?B、椭球•?C、抛物面•?D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（）。
•?A、•?B、•?C、•?D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()•?A、•?B、•?C、•?D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。
•?A、50•? B、51•? C、52•? D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是（）•?A、平行于z轴•?B、垂直于x轴•?C、平行于y轴•?D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。
•?A、一定发散•?B、一定收敛•?C、可收敛也可发散•?D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是（）。
•?A、•?B、•?C、•?D、参考答案 C13、下列说法正确的是（）。
•?A、两直线之间的夹角范围在•?B、两平面之间的夹角范围在•?C、两向量之间的夹角范围在•?D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（）•?A、a>e•? B、a<e•? C、a=e•? D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
高数二真题模拟答案及解析
高数二真题模拟答案及解析导语：高等数学是大多数理工科学生所必修的一门课程。
对于许多学生来说，高等数学的学习并不容易，尤其是在面对高数二这门难度较大的课程时。
为了帮助学生更好地掌握高数二的知识，本文将通过模拟题的形式给出答案及解析，以期对学生们的学习有所帮助。
一、题目一答案及解析题目：求曲线$y=\ln(x^2+1)$在点$(1,0)$处的切线方程。
解析：要求曲线在给定点处的切线方程，首先需要求出曲线在该点处的斜率。
根据求导的知识，可以得到曲线的导数为$y'=\frac{2x}{x^2+1}$。
将$x=1$代入求导公式，可以计算得到曲线在点$(1,0)$处的斜率为$2$。
切线的一般方程为$y-y_0=k(x-x_0)$，其中$(x_0,y_0)$为切点的坐标。
代入已知条件$(x_0,y_0)=(1,0)$和$k=2$，我们可以得到切线方程为$y=2(x-1)$。
二、题目二答案及解析题目：计算积分$I=\int_0^{\pi/2} \sin(x) \cos(x) \, dx$。
解析：要计算该积分，可以考虑使用换元法。
设$u=\sin(x)$，则$du=\cos(x) \, dx$。
在积分区间内，当$x=0$时，$u=0$；当$x=\pi/2$时，$u=1$。
将积分的上下限用$u$表示，可以得到新的积分$I'=\int_0^1 u \, du$。
对于$I'=\int_0^1 u \, du$，直接求解可得$I'=\frac{1}{2}$。
由于使用了变量替换，我们还需要将积分的结果转化回原来的变量。
即$I=\frac{1}{2}$。
三、题目三答案及解析题目：已知函数$y=f(x)$满足微分方程$\frac{dy}{dx}=2xy$，且$y(0)=1$，求函数$f(x)$。
解析：根据已知条件，我们可以得到微分方程的解为$y=f(x)=e^{x^2+C}$，其中$C$是一个常数。
大学高数考试试卷
大学高数考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)的定义域是：A. \(x\neq 0\)B. \(x>0\)C. \(x<0\)D. \(x>0\) 或 \(x<0\)2. 曲线y=\(\sqrt{x}\)在点(4,2)处的切线斜率是：A. \(\frac{1}{2}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{\sqrt{4}}\)D. \(\frac{1}{\sqrt{16}}\)3. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. 可导一定连续，但连续不一定可导D. 以上说法均不正确4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的法向量是：A. (1, -1)B. (-1, 1)C. (1, 1)D. (0, 1)5. 若f(x)=\(\frac{1}{x}\)，则f'(2)的值是：A. \(\frac{1}{2}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{2^2}\)D. \(\frac{1}{2^3}\)6. 若\(\lim_{x\to 0} f(x) = 3\)，则下列说法正确的是：A. \(\lim_{x\to 0} (f(x) + 3) = 6\)B. \(\lim_{x\to 0} (f(x) - 3) = 0\)C. \(\lim_{x\to 0} (2f(x)) = 6\)D. 以上说法都正确7. 函数f(x)=\(x^2+1\)的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在8. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} (2f(x) +3)dx\)的值是：A. 4B. 5C. 7D. 89. 曲线y=\(x^3\)在点(1,1)处的切线方程是：A. \(y=3x-2\)B. \(y=x-2\)C. \(y=3x-1\)D. \(y=x-1\)10. 函数f(x)=\(\sin x\)的原函数是：A. \(-\cos x\)B. \(\cos x\)C. \(\tan x\)D. \(\ln|x|\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\(\lim_{x\to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 5\)，则\(\lim_{x\to 2} f(x) = ________。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
