成人高考数学试卷高数二

一、填空题（每空2分，共10分）
1. 若函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1在x=1处的切线斜率为______。

2. 若lim(x→0) (sinx/x) = 1，则x→0时，sinx与x的关系是______。

3. 设a > 0，函数f(x) = x^3 - 3ax在x=a处的导数为______。

4. 设向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的点积为
______。

5. 若数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 4，则数列{an}的极限为______。

二、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列函数中，在x=0处连续且可导的是（）
A. f(x) = |x|
B. f(x) = x^2
C. f(x) = sinx
D. f(x) = x/(x^2 + 1)
2. 已知函数f(x) = e^x - x，则f'(0) =（）
A. 1
B. e
C. e - 1
D. 0
3. 设向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）
A. 1/2
B. 1/3
C. 2/3
D. 1
4. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 1]上单调递增，则f'(x)的符号为（）
A. 恒正
B. 恒负
C. 有正有负
D. 不确定
5. 设数列{an}的通项公式为an = n(n+1)，则数列{an}的前n项和S_n =（）
A. n(n+1)(n+2)/3
B. n(n+1)(n+2)/2
C. n(n+1)(n+2)
D. n(n+1)
三、解答题（共80分）
1. （20分）求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[-1, 3]上的最大值和最小值。

2. （20分）设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 12x + 1，求f'(x)的零点，并判断f(x)在零点两侧的单调性。

3. （20分）已知向量a = (2, 3, 4)，向量b = (1, 2, 3)，求向量a与向量b 的叉积。

4. （20分）设数列{an}的通项公式为an = n^2 + n + 1，求lim(n→∞) an。

四、附加题（共10分）
1. （5分）求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1的极值点。

2. （5分）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)在区间[-1, 3]上的凹凸性和拐点。

答案：
一、填空题
1. -2
2. 同阶无穷小
3. -3a
4. 24
5. 4
二、选择题
1. C
2. C
3. C
4. A
5. A
三、解答题
1. 最大值：f(3) = 1，最小值：f(-1) = -5
2. 零点：x=1，f(x)在x=1左侧单调递减，在x=1右侧单调递增。

3. 向量a×b = (-3, -3, -3)
4. lim(n→∞) an= ∞
四、附加题
1. 极值点：x=2
2. 凹凸性：f(x)在区间[-1, 1]上凹，在区间[1, 3]上凸；拐点：(1, 0)。