数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章1
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表示到点2i和到 两点距离相 表示到点 和到-2两点距离相 和到 等点的轨迹。 等点的轨迹。既过原点的直线
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
（同一表示） 同一表示）
2
−iθ
Z* = Z
* 2 2
zz = z = x + y
( z * )* = z
补充： 补充：
化为三角表示和指数表示. 例1 将 z = − 12 − 2i 化为三角表示和指数表示
解:
ρ = x + y = 12 + 4 = 4
2 2
y −2 3 = tgθ = = x − 12 3
v u
2
x
定义域
例： ω 则：
= z ; z =1
ω = z =1 ω = u + iv = 1 ∴ u = 1; v = 0
2
2、定义域及相关的概念： 定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。 （2）邻域： ）邻域： 圆内所有点的集合， 圆内所有点的集合，称z0的邻域
（4）边界点与边界线： ）边界点与边界线： 边 界 点 z0点的每个邻域内，既有属于点 点的每个邻域内， 的点， 的点。 集 E的点 ， 也有不属于 的点 。 的点 也有不属于E的点 的边界点。 则称z 点称为该点集E的边界点 则称 0 点称为该点集 的边界点 。 边界线 边界点的全体。 边界点的全体。
1 Im(z) = − 2
5 zz = z = 2
2
例4: 计算
解:
i
i
的数值
i ( +2kπ ) 2
− −2kπ 2
乘方公式 z = ρ e
n
n inθ
π
i=e
π
i = [e
i
i[ +2kπ ] i 2
] =e
π
(k = 0, ±1, ±2....)
例5：求下列方程所表示的曲线 ：
(1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ z) =4
y
z
1
ω
1
ω
2
z
2
ω
x
ω 的宗量。定义域为E，记作, 的宗量。定义域为 ，记作, ω = f (z)
ω = f (z)
代表了z( 复平面到w 代表了 x-y )复平面到 (u-v ) 复平面的转换 复平面到
z = x + iy
y
ω = f ( z) = u + iv = u( x, y) + iv( x, y)
第一篇 复变函数论
第一章
复变函数
重点
1、复数的三种表示及其相互转换； 复数的三种表示及其相互转换； 方程的应用； 2、Cauchy-Riemann方程的应用； 方程的应用 3、解析函数及其实部或虚部的求解方法。 解析函数及其实部或虚部的求解方法。 及其实部或虚部的求解方法
§1.1 复数概念及其表示
y
几何意义
z2
1）和： ）
代数式运算
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2
z
z1
x
z = z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i( y1 + y2 )
2）差： ）
y
和的意义
z2
z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2
z = z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i( y1 − y2 )
三角式运算
z1 ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) ρ1 = = [cos(θ1 −θ2 ) + i sin(θ1 −θ2 )] z2 ρ2 (cos θ2 + i sin θ 2 ) ρ2
指数式运算
z1 ρ1eiθ1 ρ1 i (θ1 −θ2 ) = = e iθ 2 ρ2 z2 ρ 2 e
z − z0 < ε
（3）内点与外点： ）内点与外点： 内点 及其邻域属于点集E； 若z0及其邻域属于点集 ； 则称z 点为点集E的内点 的内点。 则称 0点为点集 的内点。
y
E
x
内点的定义，不只是对于 一点而言。 内点的定义，不只是对于z0一点而言。 外点
z0及其邻域均不属于点集E，称z0为点集 的外点 为点集E的外点 及其邻域均不属于点集 ，
5 7 ⇒θ = − π或 π 6 6
(在第三象限) 在第三象限) 三角式: 三角式
5π 5π z = 4(cos − i sin ) 6 6
指数式: 指数式
z = 4e
−i
5π 6
例2 设 z 1 = 5 − 5 i , z 2 解:
z1 z1 与( ) = −3 + 4i 求 z2 z2
− 35 − 5i − 7 1 z1 5 − 5i = = = − i z2 − 3 + 4i 25 5 5
-
z1
− z2
x
z
差的意义
3）积： ） 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = ( x1x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + x2 y1 )
z1z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ2 (cosθ2 + i sin θ2 ) = ρ 2 ρ1 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )]
对于乘、除等运算， 对于乘、除等运算，采用三角式或指数式往往比代数式方便
5）共轭： ）共轭：
复数
代数式表示
共轭复数
z* = x − iy
z* = ρ（cosθ − i sin θ )
z = x + iy
三角式表示 z = ρ cosθ + i sinθ ) （ 指数式表示
z = ρe
iθ
z = ρe
三角运算
指数运算
z1 z2 = ρ1e ρ2e
θ
iθ1
iθ 2
= ρ1 ρ2e
i (θ1 +θ 2 )
推论
n i
zn = ρ neinθ
θ 2kπ i( + ) n n
给定一个z 个值， 个值 z = n ρe n 给定一个 ，n z 有n个值，辅角相差 2π n 的整数倍
z = ρe = ρe
iθ
A
A
B
A
B
B
注
i)区域是开集 区域是开集 区域是
对于区域B来说， 对于区域 来说，如果其中任做简单 来说 闭合曲线，曲线的内部总属于B。 闭合曲线，曲线的内部总属于 。 如果区域不是单连通
单连通 ii)连通性 连通性 复连通
可 以 缩 成 一 点 单连通区域
复连通区域 不都是缩成一点
闭区域
注 y
ω
1
ω
2
z
1
E
z
2
x
以复数z 为圆心， 为半径作一圆， 以复数 0为圆心，任意小正实数 ε 为半径作一圆，
y x
（a）任意小的正数为半径，该圆面积可以无穷小. 任意小的正数为半径，该圆面积可以无穷小. （b）圆内所有点不包括圆周上的点. 圆内所有点不包括圆周上的点. （c）对一点而言有无穷多个邻域. 对一点而言有无穷多个邻域.