高等数学二试题及完全解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.若()212lim 1x x x e ax bx→++=，则（）（A ）1,12a b ==-（B ）1,12a b =-=-（C ）1,12a b ==（D ）1,12a b =-=【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()2222222112200111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x xx x x x x e ax bx e ax bx x xe ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•++-→=++=+++-=+++-=，因此，222222001()12lim 0lim 0xx x x x ax bx x e ax bx x x→→++++++-=⇒=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故1,12a b ==-，选（B ）.2.下列函数中在0x =处不可导的是（） （A ）()sin f x x x =（B ）()sin f x x x =（C ）()cos f x x =（D ）()cos f x x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A.000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ，可导；B.000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ,可导； C.20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---===，可导； D.()200011cos 122lim lim limx x x x x x x x x→→→---==，极限不存在。
西安理工大学高科学院-高数考试题（第二学期）
１专业 班级 姓名 学号 考场2010年 秋季学期《高等数学》试卷 命题教师 命题小组 系主任审核 考试形式 闭 考试类型 学位课 √ 非学位课 （请在前面打“√”选择）考试班级考试日期 10年 月 日 考试时间 150分钟题号 一 二三 四 总 分得分注意：1．请用深蓝色墨水书写，字、图清晰，书写不出边框。
2．答题演草时不许使用附加纸，试卷背面可用于演草。
试卷不得拆开。
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前面的字母填入题后的括号内。
1.当0→x 时，与无穷小()1cos2x -等价的无穷小是 ( ) A.x ； B.2x ； C.2x ； D.22x2. 设()21sin ,0,0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ 在0x =连续，则常数a =（ ） A.0； B.1； C.2； D.3 3.设()111f x x=-+，则曲线()x f y = A. 仅有水平渐近线； B.仅有铅直渐近线； C. 既有水平渐近线又有铅直渐近线； D.无渐近线题号 得分 一教务处印制 共 8 页 （第 1 页）２4. 设()f x 为连续函数，()()2ln xx F x f t dt =⎰，则()F x '=（ ）A.()()21ln 2f x xf x x +； B. ()()21ln 2f x xf x x-； C. ()()2ln f x f x +； D. ()()2ln f x f x - 5.在下列等式中，正确的结果是（ ）A. ()()f x dx f x '=⎰；B. ()()df x f x =⎰；C.()()df x dx f x dx =⎰； D. ()().d f x dx f x =⎰ 6. 0211dx x -∞=+⎰ （ ） A.2π； B. 2π-； C.0； D.发散7. 曲线23,,x t y t z t ===在点()1,1,1处的切线方程为（ ） A ．2111123x y z t t ---==； B. 111123x y z ---==； C ． ()()2121310x t y t z -+-+-=； D. ()()121310x y z -+-+-= 8. 函数22z x y =+在点()1,2P 处方向导数的最大值为 （ ） A.0； B.5； C. 25； D. 359.函数()3322,339f x y x y x y x =-++-在点()1,0处（ ）A. 不取得极值；B. 取得极小值；C. 取得极大值 ；D. 不能确定是否取得极值教务处印制 共 8 页 （第 2 页）３10．221101(,)y y dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）A. 21100(,)x dx f x y dy -⎰⎰ B. 221111(,)x x dx f x y dy ----⎰⎰C. 221101(,)x x dx f x y dy ---⎰⎰D. 21110(,)x dx f x y dy --⎰⎰填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 3tan ln3x y x =++,则()0y '= ；2. 设)1ln(2++=x x y ,则=dy ；3. 设sin y ax =,则()=n y ；4. sin cos x xdx ⋅=⎰ ；5. ()222a ax a xdx -+-=⎰；6.函数1x y e x =--的单调增加的区间是 ；7. 函数()32231f x x x =-+在区间[]1,4-上的最大值为 ； 8. 设arctanyz x=，则dz = ； 9. 幂级数2112nn n n x ∞=+∑的收敛半径=R ；10.微分方程y xy '=的通解为y = 。
高数下-自测题(含答案)
