余弦定理和正弦定理-高考数学复习
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解析：根据正弦定理
＝
＝
，∵
sin
sin
sin
sin 2 A ＝ sin 2 B ＋ sin 2
C ，∴ a 2＝ b 2＋ c 2，∴ A 是直角， B ＋ C ＝90°，∴2 sin B cos C ＝2
sin B cos （90°－ B ）＝2 sin
2B＝
sin A ＝1，∴ sin B ＝
；
c 2＝ a 2＋ b 2－2 ab cos C
高中总复习·数学
定理
变形
正弦定理
余弦定理
高中总复习·数学
2. 在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a ＝ b sin A
解的个数
1
b sin A ＜ a ＜
b
2
a≥b
a＞b
1
1
高中总复习·数学
弦定理得
2 ＋ 2 −2
9+25−49
1
cos A ＝
＝
＝－ ，因为 A 为△ ABC 的内
2
30
2
2π
角，所以 A ＝ .
3
高中总复习·数学
5. 在△ ABC 中， sin A ＝2 sin B cos C ，且 sin 2 A ＝ sin 2 B ＋ sin 2 C ，则
△ ABC 的形状是 等腰直角三角形 .
cos C ＋ c cos A ； c ＝ b cos A ＋ a cos B.
高中总复习·数学
1. （多选）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，下
列结论正确的是（
）
A. a 2＝ b 2＋ c 2－2 bc cos A
B. a sin B ＝ b sin A
解析：由结论1可得 p ＝
＝
＝9， S △ ABC ＝
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
9 × （9 − 5） × （9 − 6） × （9 − 7） ＝6
35 6
＝
.
24
5×6×7
6，R＝
＝
4
4×6 6
B. 90°
C. 60°
D. 30°
解析：
1
2
由正弦定理，得
＝
，得
sin
sin45°
∴ A ＜ B ＝45°.∴ A ＝30°.故选D.
）
1
sin A ＝ .又 a ＜ b ，
2
高中总复习·数学
3. 记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若△ ABC 的面
＝2 R 2
4
sin A sin B sin C （ R 为△ ABC 外接圆半径）.
高中总复习·数学
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在△ ABC 中，若 sin A ＞ sin B ，则 A ＞B.
（
√
）
（2）当 b 2＋ c 2－ a 2＞0时，△ ABC 为锐角三角形.
余弦定理和正弦定理
借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定
理、正弦定理.
知识 逐点夯实
必备知识 系统梳理 基础重落实
课前自修
高中总复习·数学
1. 余弦定理、正弦定理
定理
内容
正弦定理
余弦定理
a 2＝ b 2＋ c 2－2 bc cos A ；
2＋ a 2－2 ac cos B
2
c
b ＝
（
× ）
（3）在△ ABC 中，已知 a ， b ， A ，则三角形有唯一解.
（
× ）
（4）在△ ABC 中，若 A ∶ B ∶ C ＝1∶2∶3，则 a ∶ b ∶ c ＝
1∶2∶3.
（
× ）
高中总复习·数学
2. 已知△ ABC 中， a ＝1， b ＝ 2 ， B ＝45°，则 A ＝（
A. 150°
3. 三角形的面积公式
1
（1） S △ ABC ＝ aha （ ha 为边 a 上的高）；
2
1
（2） S △ ABC ＝ ab sin C ＝
2
1
bc sin A
2
＝
1
ac sin B
2
；
1
（3） S △ ABC ＝ r （ a ＋ b ＋ c ）（ r 为三角形的内切圆半径）；
2
（4） S △ ABC ＝
积为4， a ＝2， B ＝30°，则 c ＝ 8 .
1
1
1
解析：由 S △ ABC ＝ ac sin B ＝ ×2 c × ＝4，得 c ＝8.
2
2
2
4. 在△ ABC 中， AB ＝5， AC ＝3， BC ＝7，则 A ＝
2π
3
.
解析：在△ ABC 中，设 AB ＝ c ＝5， AC ＝ b ＝3， BC ＝ a ＝7，由余
C. a ＝ b cos C ＋ c cos B
D. a cos B ＋ b cos C ＝ c
解析： 易知A、B正确，由结论2可得C正确，D错误.
高中总复习·数学
2. 已知△ ABC 的三边长分别为 a ＝5， b ＝6， c ＝7，则△ ABC 的外接
圆半径 R ＝
35 6
24
.
＋＋
5+6+7
2
.∵0°＜ B
2
＜90°，∴ B ＝45°， C ＝45°，∴△ ABC 是等腰直角三角形.
高中总复习·数学
1. 在△ ABC 中， S ＝ （ − )( − )( −
1
） （其中 p ＝ （ a ＋ b
2
＋ c ））.