解：（1）|z+i|=2 ）
z + i = z − (−i )
z = z1 − z2 z = z1 − z2
y
2
y
z2 z z1
|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2
x + ( y + 1) = 4
2 2
x
表示圆心在（ ， ）半径2的圆 表示圆心在（0，-1）半径 的圆
(2) |z-2i|=|z+2|
1、复数
轴上任意二实数（ ） 在x、y轴上任意二实数（x, y）总可以定义数 轴上任意二实数 z=x+iy，称z为x，y复平面上的复数 复平以表示复平面上的一点。 ）一个复数可以表示复平面上的一点。 2）i称为虚单位 ） 称为虚单位 i×i=(-1)
y
( x, y )
y
E
x
（5）区域与闭区域： ）区域与闭区域： 是宗量z在复数平面上的取值范围 在复数平面上的取值范围， 区域 是宗量 在复数平面上的取值范围，且满足 内点组成 ）具有连通性 记作B。 （1）全由内点组成 （2）具有连通性 记作 。 ）全由内点 连通性 集合中任意两点都可用一折线连接起来且折 线上的点全都属于该集合。 线上的点全都属于该集合。
i (θ +2kπ )
n
z = n ρe
4）商： ） 代数式运算
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z2 x2 + iy2 ( x2 + iy2 )( x 2 −iy2 ) x1 x2 + y1 y 2 x2 y1 − x1 y 2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
(1)、S位于平面上的坐标原点。 、 位于平面上的坐标原点 位于平面上的坐标原点。 (2)、复平面上的有限远点与球面上的点一一对应。 、复平面上的有限远点与球面上的点一一对应。 (3)、复平面上的无限远点对应与球 面上北极点 。 、 面上北极点N。 (4)、无限远点的模为无限大，其辐角无明确意义。 、无限远点的模为无限大，其辐角无明确意义。
y π y 0 < arctg < arctg ;当z在第I象限 x 2 x arctg y + π ;当z在第II象限 − π < arctg y < 0 2 x x argz = y π arctg y + π ;当z在第III象限 0 < arctg < x x 2 y arctg + 2π ;当z在第IV象限 − π < arctg y < 0 x 2 x π y π 考虑到： 考虑到： − < arctg <
区域和边界线上的点构成的点集B+L=B 区域和边界线上的点构成的点集
2 < z − (1 + 2 i ) < 3
区域？ 区域？ 单连通区域？ 单连通区域？
以（1+2i）为圆心的圆环 ）
复连通区域
y
x
θ
x
3）一个复数对应复平面上的一个向量。 z=x+iy ）一个复数对应复平面上的一个向量。 大小：向量长度 大小：向量长度——称为复数的模 称为复数的模
z = x2 + y2
θ 方向： 与 轴夹角 称为复数z的幅角 方向：z与x轴夹角 ——称为复数 的幅角 记作 称为复数
θ = Argz
辅角θ是多值的， 值称为辅角的主值或复数z的主辅角 辅角 是多值的， 在[0,2π)的θ值称为辅角的主值或复数 的主辅角， 是多值的 π 的 值称为辅角的主值或复数 的主辅角， 表示， 用argz表示，于是有：Argz=argz+2kπ . 0的辅角没有意义 表示 于是有： π 的辅角没有意义 如何用复数z的实部 和虚部 表示辅角的主值argz 和虚部y表示辅角的主值 如何用复数z的实部x和虚部 表示辅角的主值
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
（同一表示） 同一表示）
2
−iθ
Z* = Z
* 2 2
zz = z = x + y
( z * )* = z
补充： 补充：
化为三角表示和指数表示. 例1 将 z = − 12 − 2i 化为三角表示和指数表示
解:
ρ = x + y = 12 + 4 = 4
2 2
y −2 3 = tgθ = = x − 12 3
v u
2
x
定义域
例： ω 则：
= z ; z =1
ω = z =1 ω = u + iv = 1 ∴ u = 1; v = 0
2
2、定义域及相关的概念： 定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。 （2）邻域： ）邻域： 圆内所有点的集合， 圆内所有点的集合，称z0的邻域
（4）边界点与边界线： ）边界点与边界线： 边 界 点 z0点的每个邻域内，既有属于点 点的每个邻域内， 的点， 的点。 集 E的点 ， 也有不属于 的点 。 的点 也有不属于E的点 的边界点。 则称z 点称为该点集E的边界点 则称 0 点称为该点集 的边界点 。 边界线 边界点的全体。 边界点的全体。
1 Im(z) = − 2
5 zz = z = 2
2
例4: 计算
解:
i
i
的数值
i ( +2kπ ) 2
− −2kπ 2
乘方公式 z = ρ e
n
n inθ
π
i=e
π
i = [e
i
i[ +2kπ ] i 2
] =e
π