自测题一参考答案一. 解答下列各题. 1.设2(,)(1)arcsinf x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f .解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x∴=， '(1,1)2x f ∴=2.已知,, a b c为单位向量,且满足0a b c ++=,计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0a b c++=，()0a a b c∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=； 同理，()0b a b c ⋅++= ， 10a b b c ∴+⋅+⋅=； ()c a b c⋅++= ， 10a cbc ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a+⋅+⋅+⋅=，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f具有二阶连续偏导数, 求2z x y∂∂∂.解：''''12121z x f xf y f f xyf f xy y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦，2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322zx x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y y y y y x x xf f xyf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f具有一阶连续的导数,求z z yxx y∂∂-∂∂.解：'22z x xf z∂=∂-，''22z y f fz y yf z-+∂=∂-，''2xz xf fz z yyxxyf z-∂∂∴-=∂∂-5. 求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y Lx y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.解：直线L 的方向矢量{}1101,1,2111i j k s ==---，所以平面的法矢量为s，故所求的平面方程为(1)(0)2(1)0x y z ----+=，即230x y z ---=6. 求曲面228x yzz +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.解：在点0(2,2,1)M 处，法矢量{}4ln 2,4ln 2,16ln 2n=-//{}1,1,4-，所以切平面方程为：(2)(2)4(1)0x y z -+---=，即 40x y z +-=，法线方程为：221114x y z ---==-二. 设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.解：由线性方程解的结构定理知，该方程的通解为()()212x x y C e x C e x x=-+-+ ()()212'1211x x y C e C e ∴=-+-+，将初始条件(0)1y =, '(0)3y =代入得121131C C C =+⎧⎨=+⎩1212C C =-⎧⇒⎨=⎩ 所以原方程的所求特解为2*2x xy e e =-三. 设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .解：整理方程200()()()x xx f x e x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边对x 求导，得 20'()2()xx f x e f t dt=-⎰，再对x 求导，得 2''()4()x f x e f x =-，求解此方程得通解为： 2124()cos sin 5xf x C x C x e =++，由初始条件 (0)1,'(0)f f ==得，1212,55C C ==，所以2124()cos sin 555xf x x x e =++四. +=.解：设0000(,,)M x y z 为曲面上任一点，过0M 切平面的法矢量 n ⎧=⎨⎩，切平面方程为)))0000x x y y z z -+-+-=，即++=该切平面在三个坐标轴的截距为所以2+==五. 在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离. 解：椭球面22221x y z ++=上的点(,,)x y z 到平面26x y z +-=的距离的平方为：()221266d x y z =+--设 ()()22222621F x y z x y z λ=+--+++-由()()()'''222426402262022620210x y z F x y z x F x y z y F x y z z x y z λλλ⎧=+--+=⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪++-=⎩得点1111,,222M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2111,,222M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由问题可知，最大值和最小值必定存在，故所求 最近点为1111,,222M ⎛⎫-⎪⎝⎭，最近距离为()1d M =；最远点为2111,,222M ⎛⎫--⎪⎝⎭，最远距离为()2d M =自测题二参考答案六. 解答下列各题. 7. 若L 为曲线1,02yx x x =--≤≤,计算()Lx y ds+⎰.解：1211()(1(1)22Lx y ds x x dx +=-+-=+⎰⎰⎰8. 计算∑, 其中∑是22z x y =+上1z ≤的部分曲面.解：原式D=()2214Dx y dxdy⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰()2120143d d πθρρρπ=+=⎰⎰9. 设()22222()x y t F t fx y dxdy+≤=+⎰⎰, 求'()F t .解：()()2220()2ttF t d fd f d πθρρρπρρρ==⎰⎰⎰，所以 ()2'()2F t t ft π=10. 设L 为椭圆22143x y +=,其周长记为a , 求()22234 Lxyx y ds++⎰.解：原式()212 Lxyds =+⎰212 L Lxyds ds=+⎰⎰01212a a=+=11. 把1()34f x x =+展为形如0(1)nn n a x ∞=-∑的幂级数, 并确定其收敛区间.解：1()34f x x=+174(1)x =+-11471(1)7x =⋅+-014(1)(1)77n nn x ∞=⎡⎤=⋅--⎢⎥⎣⎦∑14(1)(1)7n nn n n x ∞+==--∑由4117x -<得收敛区间为31144x -<<12. 