人教版高中数学课件-等比数列的前n项和(1)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由定義,
由等比的性質,
即
∴當q≠1時， 或
① ②
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
由等比的性質,
即
∴當q≠1時， 或
① ②
∴當q＝1時，
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
由②－①可得：
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 )
的方法,就
是錯位相
減法!
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時，
①
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時， 或
① ②
等比數列的前n項和公式的推導1
當q≠1時，
①
或
②
思考：
什麼時候用公式①, 什麼時候用公式②?
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
當q≠1時，
①
或
②
思考：
什麼時候用公式①, 什麼時候用公式②? 當已知a1, q, n 時用公式①；
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
當q≠1時，
①
或
②
思考：
什麼時候用公式①, 什麼時候用公式②? 當已知a1, q, n 時用公式①； 當已知a1, q, an時，用公式②.
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
由等比的性質,
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義, 由等比的性質, 即
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義, 由等比的性質, 即
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
由等比的性質,
即
∴當q≠1時，
①
等比數列的前n項和公式的推導2
≈1.84×1019
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an…
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
講解範例:
例1.求下列等比數列前8項的和． (1) 1 , 1 , 1
248 1
(2) a1 27, a9 243 , q 0.
練習:
教材P.58練習第1題. 根據下列各題中的條件，求相應的等比 數列{an}的前n項和Sn．
(1) a1 3, q 2, n 6;
1
1
(2) a1 2.7,
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1為首項，公比是2的等比數列，
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1為首項，公比是2的等比數列， 麥粒的總數為:
S64 1 2 4 8 262 263
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ①
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 ) S64 264 1＝18446744073709551615
q , 3
an 90 .
講解範例:
例2. 某商場第一年銷售電腦5000臺， 如果平均每年的售量比上一年增加10%， 那麼從第一年起，約幾年內可使總銷售 量達到30000臺（保留到個位）？
講解範例:
例3.求數列 1, 3a, 5a2 , 7a3 ,,(2n 1)an1
前n項的和.
課堂小結
1. 等比數列求和公式： 當q＝1時， 當q≠1時， 或
2.5 等比數列的 前n項和 (一)
復習引入
1. 等比數列的定義： 2. 等比數列通項公式：
an a1 qn1(a1 , q 0)
an am qnm (a1 , q 0)
復習引入
3. {an}成等比數列
an1 q (n N , q 0)
an
4. 性質： 若m＋n＝p＋q，則am ·an＝ap ·aq.
等比數列的前n項和公式的推導3
∴當q≠1時， 或
① ②
∴當q＝1時，
等比數列的前n項和公式的推導
“方程”在代數課程裏佔有重要的 地位，方程思想是應用十分廣泛的一種 數學思想，利用方程思想，在已知量和 未知量之間搭起橋樑，使問題得到解決．
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
當q≠1時，
①
或
②
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
講授新課
請同學們考慮如何求出這個的這和方種？法求,和就
S64 1 2S64
2 2(1
2 2
2 23 2是63錯位相① 22 23 減2法 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 )
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時， 或
當q=1時，等
比
數列的前n項
①
和
是什麼？
②
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時， 或
當q=1時，等
比
數列的前n項
①
和
②
是什S麼n ？ na1
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, 它的前n項和是
a2,
a3,
…,
an這…種求和
湖南省長沙市一中衛星遠程學校
課堂小結
2．這節課我們從已有的知識出發， 用多種方法（迭加法、運用等比性 質、錯位相減法、方程法）推導出 了等比數列的前n項和公式，並在 應用中加深了對公式的認識．
湖南省長沙市一中衛星遠程學校
課後作業
1. 閱讀教材P.42到P.44； 2. 《習案》作業十三.
湖南省長沙市一中衛星遠程學校
我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的 2 倍，共有 64 个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：
講授新課
講授新課
1
講授新課
12
講授新課
1 2 22
講授新課
1 2 22 23
講授新課
1 2 22 23 24
講授新課 1 2 22 23 24
講授新課 1 2 22 23 24 263
這一格放 的麥粒可 以堆成一 座山!!!
263
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 ) S64 264 1
克，那麼這些麥粒的總質
由②－①可得：
量就是7300多億噸.根據統 計資料顯示，全世界小麥
2 S 64
S64
(2
22
23
2 2 ) 的年產量約為663億噸，就64是
說全世界都要1000多年才
(1
2
22
23
263 )
能生產這麼多小麥，國王 無論如何是不能實現發明
S64
264
1＝184467440者7的3要70求9的5. 51615
S64
264
1＝18446744073709551615
≈1.84×1019
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即
2 S 64
2
22
23
2 2 ② 6如3 果10006粒4 麥粒重為40
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 )
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
復習引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏 象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么 要求，发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1 颗麦粒，第二个格子放 2 颗麦粒，第三个格子 放 4 颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数 都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来 实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了他 的要求.
由等比的性質,
即
∴當q≠1時， 或
① ②
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
由等比的性質,
即
∴當q≠1時， 或
① ②
∴當q＝1時，
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
等比數列的前n項和公式的推導3
由②－①可得：
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 )
的方法,就
是錯位相
減法!
