2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)

分）
（3）因为 X ~ N(110,144) ，所以 110 ， 144 12 ，
理科数学 第 6页（共 10页）
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，
消去
y
，整理得 k 2 x2
(2k 2
4)x k2
0 ，设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ，则
x1 +x2
2k 2 k2
4
=2+
4 k2
，
x1 x2
1，
|
MF
|
|
NF
|
(1
k2
)
|
x1
1|
|
x2
1|
=
(1
k2)
|
x1x2
(x1
x2
)
1|
=
4(1
1 k2
)
．因为
|
MF
(a, a
2) 的长度不小于
3T 4
（其中 T
为函数
f
(x) 的最小正周期），即 2
3 4
2π
，即
3π 4
，故选
A．
12．【答案】C
【解析】由 (a 1)x ln x b 2 0 ，得 ln x (a 1)x b 2 ，若存在唯一实数 x0 ，使得 f (x0 ) 0 ，则
直线 y (a 1)x b 2 与曲线 y ln x 相切，设切点为 P(t,ln t) ，则切线方程为 y ln t 1 (x t) ，即 t
5
5
∴ CD AC cosC 7 5 7 5 ，∴ BC 2CD 14 5 ，（3 分）
55
5
∴ BE2 BC2 EC2 2BC EC cosC 196 22 2 14 5 2 5 32 ，
5
5
5
∴ BE 4 2 ．（6 分）
（2）由（1）知 BE 4 2 ，
5
5
∵ AB AC AE EC 5 2 7 ，
∴ BE2 AB2 AE2 2AB AEcosBAE 49 25 42 32 ，
∴ BE 4 2 ．（6 分）
（2）由（1）知， cos BAE 3 ，∴ sin BAE 4 ，
5
5
∴
S△ABE
1 2
AB
AE
sin BAE
【解析】由题意知直线 OA 的斜率为正，设直线 OA 的斜率为 k (k 0) ，则直线 OA 的方程为 y kx ，
直线
MN
的方程为
y
k(x
1)
，联立
y2 4x y kx
，得
A(
4 k2
,
4) k
，所以 |
OA |2
16 k4
16 k2
；联立
y2 4x y k (x 1)
（2）由题意，作出 2 2 列联表如下：
甲校
乙校
合计
数学成绩优秀
10
7
17
数学成绩不优秀
10
13
23
合计
20
20
40
计算得 K 2 的观测值 k 40 (10 13 10 7)2 0.9207 2.706 ， 20 20 17 23
所以没有
90
0 0
的把握认为数学成绩在
100
分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（8
2019 年第三次全国大联考【新课标Ⅲ卷】
理科数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
B
C
B
D
B
D
B
C
A
C
1．【答案】D
【解析】由 A {x | x2 2} {x | 2 x 2} ，B {x | y x 1} {x | x 1} ，得 A B {x | 1 x 2} ，
y
1 t
x
ln
t
1
，所以
a
1
1 t
，b
2
ln
t
1
，所以
a
b
1 t
ln
t
，设
g (t )
1 t
ln
t (t
0)
，则
g' (t )
t
t2
1
，
所以 g(t) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，所以 g(t) g(1) 1，所以 a b 的取值范围是 [1, ) ，
故选 C． 13．【答案】 [1,5]
则 O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0，3, 0), C(3,0,0) ， P(0, 0, 3) ， AB (1, 3, 0) ， BC (3, 3, 0) ，
BP (0, 3, 3) ，
设平面
BCP
的法向量为
n=
(x,
y,
z)
，则
n
BC
0
，即
3x
3y 0 ，
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（2）由 PA AB 2 ， PAC BAC 60 ，可得 OP OB 2sin 60 3 ， OA 2 cos 60 1 ，
又 PB 6 ，所以 OP2 OB2 PB2 ，所以 OP OB ，所以 OA,OB,OP 两两垂直，
分别以 OA,OB,OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O xyz （如图），
∴ cos ABE AB2 BE2 AE2 49 32 25 2 ，（9 分）
2AB BE
274 2 2
∴ sin ABE 2 ， 2
∴
S△ABE
1 2
AB
BE
sin ABE
1 2
7
4
2
2 14 ．（12 分） 2
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）如图，作 PO AC 于 O，连接 BO，
3)2
4 27
27 7
，
所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2 7 ．（12 分） 7
19．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为 128 135 131.5 ，乙校学生数学成绩的中 2 位数为 128 129 128.5 ，所以这 40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的 2 中位数高．（2 分）
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当 P 为 AC 中点时，线段 D1P 的长度最小，最小值为 6 ，故选 C．
11．【答案】A 【解析】由 f (a) 1, f (a 2) 0 得函数 f (x) 的图象关于直线 x a 对称，且关于点 (a 2, 0) 对称，由存
在不相等的实数 x1, x2 (a, a 2) 使得 f (x1) f (x2 ) 成立，可得 f (x) 在 (a, a 2) 上不单调，所以区间
|,
1 2
|
OA
|,|
NF
|
成
等比数列，所以 |
MF
||
NF
|
1 4