证明()211()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰.证明：交换积分次序，有 左22111100()()y y xxdx e f x dy f x dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2110()yx f x e dx =⎰()210()xe ef x dx =-⎰=右，故得证七. 求由曲面22z x y =+及221222z x y =--围成的立体的体积.解：VdV Ω=⎰⎰⎰22221220d d dz πρρθρρ-=⎰⎰⎰()2302123d πρρρ=-⎰24π=八. 计算(s in )(c o s )xx LIey my dx e y m dy =-+-⎰, L 是从点(,0)A a 沿上半圆周22x y ax +=到(0,0)的弧段.解：由格林公式，有sin x Pe y my=-，cos x Q e y m=-，cos x yP e y m=-，cos x xQ e y =，()22(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )0228xx Lx x x x L O AO AxyDDI ey m y dx e y m dy e y m y dx e y m dy e y m y dx e y m dya m a Q P dxdy m dxdym ππ+=-+-=-+---+-⎛⎫=--==⋅⋅=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰九. 求幂级数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数.解： 12nna n =⋅， 111(1)2limlim212n n nn n n a n Ra n +→∞→∞++⋅∴==⋅=⋅，所以收敛区间为(2,2)x ∈-当2x=-时，级数为1(1)n n n∞=-∑收敛，当2x=时，级数为11n n ∞=∑发散，故原级数的收敛域为[2,2)x ∈-设1()2nnn x S X n ∞==⋅∑，[2,2)x ∈-，则有111111'()222212n n x S X x x∞-=⎛⎫==⋅=⎪-⎝⎭-∑，所以 012()'()ln22xxS x S t dt dt tx===--⎰⎰，[2,2)x ∈-十. 计算曲面积分3311 y y Ix dydz f y dzdx f dxdy z z y z ∑⎡⎛⎫⎤⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎰⎰, 其中()f u 有连续导数,∑为曲面221z x y =++与平面2z =围成的立体表面外侧.解：利用高斯公式，3Px =，31y Q f y z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1y Rf y z ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()xy z I P Q R dv Ω=++⎰⎰⎰()2233x y dv Ω=+⎰⎰⎰221230132d d dz πρπθρρ+==⎰⎰⎰。
高等数学试题二(附答案)
《高等数学》专业 学号 姓名一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.2. 若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.3. 若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.4. 方程0=xyz 和0222=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5. 设*y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题2分，共20分）1. 设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .2. 设xx x f 3arcsin )21ln()(+=，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.3. 设xtt tx x f 2)11(lim )(+=∞→，则)(x f '' .4. 已知)(x f 在a x =处可导，且A a f =')(，则=--+→hh a f h a f h )3()2(lim 0.5. 若2)]([cos )(2x f dxd x x f =，并且1)0(=f ，则)(x f .6. 若)(),(x g x f 在点b 左连续，且)()(),()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<，则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g7. 若2sin x y =，则=)(2x d dy ；=dxdy .8. 设⎰=xx tdt x f 2ln )(，则=')21(f .9. 设y x e z 2=，则=)1,1(dz .10. 累次积分dy y x f dx xR R)(22022-⎰⎰-化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）1. ⎰⎰+→x x t x dttt dt t 0sin 01sin )1(lim; 2. 设1ln22-=xxee y ，求y '; 3.dx xx x ⎰+-2sin 1cos sin ;4.⎰-20224dx x x ; 5. 设22yx x z +=, 求yx z yz ∂∂∂∂∂2,.6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy .7. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy yy D⎰⎰sin .8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e yx ==1下的特解.四、（7分）已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题7分，共14分）1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小？