2. 三角形中的射影定理：在△ ABC 中， a ＝ b cos C ＋ c cos B ； b ＝ a
解析：根据正弦定理
＝
＝
，∵
sin
sin
sin
sin 2 A ＝ sin 2 B ＋ sin 2
C ，∴ a 2＝ b 2＋ c 2，∴ A 是直角， B ＋ C ＝90°，∴2 sin B cos C ＝2
sin B cos （90°－ B ）＝2 sin
2B＝
sin A ＝1，∴ sin B ＝
；
c 2＝ a 2＋ b 2－2 ab cos C
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定理
变形
正弦定理
余弦定理
高中总复习·数学
2. 在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a ＝ b sin A
解的个数
1
b sin A ＜ a ＜
b
2
a≥b
a＞b
1
1
高中总复习·数学
弦定理得
2 ＋ 2 −2
9+25−49
1
cos A ＝
＝
＝－ ，因为 A 为△ ABC 的内
2
30
2
2π
角，所以 A ＝ .
3
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5. 在△ ABC 中， sin A ＝2 sin B cos C ，且 sin 2 A ＝ sin 2 B ＋ sin 2 C ，则
△ ABC 的形状是 等腰直角三角形 .
cos C ＋ c cos A ； c ＝ b cos A ＋ a cos B.
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1. （多选）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，下
列结论正确的是（
）
A. a 2＝ b 2＋ c 2－2 bc cos A
B. a sin B ＝ b sin A
解析：由结论1可得 p ＝
＝
＝9， S △ ABC ＝
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
9 × （9 − 5） × （9 − 6） × （9 − 7） ＝6
35 6
＝
.
24
5×6×7
6，R＝
＝
4
4×6 6
B. 90°
C. 60°
D. 30°
解析：
1
2
由正弦定理，得
＝
，得
sin
sin45°
∴ A ＜ B ＝45°.∴ A ＝30°.故选D.
）
1
sin A ＝ .又 a ＜ b ，
2
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3. 记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若△ ABC 的面
＝2 R 2
4
sin A sin B sin C （ R 为△ ABC 外接圆半径）.
高中总复习·数学
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在△ ABC 中，若 sin A ＞ sin B ，则 A ＞B.
（
√
）
（2）当 b 2＋ c 2－ a 2＞0时，△ ABC 为锐角三角形.
余弦定理和正弦定理
借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定
理、正弦定理.
知识 逐点夯实
必备知识 系统梳理 基础重落实
课前自修
高中总复习·数学
1. 余弦定理、正弦定理
定理
内容
正弦定理
余弦定理
a 2＝ b 2＋ c 2－2 bc cos A ；
2＋ a 2－2 ac cos B
2
c
b ＝
（
× ）
（3）在△ ABC 中，已知 a ， b ， A ，则三角形有唯一解.
（
× ）
（4）在△ ABC 中，若 A ∶ B ∶ C ＝1∶2∶3，则 a ∶ b ∶ c ＝
1∶2∶3.
（
× ）
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2. 已知△ ABC 中， a ＝1， b ＝ 2 ， B ＝45°，则 A ＝（
A. 150°
3. 三角形的面积公式
1
（1） S △ ABC ＝ aha （ ha 为边 a 上的高）；
2
1
（2） S △ ABC ＝ ab sin C ＝
2
1
bc sin A
2
＝
1
ac sin B
2
；
1
（3） S △ ABC ＝ r （ a ＋ b ＋ c ）（ r 为三角形的内切圆半径）；
2
（4） S △ ABC ＝
积为4， a ＝2， B ＝30°，则 c ＝ 8 .
1
1
1
解析：由 S △ ABC ＝ ac sin B ＝ ×2 c × ＝4，得 c ＝8.
2
2
2
4. 在△ ABC 中， AB ＝5， AC ＝3， BC ＝7，则 A ＝
2π
3
.
解析：在△ ABC 中，设 AB ＝ c ＝5， AC ＝ b ＝3， BC ＝ a ＝7，由余
C. a ＝ b cos C ＋ c cos B
D. a cos B ＋ b cos C ＝ c
解析： 易知A、B正确，由结论2可得C正确，D错误.
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2. 已知△ ABC 的三边长分别为 a ＝5， b ＝6， c ＝7，则△ ABC 的外接
圆半径 R ＝
35 6
24
.
＋＋
5+6+7
2
.∵0°＜ B
2
＜90°，∴ B ＝45°， C ＝45°，∴△ ABC 是等腰直角三角形.
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1. 在△ ABC 中， S ＝ （ − )( − )( −
1
） （其中 p ＝ （ a ＋ b
2
＋ c ））.
2. 三角形中的射影定理：在△ ABC 中， a ＝ b cos C ＋ c cos B ； b ＝ a