(k = 0, ±1, ±2....)
例5：求下列方程所表示的曲线 ：
(1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ z) =4
y
z
1
ω
1
ω
2
z
2
ω
x
ω 的宗量。定义域为E，记作, 的宗量。定义域为 ，记作, ω = f (z)
ω = f (z)
代表了z( 复平面到w 代表了 x-y )复平面到 (u-v ) 复平面的转换 复平面到
z = x + iy
y
ω = f ( z) = u + iv = u( x, y) + iv( x, y)
第一篇 复变函数论
第一章
复变函数
重点
1、复数的三种表示及其相互转换； 复数的三种表示及其相互转换； 方程的应用； 2、Cauchy-Riemann方程的应用； 方程的应用 3、解析函数及其实部或虚部的求解方法。 解析函数及其实部或虚部的求解方法。 及其实部或虚部的求解方法
§1.1 复数概念及其表示
y
几何意义
z2
1）和： ）
代数式运算
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2
z
z1
x
z = z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i( y1 + y2 )
2）差： ）
y
和的意义
z2
z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2
z = z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i( y1 − y2 )
三角式运算
z1 ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) ρ1 = = [cos(θ1 −θ2 ) + i sin(θ1 −θ2 )] z2 ρ2 (cos θ2 + i sin θ 2 ) ρ2
指数式运算
z1 ρ1eiθ1 ρ1 i (θ1 −θ2 ) = = e iθ 2 ρ2 z2 ρ 2 e
z − z0 < ε
（3）内点与外点： ）内点与外点： 内点 及其邻域属于点集E； 若z0及其邻域属于点集 ； 则称z 点为点集E的内点 的内点。 则称 0点为点集 的内点。
y
E
x
内点的定义，不只是对于 一点而言。 内点的定义，不只是对于z0一点而言。 外点
z0及其邻域均不属于点集E，称z0为点集 的外点 为点集E的外点 及其邻域均不属于点集 ，
5 7 ⇒θ = − π或 π 6 6
(在第三象限) 在第三象限) 三角式: 三角式
5π 5π z = 4(cos − i sin ) 6 6
指数式: 指数式
z = 4e
−i
5π 6
例2 设 z 1 = 5 − 5 i , z 2 解:
z1 z1 与( ) = −3 + 4i 求 z2 z2
− 35 − 5i − 7 1 z1 5 − 5i = = = − i z2 − 3 + 4i 25 5 5
-
z1
− z2
x
z
差的意义
3）积： ） 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = ( x1x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + x2 y1 )
z1z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ2 (cosθ2 + i sin θ2 ) = ρ 2 ρ1 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )]
对于乘、除等运算， 对于乘、除等运算，采用三角式或指数式往往比代数式方便
5）共轭： ）共轭：
复数
代数式表示
共轭复数
z* = x − iy
z* = ρ（cosθ − i sin θ )
z = x + iy
三角式表示 z = ρ cosθ + i sinθ ) （ 指数式表示
z = ρe
iθ
z = ρe
三角运算
指数运算
z1 z2 = ρ1e ρ2e
θ
iθ1
iθ 2
= ρ1 ρ2e
i (θ1 +θ 2 )
推论
n i
zn = ρ neinθ
θ 2kπ i( + ) n n
给定一个z 个值， 个值 z = n ρe n 给定一个 ，n z 有n个值，辅角相差 2π n 的整数倍
z = ρe = ρe
iθ
A
A
B
A
B
B
注
i)区域是开集 区域是开集 区域是
对于区域B来说， 对于区域 来说，如果其中任做简单 来说 闭合曲线，曲线的内部总属于B。 闭合曲线，曲线的内部总属于 。 如果区域不是单连通
单连通 ii)连通性 连通性 复连通
可 以 缩 成 一 点 单连通区域
复连通区域 不都是缩成一点
闭区域
注 y
ω
1
ω
2
z
1
E
z
2
x
以复数z 为圆心， 为半径作一圆， 以复数 0为圆心，任意小正实数 ε 为半径作一圆，
y x
（a）任意小的正数为半径，该圆面积可以无穷小. 任意小的正数为半径，该圆面积可以无穷小. （b）圆内所有点不包括圆周上的点. 圆内所有点不包括圆周上的点. （c）对一点而言有无穷多个邻域. 对一点而言有无穷多个邻域.