2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（7分）设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明xx f x g )()(=在a x <<0上单调增加.高等数学参考答案一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.二、填空题1. 36 ；2.32 ； 3. x e x 2)1(4+ ； 4. A 5 ； 5. x sin 1+； 6.<；7. 22cos 2,cos x x x ；8. 2ln ； 9. dy dx +2 ； 10.⎰⎰200)2cos (πθθR rdr r f d .三、计算题1. 原式xx xx xx sin cos )sin 1(limsin1+=→e e ==12.2222222222)1(2)1(212111-⋅--⋅-⋅-='xxxxxx xx xe eeeeeeeey22222)1(221--⋅-=xxxxee e exe211-=3．原式=dx x x x x ⎰+-2)cos (sin cos sin)cos (sin )cos (sin 12x x d x x ++-=⎰C xx ++=cos sin 14．设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2=原式=⎰⋅⋅202cos 2cos 2sin4πtdt t t⎰⋅=2022cos sin16πtdt t⎰⎰-==20202)4cos 1(22sin4ππdt t tdtππ=-=20)4sin 41(2t t5．23222222)(22y xxyyxyxy x yz +-=++⋅-=∂∂322212223222)(2)(23)(y xxy x xy y x y yx z +⋅+⋅-+-=∂∂∂3222232)()2(y x yx y y x ++-=6．两边同时微分得：)(1)()ln()(2dy dx yx y x y x dy dx dx dy ---+--=-即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=-故 dx y x y x dy )ln(3)ln(2-+-+=（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）7．⎰⎰⎰⎰=102sin sin y yDdx yy dy dxdy yy⎰-=10)sin (sin dy y y y⎰-+-=101010cos cos cos ydy yy y10sin 1cos 1cos 1y -+-= 1sin 1-=8．原方程可化为yx yy dydx 1ln 1=+通解为 ]1[ln 1ln 1C dy yeex dyy y dyy y +⋅⎰⎰=⎰-]1[ln ln ln ln C dy ye e y y +⋅=⎰-]ln 1[ln 1C ydy yy +=⎰])(ln 21[ln 12C y y +=yC y ln ln 21+=e yx ==1代入通解得 1=C故所求特解为： 01ln 2)(ln 2=+-y x y四、解： b ax x x f ++='23)(2因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点 故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f 解得： 3,0-==b a于是 x x x f 3)(3-= )1(3)(2-='x x fx x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ，从而6)1(>=''f ， 在1=x 处有极小值2)1(-=f06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为)96(13+=kx xy又10=x 时，6103=⋅k 故得006.0=k ， 所以有)96006.0(13+=x xy ，),0(∞+∈x令 0)8000(012.032=-='x xy ， 得驻点20=x由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20h km 时，每航行km 1的耗费最少，其值为2.7209620006.02min =+⨯=y （元）2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为100-x y ，又因为22-=x y 上的切线斜率满足12='⋅y y ，在),(00y x 上即有120='y y所以112000=-⋅x y y ，即1200-='x y 又因为),(00y x 满足2020-=x y ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212020020x y x y 得 ⎩⎨⎧==1300y x所以切线方程为 )1(21-=x y则所围成图形的面积为： 61)]12(2[102=+-+=⎰dy y y S（2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：6)2()1(413212πππ=---=⎰⎰dx x dx x V六、证： 22)]0()([)()()(])([xf x f x f x xx f x f x xx f --'=-'='在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得 )()0()(ξf x f x f '=-代入上式得 2)()(])([xf x f x xx f ξ-'='由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>', 于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([>'xx f ，故xx f )(在),0(a 内单调增加.。
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5、设 = = u ( x 2 + x) 2 , 求 x y2 + y ，
3
dy . du
sin x 6、设 f ( x) = ln(1 + x)
x<0 x≥0
求 f −′ (0), f +′ (0)及f ′(0) .
