2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5阶段质量检测(一) 不等关系与基本不等式含解析

阶段质量检测（一）不等关系与基本不等式
（时间:90分钟,满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜错误!"或“b＞错误!"的( ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若a>b〉1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b）,R＝lg错误!，则( ）A．R<P<Q B．P〈Q<R
C．Q〈P<R D．P<R〈Q
3．不等式错误!的解集是( ）
A．（0，2）B．（0，2.5)
C．（0，错误!) D．（0,3)
4．(江西高考)对任意x,y∈R，｜x－1｜＋|x｜＋｜y－1|＋｜y ＋1｜的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．若a>0,b>0，则p＝(ab）错误!，q＝a b b a的大小关系是( ）A．p≥q B．p≤q
C．p〉q D．p<q
6．若二次函数f（x)＝4x2－2（p－2)x－2p2－p＋1在区间［－1,1］内至少有一个值c，使f(c）＞0，则实数p的取值范围是( ）
A.错误!
B.错误!
C．(－1，0） D.错误!
7．若不等式｜ax＋2|＜6的解集为（－1,2)，则实数a＝( ）A．8 B．2
C．－4 D．－8
8．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是错误!，且α＝a＋错误!，β＝b＋错误!,则α＋β的最小值是（）
A．3 B．4
C．5 D．6
9．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（)
A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|
B．a2＋错误!≥a＋错误!
C．|a－b｜＋错误!≥2
D.错误!－错误!≤错误!－错误!
10．设x，y∈R,a＞1，b＞1，若a x＝b y＝2,a＋b＝4，则错误!＋错误!的最大值为（)
A．4 B．3
C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
11．设a＝错误!－错误!，b＝错误!－错误!，c＝错误!－错误!,则a，b，c的大小顺序是________________．
12．(上海高考)设常数a＞0.若9x＋错误!≥a＋1对一切正实数x 成立，则a的取值范围为________．
13．不等式｜2｜x|－3｜＜|x|＋1的解集为____________．
14．a〉0，b〉0,给出下列四个不等式：
①a＋b＋1
ab
≥2错误!;
②(a＋b）错误!≥4；
③错误!≥a＋b；
④a＋错误!≥－2.
其中正确的不等式有________．（只填序号）
三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．（本小题满分12分）（新课标全国卷Ⅱ)设函数f（x）＝错误!＋|x－a|（a〉0）．
(1)证明:f(x)≥2;
（2）若f(3)〈5，求a的取值范围．
16．(本小题满分12分）设x>－1，求函数y＝错误!的最小值．
17．（本小题满分12分)已知f（x)＝｜ax＋1｜（a∈R）,不等式f（x)≤3的解集为｛x｜－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
（2)若错误!≤k恒成立,求k的取值范围．
18．（本小题满分14分)(北京高考）给定数列a1，a2，…，a n。

对i＝1,2，…,n－1，该数列前i项的最大值记为A i,后n－i项a i＋1，a i＋2，…,a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i。

（1)设数列{a n｝为3，4,7，1,写出d1，d2,d3的值;
（2）设a1，a2,…，a n(n≥4）是公比大于1的等比数列,且a1〉0.证明：d1,d2，…，d n－1是等比数列；
(3）设d1，d2，…,d n－1是公差大于0的等差数列,且d1>0，证明a1，a2,…，a n－1是等差数列．
答案
1．选A 当0＜ab＜1时，若b＞0，则a＜错误!，若b＜0，则b ＞错误!.反之，a＜错误!⇒a－错误!＜0⇒b(ab－1)＜0.当b＞0时，ab＜1；当b＜0时，ab＞1。

同理，当b＞错误!时；若a＞0时，则ab＞1，若a＜0，则ab＜1，所以“0＜ab＜1”是“a＜错误!"或“b＞错误!”的充分而不必要条件．
2．选B a>b>1⇒lg a>0，lg b〉0,Q＝错误!（lg a＋lg b）〉错误!＝P,R>lg错误!＝错误!(lg a＋lg b)＝Q⇒R>Q〉P.
3．选C 用筛选法，容易验证x＝2是不等式的解，否定A；x ＝错误!不是不等式的解，否定D；x＝错误!使错误!与错误!取“＝”，∵错误!
＜5
2
，故否定B.
4．选C ｜x－1｜＋｜x|＋|y－1｜＋｜y＋1｜≥｜x－1－x｜
＋|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3。

5．选A a>0,b>0,
即错误!＝错误!＝a错误!b错误!＝错误!错误!.
当a≥b时,0〈错误!≤1，错误!≥0.
∴p≥q。

同理a<b时，p〉q，综上可知p≥q.
6．选A 如果在［－1,1］内没有满足f(c)＞0的数c，
则错误!解得错误!
∴此时p的取值范围是错误!，取补集即得所求实数p的范围，即
错误!.
7．选C 由｜ax＋2|＜6⇒－8＜ax＜4。