解：（1）|z+i|=2 ）
z + i = z − (−i )
z = z1 − z2 z = z1 − z2
y
2
y
z2 z z1
|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2
x + ( y + 1) = 4
2 2
x
表示圆心在（ ， ）半径2的圆 表示圆心在（0，-1）半径 的圆
(2) |z-2i|=|z+2|
1、复数
轴上任意二实数（ ） 在x、y轴上任意二实数（x, y）总可以定义数 轴上任意二实数 z=x+iy，称z为x，y复平面上的复数 复平以表示复平面上的一点。 ）一个复数可以表示复平面上的一点。 2）i称为虚单位 ） 称为虚单位 i×i=(-1)
y
( x, y )
y
E
x
（5）区域与闭区域： ）区域与闭区域： 是宗量z在复数平面上的取值范围 在复数平面上的取值范围， 区域 是宗量 在复数平面上的取值范围，且满足 内点组成 ）具有连通性 记作B。 （1）全由内点组成 （2）具有连通性 记作 。 ）全由内点 连通性 集合中任意两点都可用一折线连接起来且折 线上的点全都属于该集合。 线上的点全都属于该集合。
i (θ +2kπ )
n
z = n ρe
4）商： ） 代数式运算
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z2 x2 + iy2 ( x2 + iy2 )( x 2 −iy2 ) x1 x2 + y1 y 2 x2 y1 − x1 y 2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
(1)、S位于平面上的坐标原点。 、 位于平面上的坐标原点 位于平面上的坐标原点。 (2)、复平面上的有限远点与球面上的点一一对应。 、复平面上的有限远点与球面上的点一一对应。 (3)、复平面上的无限远点对应与球 面上北极点 。 、 面上北极点N。 (4)、无限远点的模为无限大，其辐角无明确意义。 、无限远点的模为无限大，其辐角无明确意义。
y π y 0 < arctg < arctg ;当z在第I象限 x 2 x arctg y + π ;当z在第II象限 − π < arctg y < 0 2 x x argz = y π arctg y + π ;当z在第III象限 0 < arctg < x x 2 y arctg + 2π ;当z在第IV象限 − π < arctg y < 0 x 2 x π y π 考虑到： 考虑到： − < arctg <
区域和边界线上的点构成的点集B+L=B 区域和边界线上的点构成的点集
2 < z − (1 + 2 i ) < 3
区域？ 区域？ 单连通区域？ 单连通区域？
以（1+2i）为圆心的圆环 ）
复连通区域
y
x
θ
x
3）一个复数对应复平面上的一个向量。 z=x+iy ）一个复数对应复平面上的一个向量。 大小：向量长度 大小：向量长度——称为复数的模 称为复数的模
z = x2 + y2
θ 方向： 与 轴夹角 称为复数z的幅角 方向：z与x轴夹角 ——称为复数 的幅角 记作 称为复数
θ = Argz
辅角θ是多值的， 值称为辅角的主值或复数z的主辅角 辅角 是多值的， 在[0,2π)的θ值称为辅角的主值或复数 的主辅角， 是多值的 π 的 值称为辅角的主值或复数 的主辅角， 表示， 用argz表示，于是有：Argz=argz+2kπ . 0的辅角没有意义 表示 于是有： π 的辅角没有意义 如何用复数z的实部 和虚部 表示辅角的主值argz 和虚部y表示辅角的主值 如何用复数z的实部x和虚部 表示辅角的主值