1 x sin , 7、讨论 f ( x ) = x ln(1 + x ) ,
)
- 61 -
6、 （1）若在点 x = x0 可微，则必在该点连续.
（2）若 f (x ), g (x ) 都在点 x = x0 可导，则 f ( x) 都在该点可导； f ( x) ± g ( x), f ( x) g ( x), g ( x) （3） 若 y = f ( x ) , 在点 x = x0 的切线平行坐标轴， 则必有 f ′( x0 ) 存在且等于 0； （4）若 y = f ( x ) 的反函数 x = f
又 f ( x ) 在 x = 0 处可导，
.
3、求曲线
x + t (1 − t ) = 0
y te + y + 1 = 0
在 t = 0 处的切线方程。
- 62 -
4、 f (x ) 在 x = a 处连续, ϕ ( x) = sin( x − a) f ( x), 求 ϕ ' (a) .
ax e 3、设 f ( x) = 2 b(1 − x ), (A) a = b = 1 ; (C) = a 0, = b 1;
x≤0 x>0
处处可导，则(
)
(B) a = −2 ,b = −1 ; (D) a = 2 ,b = 1 .
∆y − dy 的值为( ∆x (B)0; (D) 不确定.
x >1
, 则 f ′(1) = __________ . x ≤1
3、设 y = e
sin 2 x
, 则 dy =
.
4、设 y = x x sin x( x > 0), 则
dy . = dx 5、 y = f ( x ) 为方程 x sin y + ye x = 0 确定的隐函数 则 f ′(0) = .
- 64 -
x≠0 x=0
在 x=0 处的连续性与可导性。
8、设 y=y(x)由 e y + xy = e 所确定，求 y ′′(0) .
- 63 -
四、证明题： 1、设 f (x ) 是以 ω 为周期的可导函数，证明： f ′(x ) 也是以 ω 为周期的函数。
2、设 f ( x ) = x , 证明：
(1) f (x ) 在原点右连续; ( 2 ) f (x ) 在原点的右导数不存在。
( y ) 在 y = y 0 可导，
三、计算题： 1、设对一切实数 x 有 f (1 + x ) = 2 f (x ) ,且 f ′(0) = 0, 求 f ′(1) .
1 2 x cos , 2、若 g (x ) = x 0, 求
d f ( g ( x)) df ( x ) 在点 x= x0 可微，则其微分 dy = f ' ( x0 )∆x ≤ ∆y . 以上五个结论正确的是： （ （A） （1）; （C） （3） （4）; ） （B） （1） （2）; （D） （2） （4） （5）.
则 y = f ( x ) 在 x= x0 处可导。 （其中 y0 = f ( x0 ) ） ；
二、选择题:
1、 f ( x) = ln(1 + a −2 x ), (a > 0) 则 f ′(0 ) 的值为( (A) − ln a ; (B) ln a ; 1 1 (C) ln a ; (D) . 2 2
2
)
2、设曲线 y = e1− x 与直线 x = −1 相交于点 P, 曲线过点 P 处的切线方程为( ) (A) 2 x − y = 0 ; (B) 2 x + y + 1 = 0 ; (D) 2 x − y + 3 = 0 . (C) 2 x + y − 3 = 0 ;
阶段自测题（二）
挂牌班_______ 自然班_________
导数与微分
学号__________ . 序号____
姓名_________
一、填空题:
1、设 f ′( x0 ) 存在，则 lim +
t →0
f ( x0 − t ) − f ( x0 + t ) = t
x 2 , 2、 f ( x) = 2 3 x , 3
∆x →0
4、若 f (x ) 在点 x 可微,则 lim
(A)1; (C)-1;
)
5、设 y = f (sin x ) , f (x ) 为可导函数，则 dy 的表达式为(
(A) f ′(sin x )dx ; (C) f ′(sin x ) cos x ; (B) f ′(cos x )dx ; (D) f ′(sin x ) cos xdx .