当a＞0时，－错误!＜x＜错误!.
∵解集是（－1,2),
∴错误!
解得错误!两值矛盾．
当a＜0时，错误!＜x＜－错误!.
由错误!⇒a＝－4.
8．选C 由题意,知a＋b＝1，则α＋β＝a＋错误!＋b＋错误!＝1＋错误!≥1＋错误!＝5.当且仅当a＝b＝错误!时,取等号．
9．选C 因为｜a－b|＝｜(a－c)－(b－c）｜≤｜a－c|＋｜b－
c|，所以选项A恒成立；
在选项B两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇒（a4－a3)＋（1－a）≥0⇒a3(a－1)－(a－1）≥0⇒（a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以选项B恒成立；在选项C中,当a＞b时，恒成立，a＜b时，不成立；在选项D 中，分子有理化得
错误!≤错误!恒成立．
10．选A 依题意得4＝a＋错误!≥2错误!，则a错误!≤4，a2b≤16，当且仅当b＝a2＝4时，等号可以取到．因为x＝log a2，y＝log b2，所以错误!＋错误!＝2log2a＋log2b＝log2a2b≤log216＝4，即错误!＋错误!的最大值为4。

11．解析：用分析法比较，a＞b⇔错误!＋错误!＞错误!＋错误!
⇔8＋215＞8＋2错误!，同理可比较得b＞c。

答案:a＞b＞c
12．解析：由题意可知，当x＞0时，f（x)＝9x＋错误!≥2错误!＝6a≥a＋1⇒a≥错误!，当且仅当9x＝错误!，即x＝错误!时等号成立．答案：错误!
13．解析:原不等式等价于（2｜x|－3)2＜(|x|＋1)2，
所以4x2－12｜x|＋9＜x2＋2|x｜＋1,
所以3x2－14｜x|＋8＜0.
所以3|x｜2－14|x|＋8＜0。

所以(3｜x｜－2)（|x|－4)＜0。

所以错误!＜|x|＜4。

所以－4＜x＜－错误!，或错误!＜x＜4。

所以原不等式的解集为
错误!.
答案：错误!
14．解析：∵a〉0，b>0，
∴①a＋b＋错误!≥2错误!＋错误!≥2·错误!
＝2错误!；
②(a＋b）错误!≥4错误!错误!＝4；
③∵错误!≥错误!,
∴a2＋b2≥错误!＝（a＋b)错误!≥（a＋b）错误!.
∴错误!≥a＋b.
④a＋错误!＝(a＋4）＋错误!－4≥2错误!－4＝2－4＝－2，当且仅当a
＋4＝1
a＋4,即（a＋4）2＝1时等号成立，而a>0，∴（a＋4）2≠1.∴等号不能取得．
答案：①②③
15．解：证明：（1)由a>0,
有f(x)＝错误!＋｜x－a｜
≥错误!＝错误!＋a≥2.
当且仅当“错误!＝a，即a＝1时”取等号．所以f（x）≥2。

（2)f(3)＝错误!＋｜3－a|。

当a>3时，f(3)＝a＋错误!，
由f(3）〈5得3<a<错误!.
当0<a≤3时，f（3）＝6－a＋错误!，
由f（3）〈5得错误!<a≤3。

综上,a的取值范围是错误!。

16．解:∵x〉－1,∴x＋1〉0，
y＝x＋5x＋2
x＋1＝错误!
＝(x＋1）＋5＋错误!≥2· 错误!＋5＝9。

当且仅当x＋1＝错误!，即x＝1时，等号成立．
∴y的最小值是9.
17．解:(1）由|ax＋1｜≤3得－4≤ax≤2。

又f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题
意．
当a>0时，－错误!≤x≤错误!，得a＝2。

(2）法一：记h(x)＝f（x）－2f错误!，
则h(x)＝错误!
所以｜h（x)|≤1，因此k的取值范围是k≥1.
法二:错误!＝错误!
＝2错误!≤1，
由|f（x)－2f（错误!）｜≤k恒成立，
可知k≥1，
所以k的取值范围是k≥1。

18．解:（1）d1＝2，d2＝3，d3＝6.
（2)证明:因为a1〉0，公比q〉1，
所以a1，a2,…，a n是递增数列．
因此，对i＝1,2,…，n－1，A i＝a i，B i＝a i＋1.
于是对i＝1，2，…,n－1，
d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q）q i－1。

因此d i≠0且错误!＝q（i＝1，2，…，n－2)，
即d1，d2,…，d n－1是等比数列．
(3）证明：设d为d1，d2，…，d n－1的公差．
对1≤i≤n－2,因为B i≤B i＋1，d〉0，
所以A i＋1＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d>B i＋d i＝A i.
又因为A i＋1＝max｛A i，a i＋1}，
所以a i＋1＝A i＋1>A i≥a i.
从而a1，a2，…，a n－1是递增数列．
因此A i＝a i（i＝1,2,…，n－1）．
又因为B1＝A1－d1＝a1－d1〈a1，
所以B1〈a1<a2<…〈a n－1。

因此a n＝B1.
所以B1＝B2＝…＝B n－1＝a n.
所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i。

因此对i＝1，2,…，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，…，a n－1是等差数列．。