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時，
①
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時， 或
① ②
等比數列的前n項和公式的推導1
當q≠1時，
①
或
②
思考：
什麼時候用公式①, 什麼時候用公式②?
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
當q≠1時，
①
或
②
思考：
什麼時候用公式①, 什麼時候用公式②? 當已知a1, q, n 時用公式①；
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
當q≠1時，
①
或
②
思考：
什麼時候用公式①, 什麼時候用公式②? 當已知a1, q, n 時用公式①； 當已知a1, q, an時，用公式②.
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
由等比的性質,
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義, 由等比的性質, 即
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義, 由等比的性質, 即
等比數列的前n項和公式的推導2
由定義,
由等比的性質,
即
∴當q≠1時，
①
等比數列的前n項和公式的推導2
≈1.84×1019
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an…
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
講解範例:
例1.求下列等比數列前8項的和． (1) 1 , 1 , 1
248 1
(2) a1 27, a9 243 , q 0.
練習:
教材P.58練習第1題. 根據下列各題中的條件，求相應的等比 數列{an}的前n項和Sn．
(1) a1 3, q 2, n 6;
1
1
(2) a1 2.7,
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1為首項，公比是2的等比數列，
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1為首項，公比是2的等比數列， 麥粒的總數為:
S64 1 2 4 8 262 263
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ①
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 ) S64 264 1＝18446744073709551615
q , 3
an 90 .
講解範例:
例2. 某商場第一年銷售電腦5000臺， 如果平均每年的售量比上一年增加10%， 那麼從第一年起，約幾年內可使總銷售 量達到30000臺（保留到個位）？
講解範例:
例3.求數列 1, 3a, 5a2 , 7a3 ,,(2n 1)an1
前n項的和.
課堂小結
1. 等比數列求和公式： 當q＝1時， 當q≠1時， 或
2.5 等比數列的 前n項和 (一)
復習引入
1. 等比數列的定義： 2. 等比數列通項公式：
an a1 qn1(a1 , q 0)
an am qnm (a1 , q 0)
復習引入
3. {an}成等比數列
an1 q (n N , q 0)
an
4. 性質： 若m＋n＝p＋q，則am ·an＝ap ·aq.
等比數列的前n項和公式的推導3
∴當q≠1時， 或
① ②
∴當q＝1時，
等比數列的前n項和公式的推導
“方程”在代數課程裏佔有重要的 地位，方程思想是應用十分廣泛的一種 數學思想，利用方程思想，在已知量和 未知量之間搭起橋樑，使問題得到解決．
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
當q≠1時，
①
或
②
等比數列的前n項和公式 當q＝1時，
講授新課
請同學們考慮如何求出這個的這和方種？法求,和就
S64 1 2S64
2 2(1
2 2
2 23 2是63錯位相① 22 23 減2法 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 )
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時， 或
當q=1時，等
比
數列的前n項
①
和
是什麼？
②
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
∴當q≠1時， 或
當q=1時，等
比
數列的前n項
①
和
②
是什S麼n ？ na1
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, a2, a3, …, an… 它的前n項和是
等比數列的前n項和公式的推導1
一般地，設等比數列a1, 它的前n項和是
a2,
a3,
…,
an這…種求和
湖南省長沙市一中衛星遠程學校
課堂小結
2．這節課我們從已有的知識出發， 用多種方法（迭加法、運用等比性 質、錯位相減法、方程法）推導出 了等比數列的前n項和公式，並在 應用中加深了對公式的認識．
湖南省長沙市一中衛星遠程學校
課後作業
1. 閱讀教材P.42到P.44； 2. 《習案》作業十三.
湖南省長沙市一中衛星遠程學校
我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的 2 倍，共有 64 个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：
講授新課
講授新課
1
講授新課
12
講授新課
1 2 22
講授新課
1 2 22 23
講授新課
1 2 22 23 24
講授新課 1 2 22 23 24
講授新課 1 2 22 23 24 263
這一格放 的麥粒可 以堆成一 座山!!!
263
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麥粒數依次為：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
講授新課
分析： 由於每格的麥粒數都是前一格的2倍，
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 ) S64 264 1
克，那麼這些麥粒的總質
由②－①可得：
量就是7300多億噸.根據統 計資料顯示，全世界小麥
2 S 64
S64
(2
22
23
2 2 ) 的年產量約為663億噸，就64是
說全世界都要1000多年才
(1
2
22
23
263 )
能生產這麼多小麥，國王 無論如何是不能實現發明
S64
264
1＝184467440者7的3要70求9的5. 51615
S64
264
1＝18446744073709551615
≈1.84×1019
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即
2 S 64
2
22
23
2 2 ② 6如3 果10006粒4 麥粒重為40
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264 ) (1 2 22 23 263 )
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
講授新課
請同學們考慮如何求出這個和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 ) 即 2S64 2 22 23 263 264 ②
復習引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏 象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么 要求，发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1 颗麦粒，第二个格子放 2 颗麦粒，第三个格子 放 4 颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数 都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来 实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了他 的要求.