| OA |2
，即
4(1
1 k2
)=
4 k4
4 k2
，所以
k4
1 ，解得
k
1 ，故点
A
的坐标
为 (4, 4) ．
17．（本小题满分 12 分）
【解析】解法一：（1）由 AB AC 可得 BAC π 2C ，
∴ cos BAC cos 2C 2sin2 C 1 2 ( 2 5 )2 1 3 ．（2 分）
1 2
7 5
4 5
14
．（12
分）
解法二：（1）如图，取 BC 的中点 D，连接 AD ，交 BE 于点 F ．
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由题意得 AD BC ，∵ AC AE EC 5 2 7 ， sin C 2 5 ，∴ cos C 5 ，
，
故选 D．
9．【答案】B
【解析】设双曲线 C 的焦距为 2c(c 0) ，则由△OPF 为等边三角形，得 P( c , 3c) ，代入双曲线 C 的方 22
程得
c2 a2
3c2 b2
4 ，即 e2
3e2 e2
1
4
，解得
e
3 1 （或 e
3 1 ，舍去），故选 B．
10．【答案】C
【解析】解法一：如图，连接 D1 A ， AC ， D1C ，易证平面 ACD1 平面 EFG ，因为 D1P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D1P 平面 EFG，所以点 P 在直线 AC 上，所以当 P 为 AC 中点时，线段 D1P 的
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14．【答案】 1 2
【解析】由 | a b || a | | b | 可知向量 a,b 共线，所以 cos 2 sin 0 ，所以 tan 1 ． 2
15．【答案】 (1 , ) 2
【解析】由 a2 1 且 an1
44
4
4
44
7．【答案】B
【解析】模拟运行该程序：x=1，y=1，z=11，满足循环条件；x=1，y=11，z=21，满足循环条件；x=11，
y=21，z=131，满足循环条件；x=21，y=131，z=341，不满足循环条件，终止循环，输出 z 的值为 341，
观察 A、B、C、D 四个选项，可知只有 B 选项符合题意，故选 B．
长度最小，最小值为 6 ，故选 C．
解法二：如图，连接 D1C ， AC ，因为直线 D1P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D1P 平面 EFG．延 长 EF，与 DC 的延长线交于点 H，连接 GH ，则 D1C GH ，AC EF，所以点 P 在直线 AC 上，易得
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22
22
2
2
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所以 n, n2 , n2 1不是勾股数；C， n2 ( n2 2)2 ( n2 2)2 ，所以 n, n2 2 , n2 2 不是勾股数；D，当 n
22
4
4
44
为偶数时， n, n2 1, n2 1都是整数，且 n2 (n2 1)2 ( n2 1)2 ，所以 n, n2 1, n2 1 是勾股数，故选 D．
an
an2
1 2
，得 a1
1 2
， a3
1 2
,
a4
1 ， ，∴ an
1 , n为奇数 2 1, n为偶数
，因为数
列{bn} 是递增数列，当
n为奇数时，bn1Fra bibliotekn1 2
0
，∴
1 2
，当
n
为偶数时，bn1
bn
1 2
0，
∴ 1 ，综上，实数 的取值范围是 (1 , ) ．
2
2
16．【答案】 (4, 4)
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z 2x y 1得 y 2x z 1，平移直
线 y 2x ，可知直线 y 2x z 1过点 A(2, 0) 时 z 取到最大值， zmax 2 2 0 1 5 ，过点 B(0, 2) 时 z 取到最小值， zmin 0 2 1 1 ，所以 z 2x y 1的取值范围是 [1,5] ．
138 0.92 90% ，③正确，故选 C． 150
5．【答案】B
【解析】
(x
2)( 2 x
1)5
的展开式中的常数项为
x
C54
2 x
14
2 15
10
2
8
，故选
B．
6．【答案】D
【解析】A，当 n 为偶数时，n2 1, n2 1 不是整数，所以 n, n2 1, n2 1 不是勾股数；B，n2 ( n2 )2 ( n2 1)2 ，
故选 D．
2．【答案】A
【解析】因为 z 3 i (3 i)(1 2i) 3 2 i 6i 1 i ，所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为
1 2i (1 2i)(1 2i)
5
(1,1) ，故选 A．
3．【答案】B
【解析】由三视图得，该几何体是棱长为 3 的正方体截去一个棱长为 1 的正方体，如图所示，所以该几
8．【答案】D
【解析】由题意得 a12 1 a4 a1 6 ，所以 a1 3 （负值舍去），所以 a2 3 2 5 ，因为数列
1, a1, a4 , b1,
b2 ,b3 ,,bn , 成等比数列，设其公比为 q ，则 q
a1 1
3 ，所以 b3
35
243 ，所以
b3 a2
243 5
何体的表面积与棱长为 3 的正方体的表面积相等，即所求表面积为 S 6 32 54 ．故选 B．
4．【答案】C
【解析】2016 年，2017 年，2018 年容易题分值分别为 40，55，96，逐年增加，①正确；近三年中档题
分值所占比例最高的年份是 2016 年，②错误；2018 年的容易题与中档题的分值之和为 96+42=138，
由 PA BA ， PAC BAC ， AO AO ，可得 △PAO ≌ △BAO ，
所以 AOB AOP 90 ，所以 OB AC ，（3 分） 又 PO BO O ，所以 AC 平面 PBO ，
因为 PB 平面 PBO，所以 PB AC ．（6 分）
理科数学 第 5页（共 10页）
n BP 0
3y 3z 0
取 x 1 ，则 y 3, z 3 ，所以 n= (1, 3, 3) 是平面 BCP 的一个法向量，（10 分）
设直线 AB 与平面 PBC 所成角为 ，
则 sin
| cos
AB, n
|
|
|AB AB |
n| |n
|
=
| 1 (1) 3 3 0 3 | (1)2 ( 3)2 02 (1)2 ( 3)2 (